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Conteúdo principal

Vetores e notações

Aprenda sobre o que são vetores, como podemos visualizá-los e como podemos combiná-los.
Os vetores são essenciais para tudo o que é multivariável. Eles são usados quando queremos representar uma coordenada em espaço com várias dimensões ou, de forma geral, quando queremos escrever uma lista de qualquer coisa. Neste artigo, vamos abordar o que são vetores, as diferentes formas de escrevê-los e as suas três operações básicas.

O que é um vetor?

De forma geral, um vetor é uma lista de coisas. No cálculo com múltiplas variáveis, essa "coisa" normalmente é um "número", mas isso nem sempre é assim. Por exemplo, vamos ver um vetor feito por operadores de derivadas quando estivermos falando de derivadas multivariáveis. Essa generalidade será muito útil mais adiante.

Vetores e pontos no espaço

Quando um vetor é apenas uma lista de números, podemos visualizá-lo como uma seta no espaço. Por exemplo, visualizamos o vetor (4,2) como uma seta cuja cauda está na origem e a ponta está no ponto (4,2). Por isso, normalmente não fazemos distinção entre pontos e vetores em cálculo multivariável.
Contudo, às vezes desenhamos um vetor com a cauda longe da origem. Isso não muda nada no vetor, apenas o local onde o desenhamos. Por exemplo, também podemos desenhar o vetor (4,2) partindo de (0,2). As duas setas correspondem ao vetor(4,2), embora uma delas não termine no ponto (4,2).
É por isso que às vezes é confuso escrever vetores exatamente como pontos no espaço. Assim, as pessoas decidiram usar outras notações para vetores.

Notação

Há várias formas de escrever vetores. Veja a seguir as três que mais vamos usar neste curso. A pequena seta sobre v é uma convenção que indica que v se refere a um vetor.
v=(1,2,3)=[123]=1ı^+2ȷ^+3k^
A primeira notação é o que discutimos anteriormente. Tecnicamente, ela se refere a um ponto, mas também a usamos para fazer referência a um vetor. Essa notação se estende a qualquer número de dimensões.
A segunda notação é a notação de matriz, que também pode se estender a quantas dimensões quisermos. A notação de matriz é útil em especial quando pensamos em vetores interagindo com matrizes. Vamos discutir matrizes e como visualizá-las nos próximos artigos.
A terceira notação, diferentemente das anteriores, funciona apenas em duas e três dimensões. O símbolo ı^ (que é pronunciado "i circunflexo") é o vetor unitário x, portanto ı^=(1,0,0). Da mesma forma, ȷ^=(0,1,0) e k^=(0,0,1). Essa notação pode fazer mais sentido quando começarmos a abordar a adição de vetores.
Neste curso, quase sempre usamos a notação (1,2,3) nos exercícios, porque ela economiza espaço quando precisamos definir múltiplas variáveis. Os vídeos usam uma mistura de notação de matriz e a notação 1ı^+2ȷ^+3k^.

Adição

Uma das operações vetoriais básicas é a adição. De forma geral, sempre que somarmos dois vetores, precisamos somar os seguintes componentes deles:
(a,b,c)+(A,B,C)=(a+A,b+B,c+C)
Isso funciona com qualquer número de dimensões, não apenas com três. Podemos visualizar a soma a+b deslizando a cauda de a até a ponta de b. Veja um exemplo em duas dimensões.
Vejamos uma questão prática.
Problema 1
(3,2)+(1,4)=
(
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
,
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
)

Se você quiser se aprofundar mais, veja como compreender a adição vetorial visualmente com este vídeo, e pratique com este exercício.

Multiplicação escalar

A segunda operação vetorial básica é a multiplicação escalar, que é quando esticamos ou encolhemos um vetor. Escalar é apenas uma palavra chique para número (tem a mesma origem que a palavra escala). Veja um exemplo de como isso funciona:
b=(1,2,3)2b=(2,4,6)0,5b=(0,5,1,1,5)b=(1,2,3)
De forma geral, escalar um vetor por um número significa multiplicar cada uma das componentes do vetor por esse número. Isso significa
xa=x(a,b,c)=(xa,xb,xc)
Vejamos um exemplo.
Problema 2
Se a=(2,1),
então 3a=(
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
,
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
).

O significado intuitivo de escalar um vetor por um fator de 2 é fazer com que o vetor fique duas vezes mais longo. Veja como isso fica:
Escalar por um fator de 0,5 faz com que o vetor passe a ter metade do seu comprimento. Ele ficaria parecido com o vetor acima (2,4), tornando-se (1,2) em vez do contrário.
Escalar por um fator de 1 significa inverter a direção do vetor, porque cada uma de suas componentes se torna o oposto do que ela era. Veja um exemplo:
Se você quiser se aprofundar, veja este vídeo e faça este exercício.

Magnitude

Quando visualizamos vetores como setas, uma pergunta natural deve ser "Qual é o comprimento dele?" A magnitude de um vetor responde a essa pergunta. Escrevemos a magnitude de um vetor com barras duplas nos dois lados, ou às vezes com barras únicas: a ou |a|.
Calculamos a magnitude com o teorema de Pitágoras, pois podemos pensar em um vetor como a hipotenusa de um triângulo. Isso é equivalente a usar a fórmula da distância, portanto a magnitude do vetor (a,b) é a2+b2.
Vejamos um exemplo.
Problema 3
Se a=(2,5), então a=

A magnitude funciona da mesma forma em três ou mais dimensões.
Problema 4
Se b=(2,3,1), então b=

Se você quiser se aprofundar, veja este vídeo, e faça este exercício

O que vem por aí

Além da adição, da multiplicação escalar e da magnitude, há mais duas operações importantes entre vetores. Há o produto escalar e o produto vetorial, e vamos abordá-las nos próximos dois artigos.

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