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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1

Lição 6: Visualização de funções multivariáveis (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Pensando sobre funções multivariáveis
Visualização de funções multivariáveis (artigos)
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Funções paramétricas, um parâmetro

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Funções paramétricas proporcionam uma maneira de representar funções com uma entrada unidimensional e uma saída multidimensional.

Conhecimentos prévios

Você pode aprender também sobre equações paramétricas neste vídeo. Este artigo pretende descrever o mesmo conceito no contexto de funções multivariáveis.

O que estamos construindo

  • Uma função com entrada unidimensional e um resultado multidimensional pode ser considerada como o desenho de uma curva no espaço.
  • Esta função é chamada de função paramétrica, e sua entrada é chamada de parâmetro.
  • Às vezes, em cálculo multivariável, você precisa encontrar uma função paramétrica que faça uma curva específica. Isto é chamado de parametrização da curva.

Visualizando funções vetoriais

Então um dia, você está feliz, lendo algo de matemática, e se depara com uma função como esta:
f(t)=[t⋅cos⁡(2πt)t⋅sen⁡(2πt)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} t \cdot \cos(2\pi t) \\ t \cdot \operatorname{sen}(2\pi t) \end{array} \right]
Como você visualizaria isto?
Com uma variável única, t, ela produz um vetor bidimensional. Por exemplo, com a entrada t, equals, 1, ela é calculada assim.
f(1)=[1⋅cos⁡(2π⋅1)1⋅sen⁡(2π⋅1)]=[10]\displaystyle f(1) = \left[ \begin{array}{c} 1 \cdot \cos(2\pi \cdot1) \\ 1 \cdot \operatorname{sen}(2\pi \cdot 1) \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]
Este resultado é um vetor com comprimento 1 apontando para a direção x.
Mas como você visualizaria todos os resultados de uma única vez?
Uma boa maneira de fazer isto é imaginar que curva a extremidade desse vetor traçará à medida que t varia em alguns valores. Por exemplo, o diagrama interativo a seguir permite que você veja qual curva o resultado de f traçará à medida que t varia de 0 a 3:
Isso se chama curva paramétrica. Quando você escolhe interpretar a função dessa maneira, ela é denominada função paramétrica, e a entrada t é denominada parâmetro.

Olhe somente para o espaço de saída

Note que, diferentemente dos gráficos, onde tentamos descrever os espaços de entrada e saída de uma função ao mesmo tempo, ou nos mapas de contorno, onde nos baseamos somente no espaço de entrada, a interpretação de funções paramétricas nos faz avaliar o espaço de saída. Isso faz sentido no exemplo acima porque o espaço de saída tem mais dimensões que o espaço de entrada.

As informações de entrada são perdidas

O problema em desenhar somente o espaço de saída é que não fica claro de imediato quais dados de entrada foram desenhados para os dados de saída. Por exemplo, considere estas duas funções:
f(t)=[cos⁡(t)sen⁡(t)]g(t)=[cos⁡(t+π)sen⁡(t+π)]\begin{aligned} \blueE{f(t)} &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right] \\\\ \redE{g(t)} &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \operatorname{sen}(t+\pi) \end{array} \right] \end{aligned}
Se plotarmos essas funções como paramétricas com t de 0 a 2, pi, cada uma delas irá desenhar um gráfico com raio 1 centrado na origem.
Círculo
Entretanto, elas são funções diferentes. Por exemplo, calcule cada uma delas em t, equals, 0.
Dado que f(t)=[cos⁡(t)sen⁡(t)]\blueE{f(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right], o que é start color #0c7f99, f, left parenthesis, 0, right parenthesis, end color #0c7f99?
Escolha 1 resposta:

Dado que g(t)=[cos⁡(t+π)sen⁡(t+π)]\redE{g(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \operatorname{sen}(t+\pi) \end{array} \right], quanto é start color #bc2612, g, left parenthesis, 0, right parenthesis, end color #bc2612?
Escolha 1 resposta:

Uma maneira de registrar os dados de entrada perdidos consiste em marcar alguns pontos com os dados de entrada
f(t)=[cos⁡(t)sen⁡(t)]\blueE{f(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right]
A primeira parametrização do círculo
g(t)=[cos⁡(t+π)sen⁡(t+π)]\redE{g(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \operatorname{sen}(t+\pi) \end{array} \right]
A segunda parametrização do círculo
De maneira alternativa, você pode imaginar a curva sendo desenhada ao longo do tempo enquanto t sai do valor inicial e chega até o valor final. Isso é particularmente importante quando a função deve modelar uma determinada trajetória no espaço.

