If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Introdução a matrizes

Aprenda sobre notação, dimensão, adição e multiplicação escalar de matrizes. Além disso, você também pode aprender a fórmula da multiplicação de matrizes.
Além dos vetores, as matrizes são uma forma fundamental para tratar o espaço com mais dimensões. Elas vão aparecer em todo o cálculo com múltiplas variáveis, então vamos aprender como elas funcionam.

O que é uma matriz?

Uma matriz é um vetor de números que cercamos com colchetes. A dimensão de uma matriz é dada pela quantidade de linhas e colunas que ela tem, a qual escrevemos como linhas×colunas. Por exemplo, esta é uma matriz 2×3 (a pronúncia é "dois por três"). A convenção é usar letras maiúsculas para uma variável que representa uma matriz.
A=[325421]
Quando uma matriz tem o mesmo número de linhas e colunas, ela é chamada de matriz quadrada. Por exemplo, a matriz A não é quadrada. Chamamos os números de uma matriz de elementos, ou entradas. Para fazer referência a uma entrada da matriz, especificamos a linha e a coluna dela de forma subscrita. A convenção é usar letras minúsculas para os elementos de uma matriz.
a2,1=4,a1,3=5
A transposição de uma matriz é a mesma matriz, mas com suas linhas e colunas trocadas. Isto é, a entrada ai,j se torna aj,i. Escrevemos AT para fazer referência à transposta de A. A transposta também inverte as dimensões de uma matriz, então, no exemplo anterior, AT é 3×2.
AT=[342251]
As entradas de uma matriz não precisam necessariamente ser números. Por exemplo, algumas das matrizes que vamos encontrar no cálculo com múltiplas variáveis têm funções ou até mesmo operadores de derivadas como entradas.
Para aprender mais sobre o que é uma matriz, veja este vídeo. Para saber mais sobre matrizes transpostas, assista a este vídeo. Para abordar as dimensões das matrizes na prática, faça este exercício. Para se familiarizar com os elementos de uma matriz, faça este exercício.

Vetores como matrizes

Como um vetor é simplesmente uma lista de números, podemos representá-lo como uma matriz. É por isso que podemos escrever vetores com a notação de matrizes. Sempre podemos escrever um dado vetor como um vetor linha (1×n) ou como um vetor coluna (n×1). A única diferença entre os vetores linha e coluna é como eles são tratados na multiplicação de matrizes.
v=[123]T=[123]
Usamos a transposta aqui porque, caso contrário, o vetor linha e o vetor coluna não seriam tecnicamente iguais, já que eles têm dimensões diferentes.
Para aprender mais sobre a transposição de vetores, assista a este vídeo.

Adição

Podemos somar duas matrizes se elas tiverem dimensões iguais. Para somarmos as matrizes, somamos as componentes correspondentes. Em símbolos, isso quer dizer que A+B=C significa ai,j+bi,j=ci,j.
[1325]+[3042]=[1+33+02452]=[2323]
Para se familiarizar com a adição de matrizes, faça este exercício.

Multiplicação escalar

Podemos multiplicar qualquer matriz por um escalar, que é uma forma chique de chamar um número. Quando fazemos a multiplicação escalar, multiplicamos o escalar por cada uma das entradas da matriz. Em símbolos, isso quer dizer que xA=B significa xai,j=bi,j.
2[2143]=[22212423]=[4286]
Para praticar a multiplicação escalar, faça este exercício.

Multiplicação de matrizes (opcional)

Esta seção é opcional porque a multiplicação de matrizes é mais útil quando usamos o espaço com n dimensões, e neste curso nos concentramos nos espaços bi e tridimensionais. Contudo, aprender isso agora vai servir como uma ótima base para quando, mais tarde, abordarmos um número maior de dimensões.
Diferentemente da soma e da multiplicação escalar, não basta multiplicar as entradas correspondentes de duas matrizes A e B para calcular o produto entre elas. Em vez disso, calculamos o produto escalar entre um vetor linha de A e um vetor coluna de B para encontrar cada entrada. Por exemplo, para calcular c1,2 de C=AB, fazemos o produto escalar entre a linha 1 de A e a coluna 2 de B:
[3112][4420]=[?34+10??]
Normalmente, para calcular a entrada ci,j de C=AB, fazemos o produto escalar entre a iésima linha de A e a jésima coluna de B. Veja o resto da multiplicação entre matrizes acima:
=[3112][4420]=[34+1234+10(1)4+2214+20]=[141204]
Como consequência dessa definição, só podemos multiplicar duas matrizes A e B se A tiver um número de colunas igual ao número de linhas de B. Caso contrário, precisaríamos fazer o produto escalar de dois vetores com comprimentos diferentes.
Sempre é possível multiplicar duas matrizes quadradas da mesma dimensão, como uma 3×3 por uma 3×3. Outras combinações válidas são uma 2×5 por uma 5×2, ou uma 3×1 por uma 1×3.
A dimensão do produto entre as matrizes vai ser as linhas de A e as colunas de B. Portanto, o produto entre uma matriz 1×4 e uma matriz 4×1 será uma matriz 1×1, a qual pode ser trocada por um número. Como nota, isso nos leva a outra forma de escrever o produto escalar:
[123][456]=(1,2,3)(4,5,6)=14+25+36=32
Para aprender mais sobre a multiplicação de matrizes, assista a este vídeo. Para praticar, faça este exercício.

O que vem por aí

Agora que conhecemos os conceitos básicos de matrizes, é um bom momento para dar um passo atrás e pensar no que as matrizes significam. Caso contrário, as fórmulas e os conceitos a elas relacionados podem não fazer muito sentido. O próximo artigo apresenta uma forma de visualizar matrizes que vai nos dar uma intuição sobre como elas funcionam. Em particular, ele aborda como devemos pensar na fórmula da multiplicação de matrizes e nos prepara para o artigo final sobre determinantes.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.