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Cálculo multivariável
Produtos vetoriais
Aprenda o que significa o produto vetorial geometricamente, junto com a regra da mão direita, e aprenda a calcular um produto vetorial.
Como o produto escalar, o produto vetorial é uma operação entre dois vetores. Antes de vermos a fórmula do produto vetorial, vamos falar sobre algumas das propriedades dele.
Propriedades do produto vetorial
Escrevemos o produto vetorial entre dois vetores como (a pronúncia é "a vetorial b"). Diferentemente do produto escalar, que retorna um número, o resultado de um produto vetorial é outro vetor. Digamos que . Esse novo vetor tem duas propriedades especiais.
Primeiro, ele é perpendicular a e . Colocando isso em termos do produto escalar, poderíamos dizer que . Essa propriedade, por si só, faz com que o produto vetorial seja muito útil. É por isso também que o produto vetorial funciona apenas em três dimensões. Em duas dimensões, nem sempre há um vetor perpendicular a qualquer par de outros vetores. Em quatro ou mais dimensões, há infinitos vetores perpendiculares a um determinado par de vetores.
Em segundo lugar, o comprimento de é uma medida da distância entre as direções em que e estão apontando, aumentada pela magnitude deles.
Isso é semelhante ao produto escalar, mas em vez de o produto vetorial usa , sendo o ângulo entre e . Dessa forma, quando o ângulo for graus, o produto vetorial é o maior possível. Assim, o produto escalar e o produto vetorial são complementares um ao outro.
Há uma interpretação do comprimento de que é especialmente útil. Pense no paralelogramo formado por e . A base do paralelogramo tem um comprimento , e a altura tem um comprimento . Isso significa que a área do paralelogramo no total é exatamente a magnitude do produto vetorial.
A regra da mão direita
Observe que na imagem acima o produto vetorial é perpendicular a e , como esperado. Mas há, na realidade, dois vetores que poderiam ser perpendiculares a e . Se , então essas duas opções são e . Como decidimos qual das duas opções perfeitamente válidas é o produto vetorial?
Temos uma convenção chamada regra da mão direita para resolver essa ambiguidade. Se você levantar sua mão direita, apontar seu dedo indicador na direção de e apontar seu dedo médio na direção de , então seu dedão vai apontar na direção de .
Definir o produto vetorial com a regra da mão direita em vez de uma eventual regra da mão esquerda é arbitrária, mas essa convenção faz com que o produto vetorial não seja mais ambíguo.
A fórmula não tão bonita
O mais importante no que devemos lembrar sobre o produto vetorial são as suas propriedades, não a sua fórmula. Contudo, às vezes precisamos calcular um produto vetorial. Infelizmente, a fórmula do produto vetorial não é tão simpática como a do produto escalar. Quando chegarmos ao artigo sobre determinantes, vamos ver uma forma mais fácil de lembrar da fórmula do produto vetorial. Por enquanto:
Vamos fazer um exemplo usando a fórmula.
Agora vamos ver uma das propriedades discutidas em ação.
Produto vetorial versus produto escalar
Quando comparamos o produto escalar e o produto vetorial, há três diferenças principais.
- O produto escalar retorna um número, mas o produto vetorial retorna um vetor.
- O produto escalar funciona em qualquer número de dimensões, mas o produto vetorial só funciona em três dimensões.
- O produto escalar mede o quanto dois vetores apontam na mesma direção, mas o produto vetorial mede o quanto dois vetores apontam em direções diferentes.
Isso é tudo o que precisamos saber sobre produtos vetoriais por enquanto. Se você quiser aprender mais, dê uma olhada neste vídeo.
O que vem por aí
Agora que temos uma base sólida sobre vetores e sobre as formas com as quais podemos combiná-los, o último tópico que vamos cobrir são as matrizes. Os próximos três artigos vão descrever o que são matrizes, como visualizá-las, e uma propriedade muito útil chamada determinante.
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