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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1

Lição 6: Visualização de funções multivariáveis (artigos)

Gráficos multidimensionais.

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Exemplos e limitações dos gráficos de funções multivariáveis.

Conhecimentos prévios

Funções de múltiplas variáveis

O que estamos construindo

A representação gráfica de uma função com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional requer a plotagem de pontos no espaço tridimensional.
Isso acaba parecendo uma superfície tridimensional, em que a altura da superfície acima do plano $x y$ ‍ indica o valor da função em cada ponto.

Revisão de gráficos de funções de uma variável

Gráficos são, de longe, a maneira mais familiar de visualizar funções para a maioria dos estudantes. Antes de generalizar para funções multivariáveis, eu gostaria de revisar rapidamente como gráficos funcionam para as funções de uma variável.

Suponha que a nossa função seja parecida com isso:

\begin{array}{r} f (x) = - x^{2} + 3 x + 2 \end{array}

Para plotar uma única entrada, como

x = 1

, primeiro calculamos

f (1)

\begin{aligned} f (1) & = - x^{2} + 3 x + 2 \\ = - (1)^{2} + 3 (1) + 2 \\ = 4 \end{aligned}

Então, marcamos o ponto

(1, f (1))

no plano

x y

. Neste caso, isso significa marcar

(1, 4)

Quando fazemos isso para todas as entradas

x

possíveis, não apenas

1

, vemos como são todos os pontos na forma

(x, f (x))

A não ser que

f (x)

seja uma função exótica ou esporádica que nos dá valores muito diferentes quando

x

varia ligeiramente, o resultado será uma curva bem suave.

Adição de mais uma dimensão

Então, o que podemos fazer para funções com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional? Talvez algo parecido com isso:

$f (x, y) = (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + 2$ ‍

Associar entradas com saídas requer três números — dois para as entradas e um para a saída.

		Entradas $(x, y)$ ‍	Saída $f (x, y)$ ‍
		$(0, 0)$ ‍	$10$ ‍
		$(1, 0)$ ‍	$7$ ‍
		$(1, 2)$ ‍	$3$ ‍
		$⋮$ ‍	$⋮$ ‍

Para representar essas associações usando um gráfico, nós plotamos pontos em três dimensões.

A associação $(0, 0) \to 10$ ‍ é representada com o ponto $(0, 0, 10)$ ‍.
A associação $(1, 0) \to 7$ ‍ é representada com o ponto $(1, 0, 7)$ ‍.
Em geral, o objetivo é representar todos os pontos na forma $(x, y, f (x, y))$ ‍ para alguns pares de números $x$ ‍ e $y$ ‍.

O gráfico resultante é mostrado abaixo. O vídeo mostra a rotação do gráfico, o que esperamos que lhe ajude a entender a natureza tridimensional dele. Você também pode ver o plano

x y

— que agora é o espaço de entrada — abaixo do gráfico.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Isso significa que, pra qualquer ponto

(x, y)

no plano, a distância vertical entre o ponto e o gráfico indica o valor de

f (x, y)

. A direção vertical é usualmente referida como a direção $z$ ‍, e o terceiro eixo, que é perpendicular ao plano

x y

, é chamado de eixo $z$ ‍.

Enquanto o valor de

f (x, y)

mudar continuamente conforme os valores de

x

y

mudarem, o que é quase sempre o caso nas funções com que lidamos na prática, o gráfico acaba se parecendo com algum tipo de superfície.

Exemplo 1: a curva de sino

Função:

f (x, y) = e^{- (x^{2} + y^{2})}

Gráfico:

Vamos analisar o que está acontecendo com essa função. Primeiramente, vamos olhar dentro do expoente de

e^{- (x^{2} + y^{2})}

e pensar sobre o valor

x^{2} + y^{2}

Pergunta: como podemos interpretar o valor

x^{2} + y^{2}

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
A distância entre $(x, y)$ ‍ e a origem $(0, 0)$ ‍ no espaço de entrada.
(Escolha B)
O quadrado da distância entre $(x, y)$ ‍ e a origem $(0, 0)$ ‍ no espaço de entrada.
(Escolha C)
A distância entre a entrada $(x, y)$ ‍ e o ponto do gráfico corresponde a que ela corresponde.
(Escolha D)
O quadrado da distância entre uma entrada $(x, y)$ ‍ e o ponto do gráfico a que ela corresponde.

[Mostrar resposta.]

Quando o ponto

(x, y)

está longe da origem, a função

e^{- (x^{2} + y^{2})}

irá se parecer com

e^{(um número negativo grande)}

, que é quase 0. Isso significa que a distância entre o gráfico e o plano

x y

nesses pontos será pequena. Quando

x = 0

y = 0

, por outro lado,

e^{- (x^{2} + y^{2})} = e^{- 0} = 1

, o que nos dá a convexidade no meio.

