Reduzir a dependência nos gráficos

Embora gráficos sejam uma ótima maneira de pensar sobre funções de uma única variável, eles nem sempre funcionam para funções com múltiplas variáveis.

Conhecimentos prévios

Gráficos não são o único caminho

Se você tiver uma função de uma única variável, como esta abaixo, é comum visualizá-la usando um gráfico.

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 3$ ‍

No entanto, é importante lembrar-se de que gráficos não são a mesma coisa que funções. Isso pode parecer óbvio, mas gráficos são tão úteis para representar funções de uma única variável, que as pessoas muitas vezes se apegam demais à ideia de gráficos quando o seu foco muda para funções multivariáveis.

Por exemplo, lembra-se da derivada? Em algum momento você pode ter visto a definição formal, que se parece com isto:

\begin{array}{r} f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \leftarrow Definição formal da derivada. \end{array}

Seja franco, quantas vezes você realmente pensou neste limite ao resolver exercícios, ao aprender a calcular derivadas e ao interpretar o significado de derivadas?

É muito mais simples pensar na derivada como sendo a representação da inclinação do gráfico de

f

. E não há nada de errado nisso! Pelo menos, não para o cálculo de uma variável.

Em cálculo multivariável, nem sempre visualizaremos funções com gráficos. Consequentemente, quando estendemos a ideia de uma derivada, você não pode sempre pensar nela como uma inclinação. Isso não significa, no entanto, que não vamos visualizá-la! É só que a visualização poderá ser um pouco diferente às vezes.

Da mesma forma, a compreensão de uma integral como o cálculo da área (com sinal) sob uma curva é tão útil que os alunos de cálculo de uma variável raramente pensam nela de outra forma. Por que você pensaria? Em time que está ganhando não se mexe, não é mesmo?

Dominar o cálculo multivariável requer flexibilidade para pensar em funções de uma maneira diferente—ainda visualmente, mas de forma diferente. Também é necessário incorporar noções fundamentais, como derivadas e integração, a essas novas maneiras de pensar.

Por exemplo, a derivada está fundamentalmente perguntando como a saída de uma função varia conforme você muda ligeiramente sua entrada. Se uma função tem uma saída multidimensional, interpretar isto como uma "inclinação" não faz sentido. Em vez disso, talvez você precise visualizar como uma pequena alteração na entrada influencia cada coordenada da saída.

Da mesma forma, a integração está fundamentalmente somando um monte de valores bem pequenos (somando infinitamente vários valores infinitamente pequenos), mas isso não significa sempre uma área. Em física, por exemplo, é comum calcular o "trabalho" produzido por uma força sobre um objeto usando uma integral, mas nem sempre há uma maneira clara de ver esse "trabalho" como um tipo de área.

Cinco visualizações diferentes

Nos próximos artigos, vamos trabalhar cinco maneiras diferentes de visualizar funções com múltiplas variáveis. Neste artigo, vamos ter apenas uma demonstração de cada uma.

Em cada uma das seguintes descrições, "espaço de entrada" e "espaço de saída" referem-se ao local onde a entrada e a saída de uma função ficam. Por exemplo, se uma função recebe um par ordenado

(x, y)

, como

(2, 5)

, e gera uma constante, como

5

, o espaço de entrada seria o plano

x y

e o espaço de saída seria a reta real.

Gráficos, os nossos velhos amigos. Gráficos têm a vantagem de mostrar tanto o espaço de entrada como o espaço de saída de uma só vez, mas, como resultado, eles são altamente limitados pela dimensão. Por esse motivo, eles só são realmente úteis para funções de uma única variável e funções multivariáveis com uma entrada de duas dimensões e uma saída de uma dimensão.
Mapas de contorno. Mapas de contorno mostram apenas o espaço de entrada e são úteis para funções com entrada de duas dimensões e saída de uma dimensão.
Curvas/superfícies parametrizadas. Curvas e superfícies parametrizadas mostram apenas o espaço de saída e são usadas para funções cujo espaço de saída tem mais dimensões do que o espaço de entrada.
Campos vetoriais. Eles se aplicam a funções cujos espaços de entrada e de saída têm o mesmo número de dimensões. Por exemplo, funções com entradas de duas dimensões e saídas de duas dimensões, ou entradas de três dimensões e saídas de três dimensões, podem ser usadas com campos vetoriais.
Transformações. Elas têm a vantagem de se aplicarem a qualquer função, independentemente da dimensão do espaço de entrada e de saída. No entanto, a desvantagem é que elas só podem ser representadas usando uma animação ou um desenho esquemático. Dessa maneira, elas são mais úteis para obter uma compreensão conceitual do que uma função está fazendo, mas não são práticas para representar precisamente a função.

Com cada novo tópico e definição que você aprender, uma boa maneira de testar seus conhecimentos é ver se você consegue entendê-lo no contexto das funções que você visualiza em cada uma destas formas diferentes. Por exemplo, a derivada indica a inclinação no contexto dos gráficos, mas a versão multivariável de uma derivada pode significar algo completamente diferente para funções paramétricas, campos vetoriais e mapas de contorno.

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