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Campos vetoriais

Campos vetoriais representam o fluxo de um fluído (entre muitas outras coisas). Eles também representam uma maneira de visualizar funções cujo espaço de entrada e espaço de saída têm a mesma dimensão.

Conhecimentos prévios

Notação vetorial:
  • i^ é o vetor unitário no sentido x
  • j^ é o vetor unitário no sentido y
  • k^ é o vetor unitário no sentido z

O que estamos construindo

  • Um campo vetorial associa um vetor a cada ponto no espaço.
  • O campo vetorial e o fluxo do fluido caminham de mãos dadas.
  • Você pode pensar em um campo vetorial como sendo uma representação de uma função multivariável cujos espaços de entrada e de saída têm a mesma dimensão.
  • Geralmente os comprimentos das setas desenhadas em um campo vetorial não estão em escala, mas a razão entre o comprimento de um vetor e outro deve ser exata. Às vezes, o comprimento do vetor é informado por meio de cor.

Aquecimento: desenho de movimento usando vetores velocidade

Como você desenha um objeto em movimento? Uma maneira, comum em matemática e física, é anexar o vetor velocidade descrevendo aquele movimento do objeto para o desenho.
  • O comprimento (magnitude) do vetor indica a velocidade.
  • O sentido do vetor indica para onde o objeto está se movendo.
Por exemplo, suponha que você tenha uma raposa e uma baleia se movendo para a esquerda. Vamos dizer que a raposa esteja se movendo (ou melhor sendo arrastada, da maneira como eu desenhei) 10 metros por segundo, e que a baleia esteja se movendo 5 metros por segundo. Você pode descrever seus movimentos dessa forma:
Há duas convenções importantes para observarmos neste exemplo:
  1. A descrição de um vetor somente nos diz sua magnitude e seu sentido (por exemplo, 10 metros por segundo para a esquerda), mas não em que lugar desenhar o vetor. A escolha de anexar a cauda do vetor ao objeto cujo movimento ele representa é apenas uma convenção.
  2. Os comprimentos reais dos vetores no desenho não importam, desde que o vetor anexado à raposa seja duas vezes maior que o vetor anexado à baleia. Você somente pode dizer à pessoa olhando à imagem que "independentemente do comprimento da seta que acabei de desenhar saindo da raposa, aquilo é o que 10 metros por segundo deveria parecer."

Exemplo motivador: fluxo de fluidos em duas dimensões

Agora vamos subir de patamar. E se, ao invés de descrever o movimento de um ou dois objetos, você tivesse um fluido que corresse de uma maneira particular. Por exemplo, a seguinte animação descreve tal fluxo do fluido mostrando o movimento de somente algumas partículas de fluido (desenhadas na forma de pontos azuis):
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Para representar este tipo de movimento, precisamos transmitir muito mais informações do que somente uma magnitude e um sentido. Precisamos expressar a velocidade de cada partícula individual no fluido.
Na verdade, quando se trata de desenhar esse movimento, podemos representar apenas uma amostra das partículas. Por exemplo, se você desenhar um vetor velocidade em cada uma das partículas mostradas na animação, e se adicionar alguns eixos de coordenadas para ter controle de onde tudo está, você pode obter um diagrama parecido com este:
Se deixar seus olhos seguirem as setas na imagem, movendo de uma para outra, você poderá ter uma boa impressão de como o fluido que ela representa flui, mesmo que seja uma imagem estática. As partículas que estão próximas umas das outras tendem a se mover na mesma velocidade e sentido. Portanto, cada seta representa não somente a velocidade da partícula individual a que ela está ligada, mas também fornece um panorama de como as partículas próximas a ela se movimentam.
Um diagrama como esse é chamado de campo vetorial.
Um detalhe importante a ser mencionado sobre a maneira como as pessoas normalmente desenham campos vetoriais é que vetores quase nunca são desenhados em escala. Por exemplo, se uma partícula de fluido individual estivesse se movendo a 10 metros por segundo, nós deveríamos tecnicamente fazer uma seta anexada à ela com um comprimento de 10 unidades, mas que poderia abranger toda a imagem! Se houvesse setas realmente longas anexadas a cada ponto, direcionadas para todos os lados, o diagrama poderia virar uma grande bagunça.
Como resultado, é comum diminuirmos a escala de cada vetor a fim de que todos se encaixem organizadamente na imagem. O que importa não é o comprimento específico de qualquer um dos vetores, mas como os comprimentos dos vetores diferentes comparam-se uns com os outros.
Outra maneira com a qual alguns programas gráficos representam o comprimento relativo é colorindo cada vetor. Por exemplo, a seguinte imagem mostra o mesmo campo vetorial usando cores: setas coloridas de azul escuro deveriam ser entendidas como "menores" do que as setas coloridas de azul claro, ainda que tecnicamente elas tenham o mesmo comprimento.
Vamos pensar matematicamente sobre o que é um campo vetorial. Cada ponto no espaço bidimensional está associado a um vetor bidimensional. Podemos pensar nisso como uma função vetorial (multivariável), cuja entrada é um ponto (x,y) em um espaço bidimensional, e cuja saída é um vetor bidimensional.
Por exemplo, a função que utilizei para gerar o fluxo do fluido e o campo vetorial acima é
f(x,y)=[sen(x)+sen(y)sen(x)sen(y)]=(sen(x)+sen(y))i^+(sen(x)sen(y))j^
Uma vez que a entrada e a saída dessa função têm duas coordenadas, tentar representá-la graficamente exigiria quatro dimensões. Mas com apenas um desenho bidimensional nós a representamos quase que completamente! Além do mais, essa imagem nos dá uma visão melhor para o fluido em espiral que ele tenta representar do que um gráfico jamais poderia representar.
Verificação do conceito: dada a fórmula para f que acabei de dar, quais são os componentes de um vetor anexado ao ponto (π,π2) no plano xy?
O componente x é
(você também pode pensar nisso como sendo o componente i^)

