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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1

Lição 2: Vetores e matrizes

Determinantes

Aprenda o que um determinante representa, como calculá-lo e veja uma conexão entre ele e o produto vetorial.

Quando interpretamos matrizes como movimento, algumas matrizes esticam o espaço e outras o comprimem. Esse fator de escala tem um nome: o determinante.

Determinante como um fator de escala

Vamos ver alguns exemplos para entender como o determinante funciona. Veja isto para se lembrar de como é a malha quadriculada antes de trabalhar com as matrizes. A área do quadrado pequeno se inicia como

1

Se uma matriz estica as coisas, então o determinante dela é maior que

1

Se uma matriz não estica ou comprime coisas, então o determinante dela é exatamente

1

. Um exemplo disso é uma rotação.

Se uma matriz comprime as coisas, então o determinante dela é menor que

1

Algumas matrizes reduzem tanto o espaço que elas, na verdade, achatam toda a malha quadriculada em uma única reta. Isso acontece sempre que uma matriz mapeia os vetores unitários

\hat{ı}

\hat{ȷ}

para que sejam múltiplos um do outro, situados na mesma reta. Essas matrizes têm um determinante igual a

0

Embora os determinantes representem fatores de escala, eles nem sempre são números positivos. O sinal do determinante tem a ver com a orientação de

\hat{ı}

\hat{ȷ}

. Se uma matriz inverte a orientação, então o determinante dela é negativo. Observe como

\hat{ı}

está à esquerda de

\hat{ȷ}

na imagem abaixo, quando normalmente ele fica à direita de

\hat{ȷ}

A mesma ideia de escalar a área se estende também para matrizes tridimensionais. A única diferença é que no espaço tridimensional a matriz escala o volume em vez da área. A unidade quadrada se torna unidade cúbica, cujos lados são os vetores unitários

\hat{ı}

\hat{ȷ}

, e

\hat{k}

Se você quiser, brinque com os determinantes como fatores de escala com esta demonstração interativa. Observe como, sempre que invertemos a orientação dos vetores unitários, somos forçados a passar por um único momento em que o determinante é zero.

Uma última observação importante é que o determinante só faz sentido em matrizes quadradas. Isso porque as matrizes quadradas movem vetores do espaço com

n

dimensões para o espaço com

n

dimensões, portanto podemos falar sobre variação de volume. Para matrizes não quadradas, a álgebra linear tem os conceitos de espaço nulo e imagem, mas eles não são tópicos de cálculo com múltiplas variáveis. Todas as fórmulas da próxima seção requerem uma matriz que tenha o mesmo número de linhas e colunas.

Como calcular determinantes

Agora que temos uma boa noção do que os determinantes representam, vamos ver como podemos calcular o determinante de uma matriz. Vamos abordar como fazer isso para matrizes

2 \times 2

3 \times 3

Como calcular determinantes bidimensionais

Há duas formas de escrever o determinante.

det ([\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}]) = | \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} |

A fórmula do determinante bidimensional é

a d - b c

. Por exemplo:

det ([\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 5 & 4 \end{array}]) = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 5 = - 11

[Por que essa fórmula faz sentido?]

Vejamos uma questão prática.

Problema 1

det ([\begin{array}{cc} 3 & - 1 \\ - 2 & 3 \end{array}]) =

Para praticar mais como calcular determinantes bidimensionais, faça este exercício.

Como calcular determinantes tridimensionais

A fórmula geral do determinante de uma matriz

3 \times 3

é bem grande, então vamos começar com um exemplo específico. A linha superior está em destaque porque vamos passar por ela, uma entrada por vez, para calcular o determinante.

det ([\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{array}]) = ? ? ?

Primeiro, considere o

2

na partes superior esquerda da matriz. Vamos chamá-lo de nosso "número de âncora". Imagine que ignoramos todas as demais entradas que estão na mesma linha ou na mesma coluna que nosso número de âncora. A matriz ficaria assim:

[\begin{array}{ccc} 2 \\ 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}]

Agora tiramos o determinante bidimensional da matriz que encontramos.

det ([\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}]) = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 2

Por fim, multiplicamos o determinante menor pelo número de âncora

2

para obter

2 \cdot 2 = 4

. Esse

4

é o primeiro dos três termos que vamos somar para calcular o determinante tridimensional completo.

det ([\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{array}]) = 4 + ? ?

