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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1

Lição 2: Vetores e matrizes

Visualização de matrizes

Aprenda a usar uma interpretação útil de matrizes que ajuda a compreender os determinantes e a multiplicação de matrizes.

No último artigo, abordamos os conceitos fundamentais de matrizes, mas as matrizes são muito mais do que tabelas de números. É por isso que neste artigo vamos discutir como pensar nas matrizes visualmente. Essa perspectiva faz com muito do que inicialmente parece ser difícil sobre as matrizes se torne intuitivo. Vamos precisar dessa perspectiva apenas para matrizes quadradas no cálculo com múltiplas variáveis, então vamos nos limitar a elas.

Matrizes como movimento

Qual é a ação de uma matriz? Como uma matriz se parece? Essas questões podem parecer sem sentido, mas vamos respondê-las visualizando como matrizes

2 \times 2

movem o plano bidimensional.

Veja um desenho do plano, junto com os vetores unitários

\hat{ı}

\hat{ȷ}

, que representam

(1, 0)

(0, 1)

Vamos considerar a matriz

A

A = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}]

É assim que a matriz atua na malha quadriculada:

As colunas da matriz nos dizem para onde ela move os vetores unitários $\hat{ı}$ ‍ e $\hat{ȷ}$ ‍ que, novamente, representam $(1, 0)$ ‍ e $(0, 1)$ ‍.
O resto da malha quadriculada segue da mesma forma, sempre mantendo as linhas da malha paralelas e igualmente espaçadas. A origem permanece sempre no mesmo lugar.

Isso significa que

A

move

\hat{ı} \to (1, 1)

\hat{ȷ} \to (0, 1)

. Isso fica assim:

O vetor unitário

\hat{ȷ}

não se moveu porque ele se iniciou em

(0, 1)

. O vetor unitário

\hat{ı}

se moveu uma unidade para cima e arrastou a malha quadriculada com ele. Observe que há uma cópia, em tom mais claro, das linhas originais ao fundo para nos orientar.

Vamos ver o mesmo processo para outra matriz.

B = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ - 2 & 1 \end{array}]

Sabemos que

B

move

\hat{ı} \to (0, - 2)

\hat{ȷ} \to (- 1, 1)

. Isso fica assim:

Pratique com a questão abaixo.

Problema 1

Suponha que tenhamos uma matriz

C = [\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]

Como fica a malha quadriculada depois de aplicarmos $C$ ‍?

Resumindo, a ação de uma matriz é mover toda a malha quadriculada. Podemos compreender isso pensando em como ela move os vetores unitários. Podemos visualizar como isso se parece desenhando uma malha quadriculada bidimensional modificada.

Essas ideias também se estendem para três dimensões. A terceira linha da matriz contém as coordenadas

z

para todos os vetores unitários, e a terceira coluna da matriz nos diz para onde

\hat{k}

se move.

Se quiser, brinque com as matrizes como movimento com esta demonstração interativa. Arraste os vetores para fazer a malha quadriculada se mover e veja a matriz que corresponde ao movimento no canto superior esquerdo.

Para aprender mais sobre matrizes como transformações, veja este artigo. Para praticar, clique aqui.

Como matrizes movem vetores

Já sabemos como uma matriz dada move os vetores initários

\hat{ı}

\hat{ȷ}

(basta olhar para as colunas), mas como podemos encontrar para onde uma matriz move qualquer vetor arbitrário? Vamos considerar um exemplo específico usando a primeira matriz da seção anterior.

A = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}]

Como

A

o vetor não unitário

(1, 2)

? Antes de mais nada, vamos analisar isso visualmente. Primeiro, o vetor sem o movimento da matriz:

Agora, o vetor depois que a matriz move a malha quadriculada:

O vetor segue o movimento conforme a matriz move a malha quadriculada, indo para

(1, 3)

. Essa é a essência de como as matrizes movem os vetores, o que é formalmente chamado de multiplicação de matrizes e vetores.

