"...nós ajustamos essa função deslocando os valores de x em -3." Mas por quê -3?

Oi, Ariel. Lembra que quando colocamos os valores em (cos(t),sen(t)), no círculo de raio 1, começamos com o ponto (1,0) em t=0. No entanto, como queremos ajustar a função à nossa nova curva, devemos observar que ela começa em (-2,0). Logo, devemos deslocar o valor de x em -3, pra sair do ponto 1 para o -2. Espero que dê pra entender :)

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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1

Lição 6: Visualização de funções multivariáveis (artigos)

Funções paramétricas, um parâmetro

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Funções paramétricas proporcionam uma maneira de representar funções com uma entrada unidimensional e uma saída multidimensional.

Conhecimentos prévios

Funções de múltiplas variáveis

Você pode aprender também sobre equações paramétricas neste vídeo. Este artigo pretende descrever o mesmo conceito no contexto de funções multivariáveis.

O que estamos construindo

Uma função com entrada unidimensional e um resultado multidimensional pode ser considerada como o desenho de uma curva no espaço.
Esta função é chamada de função paramétrica, e sua entrada é chamada de parâmetro.
Às vezes, em cálculo multivariável, você precisa encontrar uma função paramétrica que faça uma curva específica. Isto é chamado de parametrização da curva.

Visualizando funções vetoriais

Então um dia, você está feliz, lendo algo de matemática, e se depara com uma função como esta:

$f (t) = [\begin{matrix} t \cdot \cos (2 π t) \\ t \cdot sen (2 π t) \end{matrix}]$ ‍

Como você visualizaria isto?

Com uma variável única,

t

, ela produz um vetor bidimensional. Por exemplo, com a entrada

t = 1

, ela é calculada assim.

$f (1) = [\begin{matrix} 1 \cdot \cos (2 π \cdot 1) \\ 1 \cdot sen (2 π \cdot 1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$ ‍

Este resultado é um vetor com comprimento

1

apontando para a direção

x

Mas como você visualizaria todos os resultados de uma única vez?

Uma boa maneira de fazer isto é imaginar que curva a extremidade desse vetor traçará à medida que

t

varia em alguns valores. Por exemplo, o diagrama interativo a seguir permite que você veja qual curva o resultado de

f

traçará à medida que

t

varia de

0

3

Isso se chama curva paramétrica. Quando você escolhe interpretar a função dessa maneira, ela é denominada função paramétrica, e a entrada

t

é denominada parâmetro.

Olhe somente para o espaço de saída

Note que, diferentemente dos gráficos, onde tentamos descrever os espaços de entrada e saída de uma função ao mesmo tempo, ou nos mapas de contorno, onde nos baseamos somente no espaço de entrada, a interpretação de funções paramétricas nos faz avaliar o espaço de saída. Isso faz sentido no exemplo acima porque o espaço de saída tem mais dimensões que o espaço de entrada.

As informações de entrada são perdidas

O problema em desenhar somente o espaço de saída é que não fica claro de imediato quais dados de entrada foram desenhados para os dados de saída. Por exemplo, considere estas duas funções:

$\begin{aligned} f (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t) \\ sen (t) \end{array}] \\ g (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t + π) \\ sen (t + π) \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Se plotarmos essas funções como paramétricas com

t

0

2 π

, cada uma delas irá desenhar um gráfico com raio

1

centrado na origem.

Entretanto, elas são funções diferentes. Por exemplo, calcule cada uma delas em

t = 0

Dado que

f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ sen (t) \end{matrix}]

, o que é

f (0)

[Resposta]

Dado que

g (t) = [\begin{matrix} \cos (t + π) \\ sen (t + π) \end{matrix}]

, quanto é

g (0)

[Resposta]

Uma maneira de registrar os dados de entrada perdidos consiste em marcar alguns pontos com os dados de entrada

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ sen (t) \end{matrix}]$ ‍
A primeira parametrização do círculo

$g (t) = [\begin{matrix} \cos (t + π) \\ sen (t + π) \end{matrix}]$ ‍
A segunda parametrização do círculo

De maneira alternativa, você pode imaginar a curva sendo desenhada ao longo do tempo enquanto

t

sai do valor inicial e chega até o valor final. Isso é particularmente importante quando a função deve modelar uma determinada trajetória no espaço.

