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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1

Lição 2: Vetores e matrizes

Produtos vetoriais

Aprenda o que significa o produto vetorial geometricamente, junto com a regra da mão direita, e aprenda a calcular um produto vetorial.

Como o produto escalar, o produto vetorial é uma operação entre dois vetores. Antes de vermos a fórmula do produto vetorial, vamos falar sobre algumas das propriedades dele.

Propriedades do produto vetorial

Escrevemos o produto vetorial entre dois vetores como

\vec{a} \times \vec{b}

(a pronúncia é "a vetorial b"). Diferentemente do produto escalar, que retorna um número, o resultado de um produto vetorial é outro vetor. Digamos que

\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}

. Esse novo vetor

\vec{c}

tem duas propriedades especiais.

Primeiro, ele é perpendicular a

\vec{a}

\vec{b}

. Colocando isso em termos do produto escalar, poderíamos dizer que

\vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = 0

. Essa propriedade, por si só, faz com que o produto vetorial seja muito útil. É por isso também que o produto vetorial funciona apenas em três dimensões. Em duas dimensões, nem sempre há um vetor perpendicular a qualquer par de outros vetores. Em quatro ou mais dimensões, há infinitos vetores perpendiculares a um determinado par de vetores.

Em segundo lugar, o comprimento de

\vec{c}

é uma medida da distância entre as direções em que

\vec{a}

\vec{b}

estão apontando, aumentada pela magnitude deles.

‖ \vec{c} ‖ = ‖ \vec{a} ‖ ‖ \vec{b} ‖ sen (θ)

Isso é semelhante ao produto escalar, mas em vez de

\cos (θ)

o produto vetorial usa

sen (θ)

, sendo

θ

o ângulo entre

\vec{a}

\vec{b}

. Dessa forma, quando o ângulo for

90

graus, o produto vetorial é o maior possível. Assim, o produto escalar e o produto vetorial são complementares um ao outro.

Há uma interpretação do comprimento de

\vec{c}

que é especialmente útil. Pense no paralelogramo formado por

\vec{a}

\vec{b}

. A base do paralelogramo tem um comprimento

‖ \vec{a} ‖

, e a altura tem um comprimento

‖ \vec{b} ‖ sen (θ)

. Isso significa que a área do paralelogramo no total é exatamente a magnitude do produto vetorial.

A regra da mão direita

Observe que na imagem acima o produto vetorial é perpendicular a

\vec{a}

\vec{b}

, como esperado. Mas há, na realidade, dois vetores que poderiam ser perpendiculares a

\vec{a}

\vec{b}

. Se

\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}

, então essas duas opções são

\vec{c}

- \vec{c}

. Como decidimos qual das duas opções perfeitamente válidas é o produto vetorial?

Temos uma convenção chamada regra da mão direita para resolver essa ambiguidade. Se você levantar sua mão direita, apontar seu dedo indicador na direção de

\vec{a}

e apontar seu dedo médio na direção de

\vec{b}

, então seu dedão vai apontar na direção de

\vec{a} \times \vec{b}

Definir o produto vetorial com a regra da mão direita em vez de uma eventual regra da mão esquerda é arbitrária, mas essa convenção faz com que o produto vetorial não seja mais ambíguo.

A fórmula não tão bonita

O mais importante no que devemos lembrar sobre o produto vetorial são as suas propriedades, não a sua fórmula. Contudo, às vezes precisamos calcular um produto vetorial. Infelizmente, a fórmula do produto vetorial não é tão simpática como a do produto escalar. Quando chegarmos ao artigo sobre determinantes, vamos ver uma forma mais fácil de lembrar da fórmula do produto vetorial. Por enquanto:

\begin{aligned} \vec{a} & = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \\ \vec{b} & = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) \\ \vec{a} \times \vec{b} & = [\begin{array}{c} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{array}] \end{aligned}

Vamos fazer um exemplo usando a fórmula.

Problema 1

$(3, 0, 2) \times (- 1, 4, 2) =$ ‍
$($ ‍
Sua resposta deve ser
um número inteiro, como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍
um número misto, como $1 3 / 4$ ‍
um número decimal exato, como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍
$,$ ‍
Sua resposta deve ser
um número inteiro, como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍
um número misto, como $1 3 / 4$ ‍
um número decimal exato, como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍
$,$ ‍
Sua resposta deve ser
um número inteiro, como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍
um número misto, como $1 3 / 4$ ‍
um número decimal exato, como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍
$)$ ‍

Agora vamos ver uma das propriedades discutidas em ação.

Problema 2

Um dos vetores dos quais fizemos o produto vetorial foi

\vec{a} = (3, 0, 2)

. Seja

\vec{c}

o resultado do produto vetorial acima.

Quanto é $\vec{a} \cdot \vec{c}$ ‍?

Produto vetorial versus produto escalar

Quando comparamos o produto escalar e o produto vetorial, há três diferenças principais.

O produto escalar retorna um número, mas o produto vetorial retorna um vetor.
O produto escalar funciona em qualquer número de dimensões, mas o produto vetorial só funciona em três dimensões.
O produto escalar mede o quanto dois vetores apontam na mesma direção, mas o produto vetorial mede o quanto dois vetores apontam em direções diferentes.

Isso é tudo o que precisamos saber sobre produtos vetoriais por enquanto. Se você quiser aprender mais, dê uma olhada neste vídeo.

O que vem por aí

Agora que temos uma base sólida sobre vetores e sobre as formas com as quais podemos combiná-los, o último tópico que vamos cobrir são as matrizes. Os próximos três artigos vão descrever o que são matrizes, como visualizá-las, e uma propriedade muito útil chamada determinante.

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