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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1
Lição 6: Visualização de funções multivariáveis (artigos)Transformações
Aqui, vemos como pensar sobre funções multivariáveis por meio de movimento e animação
Conhecimentos prévios
A ideia por trás das transformações
Em todos os nossos métodos de visualização de funções com múltiplas variáveis, o objetivo é ver a conexão entre a entrada e o resultado de uma função.
- Nos gráficos, isso significa incluir pontos cujas coordenadas incluem tanto as informações da entrada quanto as do resultado.
- Nos mapas de contorno, isso significa marcar quais valores de entrada correspondem a certos resultados.
- Nas funções paramétricas, você marca onde as entradas chegam no contradomínio.
- Nos campos vetoriais você plota o resultado como um vetor cujo ponto de partida está na entrada.
A ideia por trás das transformações consiste em simplesmente visualizar (ou imaginar) cada ponto de entrada se movendo para o ponto de resultado correspondente.
Pode parecer uma viagem enxergar uma função como uma transformação se você nunca pensou assim antes, então isso pode parecer confuso no começo, mas tudo bem.
Para aguçar o seu apetite de saber como isso pode acontecer, assista a esse vídeo sobre superfícies paramétricas, que mostra como certas funções transformam um quadrado em um toro (forma de rosquinha):
Conceito sobre precisão
Pensar nas funções como transformações pode ser uma ferramenta poderosa, por algumas razões:
- Não estamos tão limitados pelas dimensões. Tanto a entrada quanto a saída podem ter uma, duas ou três dimensões, e existirá uma forma concreta de examinar o que a função está fazendo.Mesmo quando as dimensões são muito grandes para que possamos visualizá-las, pensar na função em termos de uma transformação permite, pelo menos, termos uma vaga ideia do que está acontecendo. Por exemplo, sabemos que de uma função com 100 dimensões em um espaço com 20 dimensões sofre um "achatamento" de 80 dimensões, talvez análoga ao achatamento do espaço tridimensional na reta.
- Essa ideia permite generalizar mais facilmente as funções com diferentes tipos de entradas e saídas, como as funções de números complexos, ou funções que mapeiam os pontos de uma esfera no plano x, y.
- Entender as funções dessa forma irá ajudar a ver as conexões entre o cálculo de múltiplas variáveis e a álgebra linear.
Entretanto, dito tudo isso, deve-se enfatizar que as transformações são muito importantes para entendermos o que as funções fazem, mas não são uma descrição precisa delas. Seria muito difícil aprender as propriedades de uma dada função examinando-a como uma transformação.
Exemplo 1: de reta para reta
Vamos começar com o básico, uma função de uma única variável.
Considere os pares de dados de entrada e saída.
| x (entrada) | x, squared, minus, 3 (saída) |
|---|---|
| minus, 2 | 1 |
| minus, 1 | minus, 2 |
| 0 | minus, 3 |
| 1 | minus, 2 |
| 2 | 1 |
| \varvdots, rectangle | \varvdots, rectangle |
O que aconteceria se os dados de entrada deslizassem na reta numérica até os dados de saída correspondentes? Se imaginarmos os dados de entrada como sendo uma reta numérica, e os dados de saída como sendo uma outra reta numérica, nós devemos ter uma animação mais ou menos assim:
De outra forma, já que nesse caso o domínio e o contradomínio são iguais, uma reta numérica, nós podemos pensar em uma reta se transformando nela mesma, arrastando cada ponto x para o ponto onde x, squared, minus, 3 começa, assim:
Exemplo 2: de reta para plano
Agora vamos pegar uma função com uma dimensão no domínio e duas dimensões na imagem, como
Novamente, consideramos todos pares de entrada e saída.
| Entradas x | Saídas left parenthesis, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, comma, start fraction, x, divided by, 2, end fraction, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis |
|---|---|
| 0 | left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis |
| start fraction, pi, divided by, 2, end fraction | left parenthesis, 0, comma, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, right parenthesis |
| pi | left parenthesis, minus, 1, comma, 0, right parenthesis |
| \varvdots, rectangle | \varvdots, rectangle |
Imagine todos os dados de entrada deslizando sobre uma reta numérica até os dados de saída correspondentes. Dessa vez, como os dados de saída consistem em duas coordenadas, eles pertencem ao plano x, y.
