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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1

Lição 6: Visualização de funções multivariáveis (artigos)

Funções paramétricas, dois parâmetros

Para representar superfícies no espaço, você pode usar funções com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

Você pode visualizar uma função com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional fazendo o gráfico de todos os pontos de saída correspondentes a alguma região do domínio. Isso resulta em uma superfície conhecida como superfície paramétrica.
O processo inverso, ou seja, o processo de começar com uma superfície no espaço e encontrar uma função que "desenha" essa superfície, é conhecido como parametrização da superfície. Em geral, isso é algo difícil de se fazer.

Revisão rápida de funções com um parâmetro

No último artigo, falamos sobre como visualizar funções com entrada unidimensional e saída bidimensional. Por exemplo:

$f (t) = [\begin{matrix} t \cos (t) \\ sen (t) \end{matrix}]$ ‍

Falamos sobre como, já que o contradomínio tem mais dimensões do que o domínio, você pode ter uma boa ideia de como é a função simplesmente vendo quais pontos do contradomínio são "atingidos" pela função conforme

t

varia dentro de um conjunto de valores.

Quando uma função é interpretada dessa maneira, ela é conhecida como função paramétrica e sua entrada

t

é chamada de parâmetro

Dois parâmetros

Podemos fazer algo muito similar com funções que têm uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional.

$f (s, t) = [\begin{matrix} t^{3} - s t \\ s - t \\ s + t \end{matrix}]$ ‍

As coordenadas de entrada

s

t

são conhecidas como parâmetros, e você está prestes a ver como essa função desenha uma superfície no espaço tridimensional.

[Relação com as equações paramétricas]

O primeiro passo para representar uma função como essa é especificar seu domínio. Por exemplo

\begin{aligned} 0 < & s < 3 \\ - 2 < & t < 2 \end{aligned}

Essa região fica assim no domínio.

Agora, consideramos todos os possíveis resultados da função naquele domínio.

$(s, t)$ ‍	$(t^{3} - s t, s - t, s + t)$ ‍
$(0, 0)$ ‍	$(0, 0, 0)$ ‍
$(1, 0)$ ‍	$(1, 1, 1)$ ‍
$(2, 1)$ ‍	$(6, 1, 3)$ ‍
$⋮$ ‍	$⋮$ ‍

Tudo bem, não escrevemos literalmente todos os resultados possíveis, pois, como você pode perceber, isso envolve infinitos cálculos. Porém, a princípio, nosso objetivo é representar todos esses valores. Uma vez que a função retorna uma saída de três coordenadas, podemos visualizar essa saída no espaço tridimensional.

A animação a seguir mostra como ela se comporta quando os pontos

(s, t)

no espaço paramétrico se movem para os resultados correspondentes

f (s, t)

no espaço tridimensional:

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

A superfície resultante no espaço tridimensional é chamada de superfície paramétrica.

Atenção: Superfícies como essas podem ser confundidas com os gráficos de funções com entrada bidimensional e saída unidimensional, já que essas também são representadas como superfícies no espaço tridimensional. Mas essas funções paramétricas têm uma característica muito diferente. Elas são funções com entrada bidimensional e saída tridimensional. Isso significa que os gráficos dessas funções exigiriam cinco dimensões!

Parametrização de uma superfície

Uma das melhores maneiras de compreender as funções paramétricas é começar com uma superfície que você queira descrever e então tentar encontrar uma função que a desenhe como uma superfície parametrizada. Isso também será uma habilidade necessária quando você começar a aprender sobre integrais de superfície mais tarde, em cálculo com múltiplas variáveis.

Fique avisado, porém, que parametrizar superfícies não é fácil. No próximo exemplo, parametrizaremos um toro, uma palavra chique para a superfície de uma rosca. Comparado com outras superfícies, um toro é um exemplo relativamente simples, mas ele ainda exige um esforço sério.

Exemplo: Parametrize um toro (rosca)

Considere a superfície representada acima. Você pode pensar nela como uma rosca, ou talvez apenas como a cobertura da rosca, desde que não nos preocupemos com o recheio. Nosso objetivo no momento é encontrar uma função com entrada bidimensional e saída tridimensional, tal que o resultado seja essa forma de rosca.

Imaginamos "desenhar" a superfície, embora ninguém simplesmente desenhe uma superfície com lápis e papel do jeito que podemos desenhar uma curva.

[Pergunte ao Boromir]

Em vez disso, nossa estratégia será desenhar cada fatia circular do toro. Para ver o que queremos dizer, aqui está uma amostra dessas fatias circulares (desenhadas em azul):

Também desenhamos uma grande circunferência vermelha no plano

x y

que passa pelos centros de cada uma das fatias. Isso não é parte do toro, mas será um ponto de referência útil para o objetivo final de desenhar cada fatia azul.

Em um problema real, o raio da circunferência vermelha pode ser dado para você, assim como o raio de cada fatia circular azul. Por ora, vamos escolher o raio da circunferência vermelha como sendo

3

e o raio de cada fatia azul como sendo

1

, tendo em mente que a escolha de valores diferentes resultaria em toros diferentes.

Ideia central: descreveremos cada ponto no toro como a soma de dois vetores:

Um vetor $\vec{c}$ ‍ da origem a um ponto na circunferência vermelha. Para especificar qual ponto na circunferência vermelha, criaremos uma função vetorial que depende de um parâmetro $t$ ‍. Quando o valor de $t$ ‍ muda, o ponto na circunferência vermelha descrito por $\vec{c} (t)$ ‍ muda.
Um vetor $\vec{d}$ ‍ daquele ponto na circunferência vermelha a um ponto na "fatia" correspondente do toro. Como a direção desse vetor depende do ponto da circunferência vermelha ao qual ele está atrelado, o valor de $\vec{d}$ ‍ deve depender do parâmetro $t$ ‍ usado para descrever pontos da circunferência vermelha. Além disso, usaremos um segundo parâmetro $u$ ‍ para determinar para qual parte da fatia azul do toro $\vec{d}$ ‍ aponta.
Vetor $\vec{(} d) (u, t)$ ‍ do círculo vermelho até um ponto no próprio toro.