O componente y é
(você também pode pensar nisso como sendo o componente j^)

Portanto, esse vetor aponta

Exemplo 1: a função identidade

Considere essa função:
f(x,y)=[xy]
Isso associa um determinado ponto em um espaço bidimensional, como (3,4), a um vetor que tem essas mesmas coordenadas. Por exemplo, o vetor anexado a (3,4) terá a seguinte aparência:
Quando você faz isso em muitos outros pontos no plano, e coloca todos os vetores em escala para que não fiquem muito confusos, você obterá uma imagem como esta:
Campo vetorial de f(x,y)=(x,y)

Exemplo 2: nenhum componente horizontal

Em seguida, considere a função
f(x,y)=[0ysen(x)]
O componente x da saída é sempre 0, portanto os vetores no nosso campo vetorial devem apenas apontar para cima ou para baixo.
A segunda coordenada da saída nos diz qual a altura que cada vetor deve ter. Uma vez que essa tem um fator y, as setas devem ficar mais compridas conforme nos distanciamos do eixo x, e diminuir de comprimento conforme nos aproximamos desse eixo (por quê?). Há também um fator sen(x), então conforme vamos da esquerda para a direita, a altura dos vetores oscilará para cima e para baixo.
Campo vetorial de f(x,y)=(0,ysen(x))

Exemplo 3: receber ajuda através de gráficos

A prática faz a perfeição, então vamos olhar mais uma função vetorial em duas dimensões e raciocinar sobre como deveria ser a aparência do campo vetorial que ele representa. Pensar dessa maneira é um pouco mais complexo que os exemplos anteriores.
f(x,y)=[1y2y]
Uma vez que x não aparece em nenhum lugar na saída, os vetores no nosso campo permanecerão inalterados ao movermos para a esquerda e para a direita (por quê?).
O primeiro componente dos nossos vetores é sempre 1, então todos os vetores terão o mesmo componente para a direita. Quanto ao segundo componente dos vetores, eles serão iguais a y2y, mas ao que eles parecerão?
Podemos fazer um breve desvio para entender a expressão y2y olhando para o gráfico de uma função com variável única g(y)=y2y. A expressão pode ser fatorada como y(y1), portanto suas raízes são 0 e 1. Nós também a conhecemos como uma parábola com concavidade voltada para cima pois ela é uma função quadrática com um primeiro termo positivo, então temos o seguinte gráfico:
Gráfico de g(y)=y2y
Esta função é positiva fora do intervalo [0,1], e ligeiramente negativa no seu interior.
Agora dê uma olhada novamente em nossa função de campo vetorial.
f(x,y)=[1y2y]
O componente y de cada vetor será ligeiramente negativo (ou seja, vão apontar para baixo) quando y estiver entre 0 e 1. Conforme y se afastar desse intervalo, indo para cima ou para baixo no plano, o componente y do vetor ficará cada vez mais positivo, então cada vetor apontará cada vez mais para cima. Ao esboçar isso, você deverá obter algo parecido com o gráfico abaixo:
Campo vetorial de f(x,y)=(1,y2y)

Campos vetoriais em três dimensões

Podemos fazer a mesma coisa em três dimensões, quem sabe modelando correntes de ar. De maneira semelhante ao caso bidimensional, associamos cada ponto no espaço tridimensional a um vetor tridimensional e desenhamos apenas uma amostra desses vetores.
O vídeo a seguir mostra como pode ser a aparência de tal campo vetorial tridimensional, com cores mais próximas do vermelho indicando vetores mais longos e cores mais próximas do azul indicando vetores mais curtos.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Desta vez, nosso campo vetorial representa uma função com uma coordenada de entrada de 3 e uma coordenada de saída de 3, portanto representá-lo graficamente exigiria 6 dimensões! A função específica usada para esse exemplo foi
f(x,y,z)=[y+zx+zx+y]
Desenhar campos vetoriais tridimensionais pode ser difícil, e mesmo quando o fazemos, talvez com algum programa gráfico, os vetores podem se atrapalhar mutuamente sendo difícil ver o que está acontecendo. Como consequência, essa é uma das visualizações que é muito útil como uma ideia solta na cabeça, mas não necessariamente útil para representações precisas.

Resumo

  • Um campo vetorial associa um vetor a cada ponto no espaço.
  • O campo vetorial e o fluxo do fluido caminham de mãos dadas.
  • Você pode pensar em um campo vetorial como sendo uma representação de uma função multivariável cujos espaços de entrada e de saída têm a mesma dimensão.
  • Geralmente os comprimentos das setas desenhadas em um campo vetorial não estão em escala, mas a razão entre o comprimento de um vetor e outro deve ser exata. Às vezes, o comprimento do vetor é informado por meio de cor.

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