Parametrização

Em cálculo multivariável e, especialmente, nos tópicos chamados de "integração", é comum começar com uma curva e, então, procurar pela função paramétrica que desenhe essa curva. Um exemplo que aparece com frequência é a do círculo trigonométrico, que significa um círculo com raio

1

centrado na origem.

Encontrar a função paramétrica que descreve a curva é denominado parametrização da curva. Na seção anterior, eu demonstrei duas funções diferentes que parametrizam o círculo trigonométrico. A mais comumente usada pelas pessoas na prática é esta:

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ sen (t) \end{matrix}]$ ‍

Obs.: Quando estiver parametrizando uma curva, você não deve somente especificar a função paramétrica, mas também o intervalo de valores de entrada que irá compor a curva. Por exemplo, usando a função

f (t)

para desenhar o círculo trigonométrico acima, você pode considerar o intervalo de

t

como sendo de

0

2 π

Exemplo: Parametrização de uma curva em loop

Digamos que você está parametrizando uma curva com o seguinte padrão em loop:

Para parametrizar a curva, você deve sempre pensar em como desenhá-la. Neste caso, você pode se imaginar esboçando um círculo em sentido anti-horário enquanto alguém empurra a sua mão para a direita a uma velocidade constante. Para codificar isso por meio de fórmulas, nós iniciaremos usando funções paramétricas para um círculo:

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ sen (t) \end{matrix}]$ ‍

Começamos no ponto

(1, 0)

e traçamos um círculo de raio

1

no sentido anti-horário. Como as curvas em loop que estamos parametrizando começam em

(- 2, 0)

, nós ajustamos essa função deslocando os valores de

x

- 3

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) - 3 \\ sen (t) \end{matrix}]$ ‍

Empurrar para a direita ao longo tempo corresponde a um aumento constante da posição da sua mão ao longo do eixo

x

, independentemente do movimento que se faz para desenhar o círculo. Para codificar isso, adicione uma constante

c

vezes

t

ao componente

x

da função.

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) - 3 + c t \\ sen (t) \end{matrix}]$ ‍

Para identificar a constante, precisamos saber quanto nos deslocamos para a direita após um loop completo. Nossa função

f (t)

completa um loop quando

t

vai de

0

2 π

. Olhando para a curva em loop, parece que o deslocamento foi exatamente

1

para a direita depois de um único loop.

Isso significa que devemos ter

2 π c = 1

, e então,

c = \frac{1}{2 π}

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) - 3 + \frac{1}{2 π} t \\ sen (t) \end{matrix}]$ ‍

Finalmente, precisamos estabelecer os limites de

t

. Vamos ver quantas voltas cada curva contém:

Parece que são

6

. Já que a função escolhida

f (t)

completa uma volta quando

t

aumenta

2 π

, devemos considerar que a função varia no intervalo de

0

6 (2 π) = 12 π

Resumo

Uma função com entrada unidimensional e um resultado multidimensional pode ser considerada como o desenho de uma curva no espaço.
Esta função é chamada de função paramétrica, e sua entrada é chamada de parâmetro.
Às vezes, em cálculo multivariável, você precisa encontrar uma função paramétrica que seja uma curva específica. Isto é denominado parametrização da curva.

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Ariel Amaral
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"...nós ajustamos essa função deslocando os valores de x em -3." Mas por quê -3?
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- Jáfia Gileane
  Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Oi, Ariel. Lembra que qu...” de Jáfia Gileane
  Oi, Ariel.
  Lembra que quando colocamos os valores em (cos(t),sen(t)), no círculo de raio 1, começamos com o ponto (1,0) em t=0.
  No entanto, como queremos ajustar a função à nossa nova curva, devemos observar que ela começa em (-2,0). Logo, devemos deslocar o valor de x em -3, pra sair do ponto 1 para o -2.
  
  Espero que dê pra entender :)
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