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Funções paramétricas, dois parâmetros

Para representar superfícies no espaço, você pode usar funções com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional.

O que estamos construindo

  • Você pode visualizar uma função com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional fazendo o gráfico de todos os pontos de saída correspondentes a alguma região do domínio. Isso resulta em uma superfície conhecida como superfície paramétrica.
  • O processo inverso, ou seja, o processo de começar com uma superfície no espaço e encontrar uma função que "desenha" essa superfície, é conhecido como parametrização da superfície. Em geral, isso é algo difícil de se fazer.

Revisão rápida de funções com um parâmetro

No último artigo, falamos sobre como visualizar funções com entrada unidimensional e saída bidimensional. Por exemplo:
f(t)=[tcos(t)sen(t)]
Falamos sobre como, já que o contradomínio tem mais dimensões do que o domínio, você pode ter uma boa ideia de como é a função simplesmente vendo quais pontos do contradomínio são "atingidos" pela função conforme t varia dentro de um conjunto de valores.
Todos os pontos no plano xy que são atingidos pela função f(t)=(tcos(t),sen(t))
Quando uma função é interpretada dessa maneira, ela é conhecida como função paramétrica e sua entrada t é chamada de parâmetro

Dois parâmetros

Podemos fazer algo muito similar com funções que têm uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional.
f(s,t)=[t3ststs+t]
As coordenadas de entrada s e t são conhecidas como parâmetros, e você está prestes a ver como essa função desenha uma superfície no espaço tridimensional.
O primeiro passo para representar uma função como essa é especificar seu domínio. Por exemplo
0<s<32<t<2
Essa região fica assim no domínio.
Agora, consideramos todos os possíveis resultados da função naquele domínio.
(s,t)(t3st,st,s+t)
(0,0)(0,0,0)
(1,0)(1,1,1)
(2,1)(6,1,3)
Tudo bem, não escrevemos literalmente todos os resultados possíveis, pois, como você pode perceber, isso envolve infinitos cálculos. Porém, a princípio, nosso objetivo é representar todos esses valores. Uma vez que a função retorna uma saída de três coordenadas, podemos visualizar essa saída no espaço tridimensional.
A animação a seguir mostra como ela se comporta quando os pontos (s,t) no espaço paramétrico se movem para os resultados correspondentes f(s,t) no espaço tridimensional:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
A superfície resultante no espaço tridimensional é chamada de superfície paramétrica.
Atenção: Superfícies como essas podem ser confundidas com os gráficos de funções com entrada bidimensional e saída unidimensional, já que essas também são representadas como superfícies no espaço tridimensional. Mas essas funções paramétricas têm uma característica muito diferente. Elas são funções com entrada bidimensional e saída tridimensional. Isso significa que os gráficos dessas funções exigiriam cinco dimensões!

Parametrização de uma superfície

Uma das melhores maneiras de compreender as funções paramétricas é começar com uma superfície que você queira descrever e então tentar encontrar uma função que a desenhe como uma superfície parametrizada. Isso também será uma habilidade necessária quando você começar a aprender sobre integrais de superfície mais tarde, em cálculo com múltiplas variáveis.
Fique avisado, porém, que parametrizar superfícies não é fácil. No próximo exemplo, parametrizaremos um toro, uma palavra chique para a superfície de uma rosca. Comparado com outras superfícies, um toro é um exemplo relativamente simples, mas ele ainda exige um esforço sério.

Exemplo: Parametrize um toro (rosca)

Considere a superfície representada acima. Você pode pensar nela como uma rosca, ou talvez apenas como a cobertura da rosca, desde que não nos preocupemos com o recheio. Nosso objetivo no momento é encontrar uma função com entrada bidimensional e saída tridimensional, tal que o resultado seja essa forma de rosca.
Imaginamos "desenhar" a superfície, embora ninguém simplesmente desenhe uma superfície com lápis e papel do jeito que podemos desenhar uma curva.
Em vez disso, nossa estratégia será desenhar cada fatia circular do toro. Para ver o que queremos dizer, aqui está uma amostra dessas fatias circulares (desenhadas em azul):
Também desenhamos uma grande circunferência vermelha no plano xy que passa pelos centros de cada uma das fatias. Isso não é parte do toro, mas será um ponto de referência útil para o objetivo final de desenhar cada fatia azul.
Em um problema real, o raio da circunferência vermelha pode ser dado para você, assim como o raio de cada fatia circular azul. Por ora, vamos escolher o raio da circunferência vermelha como sendo 3 e o raio de cada fatia azul como sendo 1, tendo em mente que a escolha de valores diferentes resultaria em toros diferentes.
Ideia central: descreveremos cada ponto no toro como a soma de dois vetores:
  1. Um vetor c da origem a um ponto na circunferência vermelha. Para especificar qual ponto na circunferência vermelha, criaremos uma função vetorial que depende de um parâmetro t. Quando o valor de t muda, o ponto na circunferência vermelha descrito por c(t) muda.
  2. Um vetor d daquele ponto na circunferência vermelha a um ponto na "fatia" correspondente do toro. Como a direção desse vetor depende do ponto da circunferência vermelha ao qual ele está atrelado, o valor de d deve depender do parâmetro t usado para descrever pontos da circunferência vermelha. Além disso, usaremos um segundo parâmetro u para determinar para qual parte da fatia azul do toro d aponta.
Isso significa que pontos no toro serão descritos como uma soma.
c(t)+d(u,t)
(Se você não está familiarizado com o método do polígono para a soma de vetores, considere rever esse vídeo).

