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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1

Lição 6: Visualização de funções multivariáveis (artigos)

Funções paramétricas, dois parâmetros

Para representar superfícies no espaço, você pode usar funções com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

Você pode visualizar uma função com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional fazendo o gráfico de todos os pontos de saída correspondentes a alguma região do domínio. Isso resulta em uma superfície conhecida como superfície paramétrica.
O processo inverso, ou seja, o processo de começar com uma superfície no espaço e encontrar uma função que "desenha" essa superfície, é conhecido como parametrização da superfície. Em geral, isso é algo difícil de se fazer.

Revisão rápida de funções com um parâmetro

No último artigo, falamos sobre como visualizar funções com entrada unidimensional e saída bidimensional. Por exemplo:

$\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} t\cos(t) \\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right]$

Falamos sobre como, já que o contradomínio tem mais dimensões do que o domínio, você pode ter uma boa ideia de como é a função simplesmente vendo quais pontos do contradomínio são "atingidos" pela função conforme t varia dentro de um conjunto de valores.

Quando uma função é interpretada dessa maneira, ela é conhecida como função paramétrica e sua entrada t é chamada de parâmetro

Dois parâmetros

Podemos fazer algo muito similar com funções que têm uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional.

$\displaystyle f(s, t) = \left[ \begin{array}{c} t^3 - st \\ s-t \\ s+t \end{array} \right]$

As coordenadas de entrada s e t são conhecidas como parâmetros, e você está prestes a ver como essa função desenha uma superfície no espaço tridimensional.

[Relação com as equações paramétricas]

O primeiro passo para representar uma função como essa é especificar seu domínio. Por exemplo

\begin{aligned} \quad 0 < &s < 3 \\ -2 < &t < 2 \end{aligned}

Essa região fica assim no domínio.

Agora, consideramos todos os possíveis resultados da função naquele domínio.

left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis	left parenthesis, t, cubed, minus, s, t, comma, s, minus, t, comma, s, plus, t, right parenthesis
left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis	left parenthesis, 0, comma, 0, comma, 0, right parenthesis
left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis	left parenthesis, 1, comma, 1, comma, 1, right parenthesis
left parenthesis, 2, comma, 1, right parenthesis	left parenthesis, 6, comma, 1, comma, 3, right parenthesis
\varvdots, rectangle	\varvdots, rectangle

Tudo bem, não escrevemos literalmente todos os resultados possíveis, pois, como você pode perceber, isso envolve infinitos cálculos. Porém, a princípio, nosso objetivo é representar todos esses valores. Uma vez que a função retorna uma saída de três coordenadas, podemos visualizar essa saída no espaço tridimensional.

A animação a seguir mostra como ela se comporta quando os pontos left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis no espaço paramétrico se movem para os resultados correspondentes f, left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis no espaço tridimensional:

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

A superfície resultante no espaço tridimensional é chamada de superfície paramétrica.

Atenção: Superfícies como essas podem ser confundidas com os gráficos de funções com entrada bidimensional e saída unidimensional, já que essas também são representadas como superfícies no espaço tridimensional. Mas essas funções paramétricas têm uma característica muito diferente. Elas são funções com entrada bidimensional e saída tridimensional. Isso significa que os gráficos dessas funções exigiriam cinco dimensões!

Parametrização de uma superfície

Uma das melhores maneiras de compreender as funções paramétricas é começar com uma superfície que você queira descrever e então tentar encontrar uma função que a desenhe como uma superfície parametrizada. Isso também será uma habilidade necessária quando você começar a aprender sobre integrais de superfície mais tarde, em cálculo com múltiplas variáveis.

Fique avisado, porém, que parametrizar superfícies não é fácil. No próximo exemplo, parametrizaremos um toro, uma palavra chique para a superfície de uma rosca. Comparado com outras superfícies, um toro é um exemplo relativamente simples, mas ele ainda exige um esforço sério.

Exemplo: Parametrize um toro (rosca)

Considere a superfície representada acima. Você pode pensar nela como uma rosca, ou talvez apenas como a cobertura da rosca, desde que não nos preocupemos com o recheio. Nosso objetivo no momento é encontrar uma função com entrada bidimensional e saída tridimensional, tal que o resultado seja essa forma de rosca.

Imaginamos "desenhar" a superfície, embora ninguém simplesmente desenhe uma superfície com lápis e papel do jeito que podemos desenhar uma curva.

[Pergunte ao Boromir]

Em vez disso, nossa estratégia será desenhar cada fatia circular do toro. Para ver o que queremos dizer, aqui está uma amostra dessas fatias circulares (desenhadas em azul):

Também desenhamos uma grande circunferência vermelha no plano x, y que passa pelos centros de cada uma das fatias. Isso não é parte do toro, mas será um ponto de referência útil para o objetivo final de desenhar cada fatia azul.

Em um problema real, o raio da circunferência vermelha pode ser dado para você, assim como o raio de cada fatia circular azul. Por ora, vamos escolher o raio da circunferência vermelha como sendo 3 e o raio de cada fatia azul como sendo 1, tendo em mente que a escolha de valores diferentes resultaria em toros diferentes.

Ideia central: descreveremos cada ponto no toro como a soma de dois vetores:

Um vetor start bold text, c, end bold text, with, vector, on top da origem a um ponto na circunferência vermelha. Para especificar qual ponto na circunferência vermelha, criaremos uma função vetorial que depende de um parâmetro t. Quando o valor de t muda, o ponto na circunferência vermelha descrito por start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis muda.
Um vetor start bold text, d, end bold text, with, vector, on top daquele ponto na circunferência vermelha a um ponto na "fatia" correspondente do toro. Como a direção desse vetor depende do ponto da circunferência vermelha ao qual ele está atrelado, o valor de start bold text, d, end bold text, with, vector, on top deve depender do parâmetro t usado para descrever pontos da circunferência vermelha. Além disso, usaremos um segundo parâmetro u para determinar para qual parte da fatia azul do toro start bold text, d, end bold text, with, vector, on top aponta.
Vetor left parenthesis, with, \overrightarrow, on top, start bold text, d, end bold text, right parenthesis, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis do círculo vermelho até um ponto no próprio toro.

Isso significa que pontos no toro serão descritos como uma soma.

start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis

(Se você não está familiarizado com o método do polígono para a soma de vetores, considere rever esse vídeo).

Por que essa estratégia?

A ideia aqui é que não sabemos imediatamente como definir pontos em um toro, mas sabemos como definir circunferências.

Uma vez que a grande circunferência vermelha está no plano x, y e tem raio 3, podemos parametrizá-la assim:

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{c}}(t) = 3 \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \operatorname{sen}(t) \\ 0 \end{array} \right] = 3 \cos(t) \hat{\textbf{i}} + 3 \operatorname{sen}(t) \hat{\textbf{j}} + 0 \hat{\textbf{k}} \end{aligned}

[Que notação i, j e k é essa?]

A função vetorial start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis também deve descrever uma circunferência, mas ela é um pouco mais difícil. A fatia circular (azul) do toro que queremos que start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis desenhe está inclinada. Como você desenha uma circunferência que está inclinada no espaço tridimensional?

Bem, vamos começar com o que sabemos. Sabemos que em duas dimensões um círculo trigonométrico centralizado na origem pode ser descrito pela função paramétrica

\begin{array}{r} g (u) = [\begin{matrix} \cos (u) \\ sen (u) \end{matrix}] = \cos (u) \hat{i} + sen (u) \hat{j} \end{array}

Para nossa desejada fatia circular azul, fazemos algo similar, mas trocamos start bold text, i, end bold text, with, hat, on top e start bold text, j, end bold text, with, hat, on top por diferentes vetores unitários. Dê uma olhada nesta figura:

Em vez da direção "lateral" ser start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, o vetor unitário na direção de x, pensamos nele como o vetor unitário que aponta para longe da origem, que chamaremos de start bold text, v, end bold text, with, hat, on top. Na verdade, como a direção pode depender de onde começamos, start bold text, v, end bold text, with, hat, on top deve ser uma função vetorial dependente do parâmetro t, então a escrevemos como start bold text, v, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, t, right parenthesis.

De maneira similar, a direção "para cima" não é mais start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, mas start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, o vetor unitário na direção de z. Portanto, a parametrização da fatia circular deve ficar assim:

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{d}}(u, t) = \cos(u) \hat{\textbf{v}}(t) + \operatorname{sen}(u) \hat{\textbf{k}} \end{aligned}

Isso com certeza nos deixa com uma pergunta: qual é a fórmula de start bold text, v, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, t, right parenthesis?

Examinando a figura, a direção para longe da origem também é descrita por start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, então a fórmula de start bold text, v, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, t, right parenthesis deve ser a mesma que a de start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, mas em escala reduzida para ser um vetor unitário.

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{c}}(t) = 3&\left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \operatorname{sen}(t) \\ 0 \end{array} \right] \quad \leftarrow \small{\gray{\text{Não é um vetor unitário}}} \\ \Downarrow& \\ \hat{\textbf{v}}(t) = &\left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \operatorname{sen}(t) \\ 0 \end{array} \right] \quad \leftarrow \small{\gray{\text{Vetor unitário}}} \end{aligned}

Isto significa que nossa expressão completa para start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis é

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{d}}(u, t) &= \cos(u) \hat{\textbf{v}}(t) + \operatorname{sen}(u) \hat{\textbf{k}} \\ &= \cos(u) \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \operatorname{sen}(t) \\ 0 \end{array} \right]+ \operatorname{sen}(u) \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} \cos(u)\cos(t) \\ \cos(u)\operatorname{sen}(t) \\ \operatorname{sen}(u) \end{array} \right] \end{aligned}

Finalizando

Lembre-se de que razão pela qual definimos start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis e start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis foi para descrever cada ponto no toro como start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis. Juntando isso, temos a seguinte função vetorial de dois parâmetros:

\begin{aligned} \quad \vec{f}(u, t) &= \vec{\textbf{c}}(t) + \vec{\textbf{d}}(u, t) \\ &= 3\left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \operatorname{sen}(t) \\ 0 \end{array} \right] + \left[\begin{array}{c} \cos(u)\cos(t) \\ \cos(u)\operatorname{sen}(t) \\ \operatorname{sen}(u) \end{array} \right] \\ &= \blueE{\left[ \begin{array}{c} 3\cos(t) + \cos(u)\cos(t) \\ 3\operatorname{sen}(t)+\cos(u)\operatorname{sen}(t) \\ \operatorname{sen}(u) \end{array} \right]} \end{aligned}

Como u varia de 0 a 2, pi, a imagem da função f, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis é uma das fatias azuis, e como t varia de 0 a 2, pi, as fatias irão compor o toro todo.

É assim que ela pode parecer se considerarmos os pontos do espaço paramétrico em que 0, is less than or equal to, u, is less than or equal to, 2, pi e 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi, e vê-los mover-se para a imagem da nossa função f, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis:

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Resumo

Você pode visualizar uma função com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional fazendo o gráfico de todos os pontos de saída correspondentes a alguma região do domínio. Isso resulta em uma superfície conhecida como superfície paramétrica.
O processo inverso, ou seja, o processo de começar com uma superfície no espaço e encontrar uma função que "desenha" essa superfície, é conhecido como parametrização da superfície. Em geral, isso é algo difícil de se fazer.

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Marina Vargas
Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Toda função vetorial é pa...” de Marina Vargas
Toda função vetorial é paramétrica, mas nem toda equação paramétrica é vetorial?
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