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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1
Lição 6: Visualização de funções multivariáveis (artigos)Gráficos multidimensionais.
Exemplos e limitações dos gráficos de funções multivariáveis.
Conhecimentos prévios
O que estamos construindo
- A representação gráfica de uma função com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional requer a plotagem de pontos no espaço tridimensional.
- Isso acaba parecendo uma superfície tridimensional, em que a altura da superfície acima do plano x, y indica o valor da função em cada ponto.
Revisão de gráficos de funções de uma variável
Gráficos são, de longe, a maneira mais familiar de visualizar funções para a maioria dos estudantes. Antes de generalizar para funções multivariáveis, eu gostaria de revisar rapidamente como gráficos funcionam para as funções de uma variável.
Suponha que a nossa função seja parecida com isso:
Para plotar uma única entrada, como x, equals, 1, primeiro calculamos f, left parenthesis, 1, right parenthesis:
Então, marcamos o ponto left parenthesis, 1, comma, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, right parenthesis no plano x, y. Neste caso, isso significa marcar left parenthesis, 1, comma, 4, right parenthesis.
Quando fazemos isso para todas as entradas x possíveis, não apenas 1, vemos como são todos os pontos na forma left parenthesis, x, comma, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
A não ser que f, left parenthesis, x, right parenthesis seja uma função exótica ou esporádica que nos dá valores muito diferentes quando x varia ligeiramente, o resultado será uma curva bem suave.
Adição de mais uma dimensão
Então, o que podemos fazer para funções com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional? Talvez algo parecido com isso:
Associar entradas com saídas requer três números — dois para as entradas e um para a saída.
| Entradas left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis | Saída f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis | ||
|---|---|---|---|
| left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis | 10 | ||
| left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis | 7 | ||
| left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis | 3 | ||
| \varvdots, rectangle | \varvdots, rectangle |
Para representar essas associações usando um gráfico, nós plotamos pontos em três dimensões.
- A associação left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, right arrow, 10 é representada com o ponto left parenthesis, 0, comma, 0, comma, 10, right parenthesis.
- A associação left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis, right arrow, 7 é representada com o ponto left parenthesis, 1, comma, 0, comma, 7, right parenthesis.
- Em geral, o objetivo é representar todos os pontos na forma left parenthesis, x, comma, y, comma, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, right parenthesis para alguns pares de números x e y.
O gráfico resultante é mostrado abaixo. O vídeo mostra a rotação do gráfico, o que esperamos que lhe ajude a entender a natureza tridimensional dele. Você também pode ver o plano x, y — que agora é o espaço de entrada — abaixo do gráfico.
Isso significa que, pra qualquer ponto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis no plano, a distância vertical entre o ponto e o gráfico indica o valor de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis. A direção vertical é usualmente referida como a direção z, e o terceiro eixo, que é perpendicular ao plano x, y, é chamado de eixo z.
Enquanto o valor de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis mudar continuamente conforme os valores de x e y mudarem, o que é quase sempre o caso nas funções com que lidamos na prática, o gráfico acaba se parecendo com algum tipo de superfície.
Exemplo 1: a curva de sino
Função: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript
Gráfico:
Vamos analisar o que está acontecendo com essa função. Primeiramente, vamos olhar dentro do expoente de e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript e pensar sobre o valor x, squared, plus, y, squared
Pergunta: como podemos interpretar o valor x, squared, plus, y, squared?
Quando o ponto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis está longe da origem, a função e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript irá se parecer com e, start superscript, start text, left parenthesis, u, m, space, n, u, with, \', on top, m, e, r, o, space, n, e, g, a, t, i, v, o, space, g, r, a, n, d, e, right parenthesis, end text, end superscript, que é quase 0. Isso significa que a distância entre o gráfico e o plano x, y nesses pontos será pequena. Quando x, equals, 0 e y, equals, 0, por outro lado, e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript, equals, e, start superscript, minus, 0, end superscript, equals, 1, o que nos dá a convexidade no meio.
