Vetores e notações

Os vetores são essenciais para tudo o que é multivariável. Eles são usados quando queremos representar uma coordenada em espaço com várias dimensões ou, de forma geral, quando queremos escrever uma lista de qualquer coisa. Neste artigo, vamos abordar o que são vetores, as diferentes formas de escrevê-los e as suas três operações básicas.

De forma geral, um vetor é uma lista de coisas. No cálculo com múltiplas variáveis, essa "coisa" normalmente é um "número", mas isso nem sempre é assim. Por exemplo, vamos ver um vetor feito por operadores de derivadas quando estivermos falando de derivadas multivariáveis. Essa generalidade será muito útil mais adiante.

Quando um vetor é apenas uma lista de números, podemos visualizá-lo como uma seta no espaço. Por exemplo, visualizamos o vetor $(4,2)$‍ como uma seta cuja cauda está na origem e a ponta está no ponto $(4,2)$‍. Por isso, normalmente não fazemos distinção entre pontos e vetores em cálculo multivariável.

Contudo, às vezes desenhamos um vetor com a cauda longe da origem. Isso não muda nada no vetor, apenas o local onde o desenhamos. Por exemplo, também podemos desenhar o vetor $(4,2)$‍ partindo de $(0,2)$‍. As duas setas correspondem ao vetor$(4,2)$‍, embora uma delas não termine no ponto $(4,2)$‍.

É por isso que às vezes é confuso escrever vetores exatamente como pontos no espaço. Assim, as pessoas decidiram usar outras notações para vetores.

Há várias formas de escrever vetores. Veja a seguir as três que mais vamos usar neste curso. A pequena seta sobre $\overrightarrow{v}$‍ é uma convenção que indica que $\overrightarrow{v}$‍ se refere a um vetor.

A primeira notação é o que discutimos anteriormente. Tecnicamente, ela se refere a um ponto, mas também a usamos para fazer referência a um vetor. Essa notação se estende a qualquer número de dimensões.

A segunda notação é a notação de matriz, que também pode se estender a quantas dimensões quisermos. A notação de matriz é útil em especial quando pensamos em vetores interagindo com matrizes. Vamos discutir matrizes e como visualizá-las nos próximos artigos.

A terceira notação, diferentemente das anteriores, funciona apenas em duas e três dimensões. O símbolo $\hat{ı}$‍ (que é pronunciado "i circunflexo") é o vetor unitário $x$‍, portanto $\hat{ı}=(1,0,0)$‍. Da mesma forma, $\hat{ȷ}=(0,1,0)$‍ e $\hat{k}=(0,0,1)$‍. Essa notação pode fazer mais sentido quando começarmos a abordar a adição de vetores.

Neste curso, quase sempre usamos a notação $(1,2,3)$‍ nos exercícios, porque ela economiza espaço quando precisamos definir múltiplas variáveis. Os vídeos usam uma mistura de notação de matriz e a notação $1\hat{ı}+2\hat{ȷ}+3\hat{k}$‍.

Uma das operações vetoriais básicas é a adição. De forma geral, sempre que somarmos dois vetores, precisamos somar os seguintes componentes deles:

Isso funciona com qualquer número de dimensões, não apenas com três. Podemos visualizar a soma $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$‍ deslizando a cauda de $\overrightarrow{a}$‍ até a ponta de $\overrightarrow{b}$‍. Veja um exemplo em duas dimensões.

Vejamos uma questão prática.

Se você quiser se aprofundar mais, veja como compreender a adição vetorial visualmente com este vídeo, e pratique com este exercício.

A segunda operação vetorial básica é a multiplicação escalar, que é quando esticamos ou encolhemos um vetor. