Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Determinantes

Aprenda o que um determinante representa, como calculá-lo e veja uma conexão entre ele e o produto vetorial.
Quando interpretamos matrizes como movimento, algumas matrizes esticam o espaço e outras o comprimem. Esse fator de escala tem um nome: o determinante.

Determinante como um fator de escala

Vamos ver alguns exemplos para entender como o determinante funciona. Veja isto para se lembrar de como é a malha quadriculada antes de trabalhar com as matrizes. A área do quadrado pequeno se inicia como 1.
Se uma matriz estica as coisas, então o determinante dela é maior que 1.
Se uma matriz não estica ou comprime coisas, então o determinante dela é exatamente 1. Um exemplo disso é uma rotação.
Se uma matriz comprime as coisas, então o determinante dela é menor que 1.
Algumas matrizes reduzem tanto o espaço que elas, na verdade, achatam toda a malha quadriculada em uma única reta. Isso acontece sempre que uma matriz mapeia os vetores unitários ı^ e ȷ^ para que sejam múltiplos um do outro, situados na mesma reta. Essas matrizes têm um determinante igual a 0.
Embora os determinantes representem fatores de escala, eles nem sempre são números positivos. O sinal do determinante tem a ver com a orientação de ı^ e ȷ^. Se uma matriz inverte a orientação, então o determinante dela é negativo. Observe como ı^ está à esquerda de ȷ^ na imagem abaixo, quando normalmente ele fica à direita de ȷ^.
A mesma ideia de escalar a área se estende também para matrizes tridimensionais. A única diferença é que no espaço tridimensional a matriz escala o volume em vez da área. A unidade quadrada se torna unidade cúbica, cujos lados são os vetores unitários ı^, ȷ^, e k^.
Se você quiser, brinque com os determinantes como fatores de escala com esta demonstração interativa. Observe como, sempre que invertemos a orientação dos vetores unitários, somos forçados a passar por um único momento em que o determinante é zero.
Uma última observação importante é que o determinante só faz sentido em matrizes quadradas. Isso porque as matrizes quadradas movem vetores do espaço com n dimensões para o espaço com n dimensões, portanto podemos falar sobre variação de volume. Para matrizes não quadradas, a álgebra linear tem os conceitos de espaço nulo e imagem, mas eles não são tópicos de cálculo com múltiplas variáveis. Todas as fórmulas da próxima seção requerem uma matriz que tenha o mesmo número de linhas e colunas.

Como calcular determinantes

Agora que temos uma boa noção do que os determinantes representam, vamos ver como podemos calcular o determinante de uma matriz. Vamos abordar como fazer isso para matrizes 2×2 e 3×3.

Como calcular determinantes bidimensionais

Há duas formas de escrever o determinante.
det([abcd])=|abcd|
A fórmula do determinante bidimensional é adbc. Por exemplo:
det([1354])=1435=11
Vejamos uma questão prática.
Problema 1
det([3123])=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Para praticar mais como calcular determinantes bidimensionais, faça este exercício.

Como calcular determinantes tridimensionais

A fórmula geral do determinante de uma matriz 3×3 é bem grande, então vamos começar com um exemplo específico. A linha superior está em destaque porque vamos passar por ela, uma entrada por vez, para calcular o determinante.
det([212331142])=???
Primeiro, considere o 2 na partes superior esquerda da matriz. Vamos chamá-lo de nosso "número de âncora". Imagine que ignoramos todas as demais entradas que estão na mesma linha ou na mesma coluna que nosso número de âncora. A matriz ficaria assim:
[23142]
Agora tiramos o determinante bidimensional da matriz que encontramos.
det([3142])=3214=2
Por fim, multiplicamos o determinante menor pelo número de âncora 2 para obter 22=4. Esse 4 é o primeiro dos três termos que vamos somar para calcular o determinante tridimensional completo.
det([212331142])=4+??
Vamos para a próxima etapa. Desta vez, nosso número de âncora é 1.
[13112]
Calculamos o determinante bidimensional da nossa nova submatriz para obter 3211=5. Isso é um pouco estranho, mas multiplicamos o resultado pelo negativo do número de âncora para que nosso segundo termo seja 15=5. Normalmente, alternamos a multiplicação do determinante pequeno pelo número de âncora e pelo valor negativo do número de âncora, formando um padrão assim:
[+++++]
Agora temos dois dos três termos.
det([212331142])=45+?
Para a última etapa, o número de âncora é 2. De acordo com o padrão, não precisamos multiplicar pelo valor negativo no final. Pare um momento e tente imaginar a submatriz que vamos obter desta vez. O determinante dela é 3431=9. Multiplicamos isso pelo número de âncora para obter 29=18.
Por fim, podemos somar todos os termos que descobrimos para ver que o determinante é 45+18=17. Calcular o determinante de uma matriz 3×3 dá bastante trabalho! Parabéns por ter conseguido.
Temos aqui um outro exemplo, feito inteiramente de uma vez. Tente imaginar como passamos pelas entradas da linha e da coluna de cada número de âncora para ver de onde a submatriz vem.
det([413024321])=4det([2421])1det([0431])+3det([0232])=4(6)1(12)+3(6)=30
Se aplicarmos o mesmo procedimento a uma matriz 3×3 geral, vamos obter uma fórmula bem grande. O mais importante é aprender a estratégia usada para calcular o determinante, não a fórmula em si.
det([abcdefghi])=adet([efhi])bdet([dfgi])+cdet([degh])=aeiafhbdi+bfg+cdhceg
Vamos resolver um problema prático.
Problema 2
det([112202433])=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Para aprender mais sobre o cálculo de determinantes tridimensionais, assista a este vídeo.

Conexão com produtos vetoriais

A fórmula do produto vetorial não é bonita, mas há um belo truque para derivá-la. Para calcular o produto vetorial de a=(a1,a2,a3) e b=(b1,b2,b3), basta calcular o determinante 3×3 a seguir, sendo a linha superior os vetores unitários ı^, ȷ^, e k^.
det([ı^ȷ^k^a1a2a3b1b2b3])=ı^det([a2a3b2b3])ȷ^det([a1a3b1b3])+k^det([a1a2b1b2])=a×b
Tecnicamente, o determinante 3×3 acima não está definido porque ele tem vetores em vez de números na linha superior. Mas se continuarmos fazendo os cálculos, vamos chegar ao produto vetorial de a e b. Muitos alunos acham mais fácil decorar a fórmula do produto vetorial quando se trata do determinante.

O que vem por aí

O mundo do cálculo com múltiplas variáveis, ou multivariáveis, é o próximo assunto! Parabéns por terminar esta série sobre vetores e matrizes. Agora temos todos os conceitos necessários e esperamos que você tenha criado uma compreensão visual e intuitiva a respeito deles.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.