Agora, vamos ver como poderíamos calcular isso. Representamos

(1, 2)

como uma combinação dos vetores unitários, dizendo que

(1, 2) = 1 \hat{ı} + 2 \hat{ȷ}

A combinação permanece a mesma depois que aplicamos

A

, mas em vez de usar

\hat{ı}

\hat{ȷ}

, usamos o resultado da aplicação de

A

para

\hat{ı}

\hat{ȷ}

Veja como é o processo todo com símbolos.

\begin{aligned} A [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}] & = A (1 [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]) \\ = A (1 \hat{ı} + 2 \hat{ȷ}) \\ = 1 A \hat{ı} + 2 A \hat{ȷ} \\ = 1 [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}] \end{aligned}

A etapa crítica é quando dividimos

A (1 \hat{ı} + 2 \hat{ȷ})

1 A \hat{ı} + 2 A \hat{ȷ}

. É nessa hora que podemos representar o local em que

(1, 2)

fica em função do local em que

\hat{ı}

\hat{ȷ}

ficam.

Vejamos algumas questões práticas.

Problema 2

Seja

B = [\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]

Para onde $B$ ‍ move o vetor $[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}]$ ‍ em função do local para onde ela move $\hat{ı}$ ‍ e $\hat{ȷ}$ ‍?

(Escolha A)
Três vezes para onde $B$ ‍ move $\hat{ı}$ ‍, mais o local para onde $B$ ‍ move $\hat{ȷ}$ ‍.
(Escolha B)
Duas vezes para onde $B$ ‍ move $\hat{ı}$ ‍, mais três vezes para onde $B$ ‍ move $\hat{ȷ}$ ‍.
(Escolha C)
Três vezes para onde $B$ ‍ move $\hat{ı}$ ‍, menos duas vezes para onde $B$ ‍ move $\hat{ȷ}$ ‍.

Problema 3

Seja

B = [\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]

Para onde $B$ ‍ move o vetor $[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}]$ ‍?

B [\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}] = (

,

)

Como na seção acima, a ideia por trás das matrizes que movem vetores se estende para três dimensões. Simplesmente fizemos a decomposição do nosso vetor em uma soma de

\hat{ı}

\hat{ȷ}

, e

\hat{k}

, e então usamos o local para onde a matriz leva todos esses vetores unitários para encontrar o local para onde ela leva nosso vetor.

Veja outra demonstração interativa que permite que você brinque com matrizes que movem vetores.

Para aprender mais sobre a multiplicação entre matrizes e vetores, assista a este vídeo. Para se aprofundar, veja estes vídeos de álgebra linear.

Intuição da multiplicação de matrizes (opcional)

Com a perspectiva de matrizes como movimento, temos as ferramentas para compreender o que significa multiplicar duas matrizes. A ideia central é a composição.

\begin{aligned} A & = [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] \\ B & = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] \end{aligned}

O produto

A B

significa simplesmente aplicar

B

e depois aplicar

A

. Quando aplicamos

A

em segundo lugar, tratamos os vetores transformados

\hat{ı}

\hat{ȷ}

como vetores normais que são movidos por

A

da forma como aprendemos na seção anterior.

Para calcular o resultado final, seguimos

\hat{ı}

\hat{ȷ}

ao longo dos dois movimentos. Primeiro,

B

leva

\hat{ı} \to (0, 1)

\hat{ȷ} \to (- 1, 0)

. Depois, encontramos o local para onde

A

leva esses vetores:

\begin{aligned} [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}] & = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] \\ [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \end{array}] & = [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \end{array}] \end{aligned}

Colocando isso em uma matriz, temos o produto. Observe que nossos cálculos estão refletidos acima.

[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}]

Por último, podemos pensar na multiplicação de matrizes como a composição dos movimentos que cada matriz representa. Quando seguimos os vetores unitários ao longo desses movimentos, podemos calcular o produto.

Como desafio, tente derivar a fórmula geral da multiplicação de matrizes

2 \times 2

. Dica: siga

\hat{ı}

\hat{ȷ}

conforme

B

os move, depois siga o local para onde

A

move os vetores já transformados.

