Produtos escalares

O produto escalar é uma forma fundamental que podemos usar para combinar dois vetores. De forma intuitiva, ele nos diz algo sobre o quanto dois vetores apontam na mesma direção.

Escrevemos o produto escalar com um pequeno ponto $\cdot$‍ entre os dois vetores (a pronúncia é "a ponto b"):

Se dividirmos isso fator por fator, os dois primeiros são $\Vert \overrightarrow{a}\Vert$‍ e $\Vert \overrightarrow{b}\Vert$‍. Essas são as magnitudes de $\overrightarrow{a}$‍ e $\overrightarrow{b}$‍, portanto o produto escalar leva em conta o comprimento dos vetores. O fator final é $\cos (\theta )$‍, sendo $\theta$‍ o ângulo entre $\overrightarrow{a}$‍ e $\overrightarrow{b}$‍. Isso nos indica que o produto escalar está associado à direção.

Especificamente, quando $\theta =0$‍, os dois vetores apontam exatamente na mesma direção. Sem contar as magnitudes dos vetores, é nesse momento que o produto escalar é maior, porque $\cos (0)=1$‍. De modo geral, quanto mais dois vetores apontarem na mesma direção, maior será o produto escalar entre eles.

Quando $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$‍, os dois vetores são exatamente perpendiculares um ao outro. Isso ocorre quando o produto escalar entre eles é $0$‍, porque $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=0$‍.

Também é possível que um produto escalar seja negativo se os dois vetores estiverem apontando para direções opostas, o que ocorre quando ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$‍.

Outra forma de pensar sobre $\theta$‍ é imaginar que um vetor faz uma sombra sobre o outro. Quando o ângulo é pequeno, a sombra fica longe da origem e o produto escalar é grande.

Quando $\theta$‍ está próximo de ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$‍, a sombra fica próxima da origem e o produto escalar é pequeno.

Lembre-se de que o produto escalar de dois vetores é um número, não um vetor. Isso significa, por exemplo, que não faz sentido perguntar o resultado de $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$‍. Quando calculamos $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$‍, obtemos um número, então acabaríamos tentando calcular o produto escalar entre um número e um vetor, mas não é assim que o produto escalar funciona.

Quando precisamos encontrar um produto escalar no cálculo multivariável, normalmente temos apenas as coordenadas de $\overrightarrow{a}$‍ e $\overrightarrow{b}$‍. Calcular $\Vert \overrightarrow{a}\Vert \Vert \overrightarrow{b}\Vert \cos (\theta )$‍ nos obrigaria a calcular duas raízes quadradas e um cosseno, o que nos daria muito trabalho! Felizmente, há uma forma mais fácil de fazer isso. Basta multiplicar os componentes correspondentes e depois fazer a soma:

Embora o exemplo acima aborde vetores tridimensionais, essa fórmula se estende para vetores de qualquer comprimento.

Isso faz com que o cálculo de produtos escalares seja direto se você souber os componentes de cada vetor.

Vejamos um exemplo.

Embora agora tenhamos uma fórmula simpática em função das coordenadas, a intuição por trás do produto escalar ainda está em como ele mede a direção relativa. Tente dizer qual é o sinal do produto escalar com base em apenas uma imagem.

Por enquanto, isso é tudo o que precisamos saber sobre produtos escalares. Se você quiser aprender mais, dê uma olhada neste vídeo.

Agora que já abordamos o produto escalar, há apenas mais uma operação vetorial para aprendermos: o produto vetorial. Como vamos ver mais adiante, o produto vetorial complementa o produto escalar, mas é um pouco mais limitado.