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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1

Lição 6: Visualização de funções multivariáveis (artigos)

Mapas de contorno

Quando desenhar em três dimensões se torna inconveniente, um mapa de contorno é uma alternativa útil para representar funções com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional.

Conhecimentos prévios

O Processo

Mapas de contorno são um meio de se representar funções com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional. Por exemplo, considere esta função:

$f (x, y) = x^{4} - x^{2} + y^{2}$ ‍.

Com gráficos, o meio de se associar a entrada

(x, y)

com a saída

f (x, y)

é combinando ambas em um trio

(x, y, f (x, y))

e traçar um mapa desse trio como um ponto no espaço tridimensional. O próprio gráfico contém todos os pontos tridimensionais possíveis da forma

(x, y, f (x, y))

, que coletivamente formam uma superfície de algum tipo.

Mas às vezes representar uma imagem tridimensional pode ser complicado, ou difícil de fazer manualmente. Mapas de contorno ajudam a representar a função desenhando apenas no espaço de entrada bidimensional.

Veja como é feito:

Etapa 1: comece com um gráfico da função.

Etapa 2: corte o gráfico com alguns planos uniformemente espaçados, todos paralelos ao plano $x y$ ‍. Você pode pensar nesses planos como os pontos em que $z$ ‍ se iguala a uma dada saída, como $z = 2$ ‍.

Etapa 3: marque o gráfico onde os planos o cortam.

Etapa 4: projete essas linhas no plano $x y$ ‍, e registre as alturas a que eles correspondem.

Resumindo, você escolhe um conjunto de valores de saída para representar, e para cada um deles você desenha uma linha que passa por todos os valores de entrada $(x, y)$ ‍ para os quais $f (x, y)$ ‍ é igual a esse valor. Para acompanhar qual linha corresponde a qual valor, geralmente se anota o número apropriado de cada linha ao longo de cada uma.

Nota: a escolha de saídas que você quer representar, tal como

{- 2, - 1, 0, 1, 2}

neste exemplo, deve quase sempre ser uniformemente espaçada. Isso facilita muito a compreensão da "forma" de cada função simplesmente olhando para o mapa de contorno.

Exemplo 1: paraboloide

Considere a função

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

. A forma desse gráfico é o que chamamos de "paraboloide", o equivalente tridimensional de uma parábola.

Veja como seu mapa de contorno se parece:

Note que os círculos não são uniformemente espaçados. Isso porque quanto mais nos distanciamos da origem, mais rápido a altura do gráfico aumenta. Portanto, aumentar a altura para um dado valor exige um passo menor da origem no espaço de entrada.

Exemplo 2: ondas

E a função

f (x, y) = \cos (x) \cdot sen (y)

? Seu gráfico parece muito ondulado:

E veja seu mapa de contorno:

Uma característica a se ressaltar aqui é que picos e vales podem facilmente parecer bem similares em um mapa de contorno, e só podem ser diferenciados pelas suas legendas.

Exemplo 3: função linear

Em seguida, vamos dar uma olhada em

f (x, y) = x + 2 y

. Seu gráfico é um plano inclinado.

Isso corresponde a um mapa de contorno com linhas retas uniformemente espaçadas.

Exemplo 4: mapa literal

Mapas de contorno são geralmente usados em mapas reais para representar altitude em terrenos com colinas. A imagem à direita, por exemplo, é uma representação de uma certa cratera na Lua.

Imagine andar nessa cratera. Onde as linhas de contorno estão próximas , a inclinação é bem íngreme. Por exemplo, você desce de

7.700

metros para

7.650

em uma distância muito curta. No fundo, onde as linhas são esparsas, é mais plano, varia entre

7.650

metros e

7.628

metros em distâncias maiores.

Nomenclaturas com o prefixo iso

As linhas em um mapa de contorno têm vários nomes:

Linhas de contorno.
Conjuntos de níveis, chamados assim porque representam valores de $(x, y)$ ‍ em que a altura do gráfico mantém-se constante, ou seja, nivelada.
Isolinhas em que "iso" vem do prefixo grego que significa "o mesmo".

Dependendo do que o mapa de contorno representa, esse prefixo iso pode vir ligado a muitas coisas. Veja dois exemplos comuns de mapas das condições atmosféricas.

Isoterma é uma linha no mapa de contorno para uma função que representa a temperatura .
Isóbara é uma linha no mapa de contorno que representa a pressão.

Entendendo um mapa de contorno

Você pode dizer o quanto uma parte do seu gráfico é íngreme examinando o quanto as linhas de contorno estão próximas umas das outras. Quando elas estão muito distantes, é preciso um grande deslocamento lateral para aumentar a altitude, mas quando elas estão próximas, a altitude aumenta rapidamente, com pequenos deslocamentos laterais.

Os conjuntos de níveis associados à altura que se aproximam do pico do gráfico parecerão laços fechados cada vez menores, cada um envolvendo o próximo. O mesmo acontece em um pico invertido do gráfico. Isso significa que você pode identificar o máximo ou o mínimo de uma função usando seu mapa de contorno, procurando por conjuntos de laços fechados que envolvem uns aos outros, como círculos concêntricos distorcidos.

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