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Mapas de contorno

Quando desenhar em três dimensões se torna inconveniente, um mapa de contorno é uma alternativa útil para representar funções com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional.

O Processo

Mapas de contorno são um meio de se representar funções com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional. Por exemplo, considere esta função:
f(x,y)=x4x2+y2.
Com gráficos, o meio de se associar a entrada (x,y) com a saída f(x,y) é combinando ambas em um trio (x,y,f(x,y)) e traçar um mapa desse trio como um ponto no espaço tridimensional. O próprio gráfico contém todos os pontos tridimensionais possíveis da forma (x,y,f(x,y)), que coletivamente formam uma superfície de algum tipo.
Mas às vezes representar uma imagem tridimensional pode ser complicado, ou difícil de fazer manualmente. Mapas de contorno ajudam a representar a função desenhando apenas no espaço de entrada bidimensional.
Veja como é feito:
  • Etapa 1: comece com um gráfico da função.
  • Etapa 2: corte o gráfico com alguns planos uniformemente espaçados, todos paralelos ao plano xy. Você pode pensar nesses planos como os pontos em que z se iguala a uma dada saída, como z=2.
  • Etapa 3: marque o gráfico onde os planos o cortam.
  • Etapa 4: projete essas linhas no plano xy, e registre as alturas a que eles correspondem.
Resumindo, você escolhe um conjunto de valores de saída para representar, e para cada um deles você desenha uma linha que passa por todos os valores de entrada (x,y) para os quais f(x,y) é igual a esse valor. Para acompanhar qual linha corresponde a qual valor, geralmente se anota o número apropriado de cada linha ao longo de cada uma.
Nota: a escolha de saídas que você quer representar, tal como {2,1,0,1,2} neste exemplo, deve quase sempre ser uniformemente espaçada. Isso facilita muito a compreensão da "forma" de cada função simplesmente olhando para o mapa de contorno.

Exemplo 1: paraboloide

Considere a função f(x,y)=x2+y2. A forma desse gráfico é o que chamamos de "paraboloide", o equivalente tridimensional de uma parábola.
Veja como seu mapa de contorno se parece:
Note que os círculos não são uniformemente espaçados. Isso porque quanto mais nos distanciamos da origem, mais rápido a altura do gráfico aumenta. Portanto, aumentar a altura para um dado valor exige um passo menor da origem no espaço de entrada.

Exemplo 2: ondas

E a função f(x,y)=cos(x)sen(y)? Seu gráfico parece muito ondulado:
E veja seu mapa de contorno:
Uma característica a se ressaltar aqui é que picos e vales podem facilmente parecer bem similares em um mapa de contorno, e só podem ser diferenciados pelas suas legendas.

Exemplo 3: função linear

Em seguida, vamos dar uma olhada em f(x,y)=x+2y. Seu gráfico é um plano inclinado.
Isso corresponde a um mapa de contorno com linhas retas uniformemente espaçadas.

Exemplo 4: mapa literal

Mapas de contorno são geralmente usados em mapas reais para representar altitude em terrenos com colinas. A imagem à direita, por exemplo, é uma representação de uma certa cratera na Lua.
Mapa de contorno da cratera South Ray na Lua, fonte: Wikipédia
Imagine andar nessa cratera. Onde as linhas de contorno estão próximas , a inclinação é bem íngreme. Por exemplo, você desce de 7.700 metros para 7.650 em uma distância muito curta. No fundo, onde as linhas são esparsas, é mais plano, varia entre 7.650 metros e 7.628 metros em distâncias maiores.

Nomenclaturas com o prefixo iso

As linhas em um mapa de contorno têm vários nomes:
  • Linhas de contorno.
  • Conjuntos de níveis, chamados assim porque representam valores de (x,y) em que a altura do gráfico mantém-se constante, ou seja, nivelada.
  • Isolinhas em que "iso" vem do prefixo grego que significa "o mesmo".
Dependendo do que o mapa de contorno representa, esse prefixo iso pode vir ligado a muitas coisas. Veja dois exemplos comuns de mapas das condições atmosféricas.
  • Isoterma é uma linha no mapa de contorno para uma função que representa a temperatura .
  • Isóbara é uma linha no mapa de contorno que representa a pressão.

Entendendo um mapa de contorno

Você pode dizer o quanto uma parte do seu gráfico é íngreme examinando o quanto as linhas de contorno estão próximas umas das outras. Quando elas estão muito distantes, é preciso um grande deslocamento lateral para aumentar a altitude, mas quando elas estão próximas, a altitude aumenta rapidamente, com pequenos deslocamentos laterais.
Os conjuntos de níveis associados à altura que se aproximam do pico do gráfico parecerão laços fechados cada vez menores, cada um envolvendo o próximo. O mesmo acontece em um pico invertido do gráfico. Isso significa que você pode identificar o máximo ou o mínimo de uma função usando seu mapa de contorno, procurando por conjuntos de laços fechados que envolvem uns aos outros, como círculos concêntricos distorcidos.

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