Vamos para a próxima etapa. Desta vez, nosso número de âncora é

1

[\begin{array}{ccc} 1 \\ 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}]

Calculamos o determinante bidimensional da nossa nova submatriz para obter

3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5

. Isso é um pouco estranho, mas multiplicamos o resultado pelo negativo do número de âncora para que nosso segundo termo seja

- 1 \cdot 5 = - 5

. Normalmente, alternamos a multiplicação do determinante pequeno pelo número de âncora e pelo valor negativo do número de âncora, formando um padrão assim:

[\begin{array}{ccc} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]

Agora temos dois dos três termos.

det ([\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{array}]) = 4 - 5 + ?

Para a última etapa, o número de âncora é

2

. De acordo com o padrão, não precisamos multiplicar pelo valor negativo no final. Pare um momento e tente imaginar a submatriz que vamos obter desta vez. O determinante dela é

3 \cdot 4 - 3 \cdot 1 = 9

. Multiplicamos isso pelo número de âncora para obter

2 \cdot 9 = 18

Por fim, podemos somar todos os termos que descobrimos para ver que o determinante é

4 - 5 + 18 = 17

. Calcular o determinante de uma matriz

3 \times 3

dá bastante trabalho! Parabéns por ter conseguido.

Temos aqui um outro exemplo, feito inteiramente de uma vez. Tente imaginar como passamos pelas entradas da linha e da coluna de cada número de âncora para ver de onde a submatriz vem.

\begin{aligned} det ([\begin{array}{ccc} 4 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}]) & = 4 det ([\begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 2 & 1 \end{array}]) \\ - 1 det ([\begin{array}{cc} 0 & 4 \\ 3 & 1 \end{array}]) \\ + 3 det ([\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]) \\ = 4 (- 6) - 1 (- 12) + 3 (- 6) \\ = - 30 \end{aligned}

Se aplicarmos o mesmo procedimento a uma matriz

3 \times 3

geral, vamos obter uma fórmula bem grande. O mais importante é aprender a estratégia usada para calcular o determinante, não a fórmula em si.

\begin{aligned} det ([\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}]) & = a det ([\begin{array}{cc} e & f \\ h & i \end{array}]) \\ - b det ([\begin{array}{cc} d & f \\ g & i \end{array}]) \\ + c det ([\begin{array}{cc} d & e \\ g & h \end{array}]) \\ = a e i - a f h - b d i + b f g + c d h - c e g \end{aligned}

[Por que essa fórmula funciona?]

Vamos resolver um problema prático.

Problema 2

det ([\begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & 0 & 2 \\ 4 & - 3 & 3 \end{array}]) =

Para aprender mais sobre o cálculo de determinantes tridimensionais, assista a este vídeo.

Conexão com produtos vetoriais

A fórmula do produto vetorial não é bonita, mas há um belo truque para derivá-la. Para calcular o produto vetorial de

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})

\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})

, basta calcular o determinante

3 \times 3

a seguir, sendo a linha superior os vetores unitários

\hat{ı}

\hat{ȷ}

, e

\hat{k}

\begin{aligned} det ([\begin{array}{ccc} \hat{ı} & \hat{ȷ} & \hat{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}]) & = \hat{ı} det ([\begin{array}{cc} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}]) \\ - \hat{ȷ} det ([\begin{array}{cc} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}]) \\ + \hat{k} det ([\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}]) \\ = \vec{a} \times \vec{b} \end{aligned}

Tecnicamente, o determinante

3 \times 3

acima não está definido porque ele tem vetores em vez de números na linha superior. Mas se continuarmos fazendo os cálculos, vamos chegar ao produto vetorial de

\vec{a}

\vec{b}

. Muitos alunos acham mais fácil decorar a fórmula do produto vetorial quando se trata do determinante.

O que vem por aí

O mundo do cálculo com múltiplas variáveis, ou multivariáveis, é o próximo assunto! Parabéns por terminar esta série sobre vetores e matrizes. Agora temos todos os conceitos necessários e esperamos que você tenha criado uma compreensão visual e intuitiva a respeito deles.

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