Por que essa estratégia?

A ideia aqui é que não sabemos imediatamente como definir pontos em um toro, mas sabemos como definir circunferências.
Uma vez que a grande circunferência vermelha está no plano xy e tem raio 3, podemos parametrizá-la assim:
c(t)=3[cos(t)sen(t)0]=3cos(t)i^+3sen(t)j^+0k^
A função vetorial d(u,t) também deve descrever uma circunferência, mas ela é um pouco mais difícil. A fatia circular (azul) do toro que queremos que d(u,t) desenhe está inclinada. Como você desenha uma circunferência que está inclinada no espaço tridimensional?
Bem, vamos começar com o que sabemos. Sabemos que em duas dimensões um círculo trigonométrico centralizado na origem pode ser descrito pela função paramétrica
g(u)=[cos(u)sen(u)]=cos(u)i^+sen(u)j^
Para nossa desejada fatia circular azul, fazemos algo similar, mas trocamos i^ e j^ por diferentes vetores unitários. Dê uma olhada nesta figura:
Em vez da direção "lateral" ser i^, o vetor unitário na direção de x, pensamos nele como o vetor unitário que aponta para longe da origem, que chamaremos de v^. Na verdade, como a direção pode depender de onde começamos, v^ deve ser​ uma função vetorial dependente do parâmetro t, então a escrevemos como v^(t).
De maneira similar, a direção "para cima" não é mais j^, mas k^, o vetor unitário na direção de z. Portanto, a parametrização da fatia circular deve ficar assim:
d(u,t)=cos(u)v^(t)+sen(u)k^
Isso com certeza nos deixa com uma pergunta: qual é a fórmula de v^(t)?
Examinando a figura, a direção para longe da origem também é descrita por c(t), então a fórmula de v^(t) deve ser a mesma que a de c(t), mas em escala reduzida para ser um vetor unitário.
c(t)=3[cos(t)sen(t)0]Não é um vetor unitáriov^(t)=[cos(t)sen(t)0]Vetor unitário
Isto significa que nossa expressão completa para d(u,t) é
d(u,t)=cos(u)v^(t)+sen(u)k^=cos(u)[cos(t)sen(t)0]+sen(u)[001]=[cos(u)cos(t)cos(u)sen(t)sen(u)]

Finalizando

Lembre-se de que razão pela qual definimos d(u,t) e c(t) foi para descrever cada ponto no toro como c(t)+d(u,t). Juntando isso, temos a seguinte função vetorial de dois parâmetros:
f(u,t)=c(t)+d(u,t)=3[cos(t)sen(t)0]+[cos(u)cos(t)cos(u)sen(t)sen(u)]=[3cos(t)+cos(u)cos(t)3sen(t)+cos(u)sen(t)sen(u)]
Como u varia de 0 a 2π, a imagem da função f(u,t) é uma das fatias azuis, e como t varia de 0 a 2π, as fatias irão compor o toro todo.
É assim que ela pode parecer se considerarmos os pontos do espaço paramétrico em que 0u2π e 0t2π, e vê-los mover-se para a imagem da nossa função f(u,t):
Invólucro do vídeo da Khan Academy

Resumo

  • Você pode visualizar uma função com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional fazendo o gráfico de todos os pontos de saída correspondentes a alguma região do domínio. Isso resulta em uma superfície conhecida como superfície paramétrica.
  • O processo inverso, ou seja, o processo de começar com uma superfície no espaço e encontrar uma função que "desenha" essa superfície, é conhecido como parametrização da superfície. Em geral, isso é algo difícil de se fazer.

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