Parametrização

Em cálculo multivariável e, especialmente, nos tópicos chamados de "integração", é comum começar com uma curva e, então, procurar pela função paramétrica que desenhe essa curva. Um exemplo que aparece com frequência é a do círculo trigonométrico, que significa um círculo com raio 1 centrado na origem.
Círculo
Encontrar a função paramétrica que descreve a curva é denominado parametrização da curva. Na seção anterior, eu demonstrei duas funções diferentes que parametrizam o círculo trigonométrico. A mais comumente usada pelas pessoas na prática é esta:
f(t)=[cos⁡(t)sen⁡(t)]f(t) = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right]
Obs.: Quando estiver parametrizando uma curva, você não deve somente especificar a função paramétrica, mas também o intervalo de valores de entrada que irá compor a curva. Por exemplo, usando a função f, left parenthesis, t, right parenthesis para desenhar o círculo trigonométrico acima, você pode considerar o intervalo de t como sendo de 0 a 2, pi.

Exemplo: Parametrização de uma curva em loop

Digamos que você está parametrizando uma curva com o seguinte padrão em loop:
Desenhe a circunferência enquanto é empurrado para a direita
Para parametrizar a curva, você deve sempre pensar em como desenhá-la. Neste caso, você pode se imaginar esboçando um círculo em sentido anti-horário enquanto alguém empurra a sua mão para a direita a uma velocidade constante. Para codificar isso por meio de fórmulas, nós iniciaremos usando funções paramétricas para um círculo:
f(t)=[cos⁡(t)sen⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right]
Começamos no ponto left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis e traçamos um círculo de raio 1 no sentido anti-horário. Como as curvas em loop que estamos parametrizando começam em left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis, nós ajustamos essa função deslocando os valores de x em minus, 3.
f(t)=[cos⁡(t)−3sen⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 \\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right]
Empurrar para a direita ao longo tempo corresponde a um aumento constante da posição da sua mão ao longo do eixo x , independentemente do movimento que se faz para desenhar o círculo. Para codificar isso, adicione uma constante start color #bc2612, c, end color #bc2612 vezes t ao componente x da função.
f(t)=[cos⁡(t)−3+ctsen⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 + \redE{c}t\\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right]
Para identificar a constante, precisamos saber quanto nos deslocamos para a direita após um loop completo. Nossa função f, left parenthesis, t, right parenthesis completa um loop quando t vai de 0 a 2, pi. Olhando para a curva em loop, parece que o deslocamento foi exatamente 1 para a direita depois de um único loop.
Distância percorrida para a direita após uma volta completa
Isso significa que devemos ter 2, pi, start color #bc2612, c, end color #bc2612, equals, 1, e então, start color #bc2612, c, equals, start fraction, 1, divided by, 2, pi, end fraction, end color #bc2612.
f(t)=[cos⁡(t)−3+12πtsen⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 + \redE{\frac{1}{2\pi}}t\\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right]
Finalmente, precisamos estabelecer os limites de t. Vamos ver quantas voltas cada curva contém:
Desenhe a circunferência enquanto é empurrado para a direita
Parece que são 6. Já que a função escolhida f, left parenthesis, t, right parenthesis completa uma volta quando t aumenta 2, pi, devemos considerar que a função varia no intervalo de 0 a 6, left parenthesis, 2, pi, right parenthesis, equals, 12, pi.

Resumo

  • Uma função com entrada unidimensional e um resultado multidimensional pode ser considerada como o desenho de uma curva no espaço.
  • Esta função é chamada de função paramétrica, e sua entrada é chamada de parâmetro.
  • Às vezes, em cálculo multivariável, você precisa encontrar uma função paramétrica que seja uma curva específica. Isto é denominado parametrização da curva.

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  • Avatar duskpin ultimate style do usuário Ariel Amaral
    Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “"...nós ajustamos essa fu...” de Ariel Amaral
    "...nós ajustamos essa função deslocando os valores de x em -3." Mas por quê -3?
    (5 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar purple pi pink style do usuário Jáfia Gileane
      Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Oi, Ariel. Lembra que qu...” de Jáfia Gileane
      Oi, Ariel.
      Lembra que quando colocamos os valores em (cos(t),sen(t)), no círculo de raio 1, começamos com o ponto (1,0) em t=0.
      No entanto, como queremos ajustar a função à nossa nova curva, devemos observar que ela começa em (-2,0). Logo, devemos deslocar o valor de x em -3, pra sair do ponto 1 para o -2.

      Espero que dê pra entender :)
      (6 votos)
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