Note que a imagem final da reta numérica deformada e retorcida no plano x, y representa o que nós teríamos desenhado se tivéssemos interpretado f como uma função paramétrica, mas dessa vez, nós podemos ver onde os pontos de entrada terminam na curva final.
Vamos dedicar um tempo para assistir novamente e acompanhar como alguns pontos específicos de entrada se movem até os pontos de saída.
Exemplo 3: transformação simples de plano para plano
Considere uma rotação de 90, degrees (as setas são mostradas apenas para ajudar a seguir a transformação):
Isso poderia ser considerado como uma maneira de visualizar uma certa função com uma entrada e uma saída bidimensionais. Por quê?
Essa transformação move pontos no espaço bidimensional para outros pontos no espaço bidimensional. Por exemplo, o ponto que parte de left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis chega em left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesis. O ponto que parte de left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis chega em left parenthesis, minus, 2, comma, 1, right parenthesis, etc. A função que descreve essa transformação é
Para qualquer ponto dado, por exemplo left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis, a função f diz onde o ponto termina depois de você girar o plano 90, degrees no sentido anti-horário (nesse caso left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis).
Exemplo 4: transformação mais complicada de plano para plano
Agora vamos examinar uma função mais complicada com entrada e saída bidimensionais:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, comma, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis.
Cada entrada é um ponto no plano, como left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis e se move para outro ponto no plano, como left parenthesis, 1, squared, plus, 2, squared, comma, 1, squared, minus, 2, squared, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, comma, minus, 3, right parenthesis. Quando observamos cada ponto no plano deslizar para sua imagem correspondente, é como se uma cópia do plano estivesse surgindo:
Note que todos os pontos acabam do lado direito do plano. Isso ocorre porque a primeira coordenada da imagem é x, squared, plus, y, squared, que deve sempre ser positiva.
Pergunta desafio: note que na transformação acima, representada pela função f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, comma, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis, todos os pontos terminam na forma de um V deitado entre as retas x, equals, y e x, equals, minus, y. Qual dos seguintes fatos numéricos explica isto?
Exemplo 5: de plano para reta
Agora pense em uma função com entrada bidimensional e saída unidimensional.
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared,
A transformação correspondente vai comprimir o plano x, y na reta numérica.
Esse esmagamento pode tornar difícil entender o que está acontecendo, então para o bem de uma descrição clara e precisa, você se sairá melhor usando um gráfico ou uma mapa de contornos. No entanto, pode ser muito útil lembrar que o que uma função de duas dimensões para uma dimensão faz é espremer, de certa maneira, o plano em uma determinada reta.
Por exemplo, isso permite uma nova forma de interpretar os níveis em um mapa de contorno: eles são pontos do plano amassados em um ponto comum na reta.
Exemplo 6: de plano para espaço
Funções com entrada bidirecional e saída tridimensional mapeiam o plano em um espaço tridimensional. Por exemplo, uma transformação assim pode se parecer com isso (as linhas vermelhas e azuis servem para ajudar a acompanhar o que está acontecendo nas direções x e y):
De maneira similar ao exemplo acima de ''uma para duas dimensões'', a imagem final reflete a superfície a que chegaríamos ao interpretar a função como uma função paramétrica.
Exemplo 7: de espaço para espaço
Funções de três para três dimensões podem ser vistas como o mapeamento de todos os espaços tridimensionais sobre si mesmos. Com tantas variáveis, examinar a transformação pode, na verdade, ser uma combinação de algo horripilante, bonito e confuso. Por exemplo, considere essa função:
É com isso que essa transformação se parece.
Pode até ser bonito, mas tentar acompanha-la pode causar uma confusão macarrônica.
Considerações finais
As transformações podem proporcionar maneiras maravilhosas de se interpretar as propriedades de uma função, uma vez que você as entender. Por exemplo, funções constantes esmagam seu domínio em um ponto, enquanto funções descontínuas devem dividir o domínio durante a transformação.
Essas interpretações físicas podem se tornar particularmente úteis quando nos aventurarmos nos tópicos de cálculo de múltiplas variáveis, quando se corre o risco de aprender conceitos e operações simbolicamente sem que entenda completamente o que está acontecendo.
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