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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1
Lição 6: Visualização de funções multivariáveis (artigos)Mapas de contorno
Quando desenhar em três dimensões se torna inconveniente, um mapa de contorno é uma alternativa útil para representar funções com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional.
Conhecimentos prévios
O Processo
Mapas de contorno são um meio de se representar funções com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional. Por exemplo, considere esta função:
.
Com gráficos, o meio de se associar a entrada com a saída é combinando ambas em um trio e traçar um mapa desse trio como um ponto no espaço tridimensional. O próprio gráfico contém todos os pontos tridimensionais possíveis da forma , que coletivamente formam uma superfície de algum tipo.
Mas às vezes representar uma imagem tridimensional pode ser complicado, ou difícil de fazer manualmente. Mapas de contorno ajudam a representar a função desenhando apenas no espaço de entrada bidimensional.
Veja como é feito:
- Etapa 1: comece com um gráfico da função.
- Etapa 2: corte o gráfico com alguns planos uniformemente espaçados, todos paralelos ao plano
. Você pode pensar nesses planos como os pontos em que se iguala a uma dada saída, como .
- Etapa 3: marque o gráfico onde os planos o cortam.
- Etapa 4: projete essas linhas no plano
, e registre as alturas a que eles correspondem.
Resumindo, você escolhe um conjunto de valores de saída para representar, e para cada um deles você desenha uma linha que passa por todos os valores de entrada para os quais é igual a esse valor. Para acompanhar qual linha corresponde a qual valor, geralmente se anota o número apropriado de cada linha ao longo de cada uma.
Nota: a escolha de saídas que você quer representar, tal como neste exemplo, deve quase sempre ser uniformemente espaçada. Isso facilita muito a compreensão da "forma" de cada função simplesmente olhando para o mapa de contorno.
Exemplo 1: paraboloide
Considere a função . A forma desse gráfico é o que chamamos de "paraboloide", o equivalente tridimensional de uma parábola.
Veja como seu mapa de contorno se parece:
Note que os círculos não são uniformemente espaçados. Isso porque quanto mais nos distanciamos da origem, mais rápido a altura do gráfico aumenta. Portanto, aumentar a altura para um dado valor exige um passo menor da origem no espaço de entrada.
Exemplo 2: ondas
E a função ? Seu gráfico parece muito ondulado:
E veja seu mapa de contorno:
Uma característica a se ressaltar aqui é que picos e vales podem facilmente parecer bem similares em um mapa de contorno, e só podem ser diferenciados pelas suas legendas.
Exemplo 3: função linear
Em seguida, vamos dar uma olhada em . Seu gráfico é um plano inclinado.
Isso corresponde a um mapa de contorno com linhas retas uniformemente espaçadas.
Exemplo 4: mapa literal
Mapas de contorno são geralmente usados em mapas reais para representar altitude em terrenos com colinas. A imagem à direita, por exemplo, é uma representação de uma certa cratera na Lua.
Imagine andar nessa cratera. Onde as linhas de contorno estão próximas , a inclinação é bem íngreme. Por exemplo, você desce de metros para em uma distância muito curta. No fundo, onde as linhas são esparsas, é mais plano, varia entre metros e metros em distâncias maiores.
Nomenclaturas com o prefixo iso
As linhas em um mapa de contorno têm vários nomes:
- Linhas de contorno.
- Conjuntos de níveis, chamados assim porque representam valores de
em que a altura do gráfico mantém-se constante, ou seja, nivelada. - Isolinhas em que "iso" vem do prefixo grego que significa "o mesmo".
Dependendo do que o mapa de contorno representa, esse prefixo iso pode vir ligado a muitas coisas. Veja dois exemplos comuns de mapas das condições atmosféricas.
- Isoterma é uma linha no mapa de contorno para uma função que representa a temperatura .
- Isóbara é uma linha no mapa de contorno que representa a pressão.
Entendendo um mapa de contorno
Você pode dizer o quanto uma parte do seu gráfico é íngreme examinando o quanto as linhas de contorno estão próximas umas das outras. Quando elas estão muito distantes, é preciso um grande deslocamento lateral para aumentar a altitude, mas quando elas estão próximas, a altitude aumenta rapidamente, com pequenos deslocamentos laterais.
Os conjuntos de níveis associados à altura que se aproximam do pico do gráfico parecerão laços fechados cada vez menores, cada um envolvendo o próximo. O mesmo acontece em um pico invertido do gráfico. Isso significa que você pode identificar o máximo ou o mínimo de uma função usando seu mapa de contorno, procurando por conjuntos de laços fechados que envolvem uns aos outros, como círculos concêntricos distorcidos.
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