Isso significa que pontos no toro serão descritos como uma soma.

$\vec{c} (t) + \vec{d} (u, t)$ ‍

(Se você não está familiarizado com o método do polígono para a soma de vetores, considere rever esse vídeo).

Por que essa estratégia?

A ideia aqui é que não sabemos imediatamente como definir pontos em um toro, mas sabemos como definir circunferências.

Uma vez que a grande circunferência vermelha está no plano

x y

e tem raio

3

, podemos parametrizá-la assim:

\begin{array}{r} \vec{c} (t) = 3 [\begin{array}{c} \cos (t) \\ sen (t) \\ 0 \end{array}] = 3 \cos (t) \hat{i} + 3 sen (t) \hat{j} + 0 \hat{k} \end{array}

[Que notação i, j e k é essa?]

A função vetorial

\vec{d} (u, t)

também deve descrever uma circunferência, mas ela é um pouco mais difícil. A fatia circular (azul) do toro que queremos que

\vec{d} (u, t)

desenhe está inclinada. Como você desenha uma circunferência que está inclinada no espaço tridimensional?

Bem, vamos começar com o que sabemos. Sabemos que em duas dimensões um círculo trigonométrico centralizado na origem pode ser descrito pela função paramétrica

\begin{array}{r} g (u) = [\begin{matrix} \cos (u) \\ sen (u) \end{matrix}] = \cos (u) \hat{i} + sen (u) \hat{j} \end{array}

Para nossa desejada fatia circular azul, fazemos algo similar, mas trocamos

\hat{i}

\hat{j}

por diferentes vetores unitários. Dê uma olhada nesta figura:

Em vez da direção "lateral" ser

\hat{i}

, o vetor unitário na direção de

x

, pensamos nele como o vetor unitário que aponta para longe da origem, que chamaremos de

\hat{v}

. Na verdade, como a direção pode depender de onde começamos,

\hat{v}

deve ser uma função vetorial dependente do parâmetro

t

, então a escrevemos como

\hat{v} (t)

De maneira similar, a direção "para cima" não é mais

\hat{j}

, mas

\hat{k}

, o vetor unitário na direção de

z

. Portanto, a parametrização da fatia circular deve ficar assim:

\begin{array}{r} \vec{d} (u, t) = \cos (u) \hat{v} (t) + sen (u) \hat{k} \end{array}

Isso com certeza nos deixa com uma pergunta: qual é a fórmula de

\hat{v} (t)

Examinando a figura, a direção para longe da origem também é descrita por

\vec{c} (t)

, então a fórmula de

\hat{v} (t)

deve ser a mesma que a de

\vec{c} (t)

, mas em escala reduzida para ser um vetor unitário.

\begin{aligned} \vec{c} (t) = 3 & [\begin{array}{c} \cos (t) \\ sen (t) \\ 0 \end{array}] \leftarrow Não é um vetor unitário \\ ⇓ \\ \hat{v} (t) = & [\begin{array}{c} \cos (t) \\ sen (t) \\ 0 \end{array}] \leftarrow Vetor unitário \end{aligned}

Isto significa que nossa expressão completa para

\vec{d} (u, t)

\begin{aligned} \vec{d} (u, t) & = \cos (u) \hat{v} (t) + sen (u) \hat{k} \\ = \cos (u) [\begin{array}{c} \cos (t) \\ sen (t) \\ 0 \end{array}] + sen (u) [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} \cos (u) \cos (t) \\ \cos (u) sen (t) \\ sen (u) \end{array}] \end{aligned}

Finalizando

Lembre-se de que razão pela qual definimos

\vec{d} (u, t)

\vec{c} (t)

foi para descrever cada ponto no toro como

\vec{c} (t) + \vec{d} (u, t)

. Juntando isso, temos a seguinte função vetorial de dois parâmetros:

\begin{aligned} \vec{f} (u, t) & = \vec{c} (t) + \vec{d} (u, t) \\ = 3 [\begin{array}{c} \cos (t) \\ sen (t) \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \cos (u) \cos (t) \\ \cos (u) sen (t) \\ sen (u) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (u) \cos (t) \\ 3 sen (t) + \cos (u) sen (t) \\ sen (u) \end{array}] \end{aligned}

Como

u

varia de

0

2 π

, a imagem da função

\vec{f} (u, t)

é uma das fatias azuis, e como

t

varia de

0

2 π

, as fatias irão compor o toro todo.

É assim que ela pode parecer se considerarmos os pontos do espaço paramétrico em que

0 \leq u \leq 2 π

0 \leq t \leq 2 π

, e vê-los mover-se para a imagem da nossa função

\vec{f} (u, t)

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Resumo

Você pode visualizar uma função com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional fazendo o gráfico de todos os pontos de saída correspondentes a alguma região do domínio. Isso resulta em uma superfície conhecida como superfície paramétrica.
O processo inverso, ou seja, o processo de começar com uma superfície no espaço e encontrar uma função que "desenha" essa superfície, é conhecido como parametrização da superfície. Em geral, isso é algo difícil de se fazer.

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Marina Vargas
Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Toda função vetorial é pa...” de Marina Vargas
Toda função vetorial é paramétrica, mas nem toda equação paramétrica é vetorial?
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