Questão para refletir: o gráfico acima tem simetria rotacional. Isso significa que ele terá a mesma forma para qualquer rotação realizada em torno do eixo z. Por que isso?
Exemplo 2: ondas
Função: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, s, e, n, left parenthesis, y, right parenthesis
Gráfico:
Um jeito de entender essa função f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, s, e, n, left parenthesis, y, right parenthesis e as funções com múltiplas variáveis em geral é observar o que acontece quando uma das entradas é mantida constante.
Por exemplo, o que acontece quando fixamos o valor de x em 2? Geralmente, estamos plotando todos os pontos com essa característica:
Quando mantemos o valor de x constante em 2, estamos limitando nossa visão a pontos com essa aparência:
Há uma maneira muito legal de interpretar isso geometricamente:
Os pontos no espaço em que x, equals, 2, que é o mesmo que dizer que todos os pontos na forma left parenthesis, 2, comma, y, comma, z, right parenthesis, formam um plano. Por quê? Imagine que estamos fatiando o gráfico com esse plano. O ponto de intercessão entre o plano e o gráfico — desenhado em vermelho acima — são os pontos no gráfico em que x, equals, 2.
Então por que isso nos ajudaria a entender o gráfico?
Nós basicamente transformamos uma função multivariável f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, s, e, n, left parenthesis, y, right parenthesis em uma função de uma única variável:
Na verdade, a curva que temos quando fatiamos o gráfico tridimensional em x, equals, 2 tem a mesma forma que o gráfico bidimensional de g, left parenthesis, y, right parenthesis.
Nesse sentido, você pode entender o gráfico tridimensional de uma função multivariável "uma fatia por vez" mantendo uma variável constante e analisando o gráfico bidimensional resultante.
Exemplo 3: uma entrada, duas saídas
Você também pode fazer o gráfico de uma função com uma dimensão de entrada e uma saída bidimensional — embora, por algum motivo, isso não seja feito comumente.
Função: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
Pontos plotados: left parenthesis, x, comma, x, squared, comma, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
Gráfico:
Nesse caso, apenas x corre livremente, enquanto os valores de y e z no gráfico são dependentes de x.
Se girarmos a imagem a fim de olhar diretamente para o plano cartesiano x, y, o gráfico irá se parecer com f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared. Outra maneira de dizer isso é que ao projetar o gráfico diretamente no plano x, y teremos o gráfico de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared.
Da mesma forma, girar a imagem de forma a olharmos diretamente o plano x, z faz a imagem se parecer com o gráfico de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis.
Em outras palavras, essa função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis é uma maneira de combinar as duas funções f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared e f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis em uma, e o seu gráfico captura as informações de ambas em uma imagem.
Limitações
Assim que você tentar aplicar esse processo em funções com entradas ou saídas com mais dimensões, ficaremos sem dimensões que somos capazes de visualizar de forma intuitiva.
Por exemplo, considere a função com duas entradas bidimensionais e duas saídas bidimensionais f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, y, squared, right parenthesis. Para fazer o gráfico dessa função, precisaríamos de quatro dimensões no espaço! Isso porque precisaríamos marcar todos os pontos na forma left parenthesis, x, comma, y, comma, x, squared, comma, y, squared, right parenthesis.
Na prática, quando as pessoas pensam em gráficos de funções com dimensões mais altas, como essa: f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, elas geralmente começam analisando gráficos de uma função mais simples com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional, como esta: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared. Isso é uma espécie de protótipo conceitual.
Um modelo assim pode nos ajudar a entender determinadas operações, e nos dá uma ideia do que começa a acontecer quando seus espaços de entrada se tornam multidimensionais. No fim das contas, os cálculos reais são feitos puramente simbolicamente à função com mais dimensões.
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Muito bom, mas poderiam ter exercícios para praticar esses conceitos.(8 votos)- O curso Funções multivariáveis não tem os questionários de Gamificação?(3 votos)