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Funções paramétricas, um parâmetro

Funções paramétricas proporcionam uma maneira de representar funções com uma entrada unidimensional e uma saída multidimensional.

Conhecimentos prévios

Você pode aprender também sobre equações paramétricas neste vídeo. Este artigo pretende descrever o mesmo conceito no contexto de funções multivariáveis.

O que estamos construindo

  • Uma função com entrada unidimensional e um resultado multidimensional pode ser considerada como o desenho de uma curva no espaço.
  • Esta função é chamada de função paramétrica, e sua entrada é chamada de parâmetro.
  • Às vezes, em cálculo multivariável, você precisa encontrar uma função paramétrica que faça uma curva específica. Isto é chamado de parametrização da curva.

Visualizando funções vetoriais

Então um dia, você está feliz, lendo algo de matemática, e se depara com uma função como esta:
f(t)=[tcos(2πt)tsen(2πt)]
Como você visualizaria isto?
Com uma variável única, t, ela produz um vetor bidimensional. Por exemplo, com a entrada t=1, ela é calculada assim.
f(1)=[1cos(2π1)1sen(2π1)]=[10]
Este resultado é um vetor com comprimento 1 apontando para a direção x.
Mas como você visualizaria todos os resultados de uma única vez?
Uma boa maneira de fazer isto é imaginar que curva a extremidade desse vetor traçará à medida que t varia em alguns valores. Por exemplo, o diagrama interativo a seguir permite que você veja qual curva o resultado de f traçará à medida que t varia de 0 a 3:
Isso se chama curva paramétrica. Quando você escolhe interpretar a função dessa maneira, ela é denominada função paramétrica, e a entrada t é denominada parâmetro.

Olhe somente para o espaço de saída

Note que, diferentemente dos gráficos, onde tentamos descrever os espaços de entrada e saída de uma função ao mesmo tempo, ou nos mapas de contorno, onde nos baseamos somente no espaço de entrada, a interpretação de funções paramétricas nos faz avaliar o espaço de saída. Isso faz sentido no exemplo acima porque o espaço de saída tem mais dimensões que o espaço de entrada.

As informações de entrada são perdidas

O problema em desenhar somente o espaço de saída é que não fica claro de imediato quais dados de entrada foram desenhados para os dados de saída. Por exemplo, considere estas duas funções:
f(t)=[cos(t)sen(t)]g(t)=[cos(t+π)sen(t+π)]
Se plotarmos essas funções como paramétricas com t de 0 a 2π, cada uma delas irá desenhar um gráfico com raio 1 centrado na origem.
Entretanto, elas são funções diferentes. Por exemplo, calcule cada uma delas em t=0.
Dado que f(t)=[cos(t)sen(t)], o que é f(0)?
Escolha 1 resposta:

Dado que g(t)=[cos(t+π)sen(t+π)], quanto é g(0)?
Escolha 1 resposta:

Uma maneira de registrar os dados de entrada perdidos consiste em marcar alguns pontos com os dados de entrada
f(t)=[cos(t)sen(t)]
g(t)=[cos(t+π)sen(t+π)]
De maneira alternativa, você pode imaginar a curva sendo desenhada ao longo do tempo enquanto t sai do valor inicial e chega até o valor final. Isso é particularmente importante quando a função deve modelar uma determinada trajetória no espaço.

Parametrização

Em cálculo multivariável e, especialmente, nos tópicos chamados de "integração", é comum começar com uma curva e, então, procurar pela função paramétrica que desenhe essa curva. Um exemplo que aparece com frequência é a do círculo trigonométrico, que significa um círculo com raio 1 centrado na origem.
Encontrar a função paramétrica que descreve a curva é denominado parametrização da curva. Na seção anterior, eu demonstrei duas funções diferentes que parametrizam o círculo trigonométrico. A mais comumente usada pelas pessoas na prática é esta:
f(t)=[cos(t)sen(t)]
Obs.: Quando estiver parametrizando uma curva, você não deve somente especificar a função paramétrica, mas também o intervalo de valores de entrada que irá compor a curva. Por exemplo, usando a função f(t) para desenhar o círculo trigonométrico acima, você pode considerar o intervalo de t como sendo de 0 a 2π.

Exemplo: Parametrização de uma curva em loop

Digamos que você está parametrizando uma curva com o seguinte padrão em loop:
Para parametrizar a curva, você deve sempre pensar em como desenhá-la. Neste caso, você pode se imaginar esboçando um círculo em sentido anti-horário enquanto alguém empurra a sua mão para a direita a uma velocidade constante. Para codificar isso por meio de fórmulas, nós iniciaremos usando funções paramétricas para um círculo:
f(t)=[cos(t)sen(t)]
Começamos no ponto (1,0) e traçamos um círculo de raio 1 no sentido anti-horário. Como as curvas em loop que estamos parametrizando começam em (2,0), nós ajustamos essa função deslocando os valores de x em 3.
f(t)=[cos(t)3sen(t)]
Empurrar para a direita ao longo tempo corresponde a um aumento constante da posição da sua mão ao longo do eixo x , independentemente do movimento que se faz para desenhar o círculo. Para codificar isso, adicione uma constante c vezes t ao componente x da função.
f(t)=[cos(t)3+ctsen(t)]
Para identificar a constante, precisamos saber quanto nos deslocamos para a direita após um loop completo. Nossa função f(t) completa um loop quando t vai de 0 a 2π. Olhando para a curva em loop, parece que o deslocamento foi exatamente 1 para a direita depois de um único loop.
Isso significa que devemos ter 2πc=1, e então, c=12π.
f(t)=[cos(t)3+12πtsen(t)]
Finalmente, precisamos estabelecer os limites de t. Vamos ver quantas voltas cada curva contém:
Parece que são 6. Já que a função escolhida f(t) completa uma volta quando t aumenta 2π, devemos considerar que a função varia no intervalo de 0 a 6(2π)=12π.

Resumo

  • Uma função com entrada unidimensional e um resultado multidimensional pode ser considerada como o desenho de uma curva no espaço.
  • Esta função é chamada de função paramétrica, e sua entrada é chamada de parâmetro.
  • Às vezes, em cálculo multivariável, você precisa encontrar uma função paramétrica que seja uma curva específica. Isto é denominado parametrização da curva.

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