Suponha que queiramos multiplicar estas duas matrizes arbitrárias.

[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}] [\begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array}] = [\begin{array}{cc} ? & ? \\ ? & ? \end{array}]

Primeiro, seguimos

\hat{ı}

. A matriz mais à direita o move para

(e, g)

. Quando a matriz à esquerda move

(e, g)

, podemos pensar que ela está movendo a combinação

e [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] + g [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]

. A matriz à esquerda move

(1, 0)

para

(a, c)

, e ela move

(0, 1)

para

(b, d)

. Portanto, o local final de

\hat{ı}

é:

e [\begin{matrix} a \\ c \end{matrix}] + g [\begin{matrix} b \\ d \end{matrix}] = [\begin{matrix} e a + g b \\ e c + g d \end{matrix}]

Depois, seguimos

\hat{ȷ}

. A matriz mais à direita o move para

(f, h)

. Quando a matriz à esquerda move

(f, h)

, podemos pensar que ela está movendo a combinação

f [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] + h [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]

. A matriz à esquerda move

(1, 0)

para

(a, c)

, e ela move

(0, 1)

para

(b, d)

. Portanto, a localização final de

\hat{ȷ}

é:

f [\begin{matrix} a \\ c \end{matrix}] + h [\begin{matrix} b \\ d \end{matrix}] = [\begin{matrix} f a + h b \\ f c + h d \end{matrix}]

Juntando as localizações finais de

\hat{ı}

\hat{ȷ}

, encontramos a fórmula para multiplicar duas matrizes

2 \times 2

[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}] [\begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array}] = [\begin{array}{cc} e a + g b & f a + h b \\ e c + g d & f c + h d \end{array}]

Observe como as entradas de cada vetor coluna da matriz produto parecem produtos escalares. É por isso que o produto escalar aparece na fórmula da multiplicação de matrizes que discutimos no artigo anterior.

Como um desafio bônus, tente descobrir a fórmula para multiplicar matrizes

3 \times 3

. Dica: siga

\hat{ı}

\hat{ȷ}

\hat{k}

Vamos fazer um terço do trabalho seguindo apenas o vetor unitário

\hat{ı}

. Isso vai nos dar a primeira coluna da nossa matriz produto, e esperamos que nos mostre como poderíamos encontrar as outras duas colunas. Observe que

\hat{ı}, \hat{ȷ}, \hat{k}

indicados por acentos circunflexos são vetores unitários, enquanto as letras

i, j, k

são entradas numéricas da matriz.

[\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}] [\begin{array}{ccc} j & k & l \\ m & n & o \\ p & q & r \end{array}]

A matriz mais à direita move

\hat{ı}

para

(j, m, p)

. Podemos escrever isso em função dos vetores unitários como

j \hat{ı} + m \hat{ȷ} + p \hat{k}

. Sabemos que o local para onde a matriz à esquerda leva cada um desses vetores por meio da leitura das colunas dela. Portanto, a matriz move o

\hat{ı}

transformado da seguinte forma:

\begin{aligned} [\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}] [\begin{array}{c} j \\ m \\ p \end{array}] & = j [\begin{array}{c} a \\ d \\ g \end{array}] + m [\begin{array}{c} b \\ e \\ h \end{array}] + p [\begin{array}{c} c \\ f \\ i \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} j a + m b + p c \\ j d + m e + p f \\ j g + m h + p i \end{array}] \end{aligned}

Essa será a primeira coluna do produto da matriz. A fórmula completa é três vezes maior!

Observe como cada uma das entradas de um vetor coluna se parece com um produto escalar. É por isso que o produto escalar aparece na fórmula da multiplicação de matrizes que discutimos no artigo anterior.

Para aprender mais sobre a multiplicação de matrizes, assista a este vídeo. Para praticar, faça este exercício.

O que vem por aí

Agora que temos um conhecimento sólido sobre como as matrizes movem o espaço, temos condições de compreender o conceito final que vamos abordar nesta série de revisão: o determinante.

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