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Cálculo multivariável
Produtos escalares
Aprenda sobre produto escalar e como ele mede a direção relativa de dois vetores.
O produto escalar é uma forma fundamental que podemos usar para combinar dois vetores. De forma intuitiva, ele nos diz algo sobre o quanto dois vetores apontam na mesma direção.
Definição e intuição
Escrevemos o produto escalar com um pequeno ponto entre os dois vetores (a pronúncia é "a ponto b"):
Se dividirmos isso fator por fator, os dois primeiros são e . Essas são as magnitudes de e , portanto o produto escalar leva em conta o comprimento dos vetores. O fator final é , sendo o ângulo entre e . Isso nos indica que o produto escalar está associado à direção.
Especificamente, quando , os dois vetores apontam exatamente na mesma direção. Sem contar as magnitudes dos vetores, é nesse momento que o produto escalar é maior, porque . De modo geral, quanto mais dois vetores apontarem na mesma direção, maior será o produto escalar entre eles.
Quando , os dois vetores são exatamente perpendiculares um ao outro. Isso ocorre quando o produto escalar entre eles é , porque .
Também é possível que um produto escalar seja negativo se os dois vetores estiverem apontando para direções opostas, o que ocorre quando .
Outra forma de pensar sobre é imaginar que um vetor faz uma sombra sobre o outro. Quando o ângulo é pequeno, a sombra fica longe da origem e o produto escalar é grande.
Quando está próximo de , a sombra fica próxima da origem e o produto escalar é pequeno.
Lembre-se de que o produto escalar de dois vetores é um número, não um vetor. Isso significa, por exemplo, que não faz sentido perguntar o resultado de . Quando calculamos , obtemos um número, então acabaríamos tentando calcular o produto escalar entre um número e um vetor, mas não é assim que o produto escalar funciona.
Uma forma melhor de calcular o produto escalar
Quando precisamos encontrar um produto escalar no cálculo multivariável, normalmente temos apenas as coordenadas de e . Calcular nos obrigaria a calcular duas raízes quadradas e um cosseno, o que nos daria muito trabalho! Felizmente, há uma forma mais fácil de fazer isso. Basta multiplicar os componentes correspondentes e depois fazer a soma:
Embora o exemplo acima aborde vetores tridimensionais, essa fórmula se estende para vetores de qualquer comprimento.
Isso faz com que o cálculo de produtos escalares seja direto se você souber os componentes de cada vetor.
Vejamos um exemplo.
Embora agora tenhamos uma fórmula simpática em função das coordenadas, a intuição por trás do produto escalar ainda está em como ele mede a direção relativa. Tente dizer qual é o sinal do produto escalar com base em apenas uma imagem.
Por enquanto, isso é tudo o que precisamos saber sobre produtos escalares. Se você quiser aprender mais, dê uma olhada neste vídeo.
O que vem por aí
Agora que já abordamos o produto escalar, há apenas mais uma operação vetorial para aprendermos: o produto vetorial. Como vamos ver mais adiante, o produto vetorial complementa o produto escalar, mas é um pouco mais limitado.
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