Questão para refletir: o gráfico acima tem simetria rotacional. Isso significa que ele terá a mesma forma para qualquer rotação realizada em torno do eixo

z

. Por que isso?

[Mostrar resposta.]

Exemplo 2: ondas

Função:

f (x, y) = \cos (x) \cdot sen (y)

Gráfico:

Um jeito de entender essa função

f (x, y) = \cos (x) sen (y)

e as funções com múltiplas variáveis em geral é observar o que acontece quando uma das entradas é mantida constante.

Por exemplo, o que acontece quando fixamos o valor de

x

2

? Geralmente, estamos plotando todos os pontos com essa característica:

$(x, y, \cos (x) sen (y)) \leftarrow x e y variam livremente.$ ‍

Quando mantemos o valor de

x

constante em

2

, estamos limitando nossa visão a pontos com essa aparência:

$(2, y, \cos (2) sen (y)) \leftarrow Apenas y varia livremente.$ ‍

Há uma maneira muito legal de interpretar isso geometricamente:

Os pontos no espaço em que

x = 2

, que é o mesmo que dizer que todos os pontos na forma

(2, y, z)

, formam um plano. Por quê? Imagine que estamos fatiando o gráfico com esse plano. O ponto de intercessão entre o plano e o gráfico — desenhado em vermelho acima — são os pontos no gráfico em que

x = 2

Então por que isso nos ajudaria a entender o gráfico?

Nós basicamente transformamos uma função multivariável

f (x, y) = \cos (x) sen (y)

em uma função de uma única variável:

\begin{aligned} g (y) & = \cos (2) sen (y) \\ \approx - 0, 42 sen (y) \end{aligned}

Na verdade, a curva que temos quando fatiamos o gráfico tridimensional em

x = 2

tem a mesma forma que o gráfico bidimensional de

g (y)

Nesse sentido, você pode entender o gráfico tridimensional de uma função multivariável "uma fatia por vez" mantendo uma variável constante e analisando o gráfico bidimensional resultante.

Exemplo 3: uma entrada, duas saídas

Você também pode fazer o gráfico de uma função com uma dimensão de entrada e uma saída bidimensional — embora, por algum motivo, isso não seja feito comumente.

Função:

f (x) = (x^{2}, sen (x))

Pontos plotados:

(x, x^{2}, sen (x))

Gráfico:

Nesse caso, apenas

x

corre livremente, enquanto os valores de

y

z

no gráfico são dependentes de

x

Se girarmos a imagem a fim de olhar diretamente para o plano cartesiano

x y

, o gráfico irá se parecer com

f (x) = x^{2}

. Outra maneira de dizer isso é que ao projetar o gráfico diretamente no plano

x y

teremos o gráfico de

f (x) = x^{2}

Da mesma forma, girar a imagem de forma a olharmos diretamente o plano

x z

faz a imagem se parecer com o gráfico de

f (x) = sen (x)

Em outras palavras, essa função

f (x) = (x^{2}, sen (x))

é uma maneira de combinar as duas funções

f (x) = x^{2}

f (x) = sen (x)

em uma, e o seu gráfico captura as informações de ambas em uma imagem.

Limitações

Assim que você tentar aplicar esse processo em funções com entradas ou saídas com mais dimensões, ficaremos sem dimensões que somos capazes de visualizar de forma intuitiva.

Por exemplo, considere a função com duas entradas bidimensionais e duas saídas bidimensionais

f (x, y) = (x^{2}, y^{2})

. Para fazer o gráfico dessa função, precisaríamos de quatro dimensões no espaço! Isso porque precisaríamos marcar todos os pontos na forma

(x, y, x^{2}, y^{2})

[Tentativa de visualizar esse gráfico quadrimensional ]

Na prática, quando as pessoas pensam em gráficos de funções com dimensões mais altas, como essa:

f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

, elas geralmente começam analisando gráficos de uma função mais simples com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional, como esta:

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

. Isso é uma espécie de protótipo conceitual.

Um modelo assim pode nos ajudar a entender determinadas operações, e nos dá uma ideia do que começa a acontecer quando seus espaços de entrada se tornam multidimensionais. No fim das contas, os cálculos reais são feitos puramente simbolicamente à função com mais dimensões.

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Priscyla de Souza Guadagnoli
Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Muito bom, mas poderiam t...” de Priscyla de Souza Guadagnoli
Muito bom, mas poderiam ter exercícios para praticar esses conceitos.
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Fabio Cruz
Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “O curso Funções multivari...” de Fabio Cruz
O curso Funções multivariáveis não tem os questionários de Gamificação?
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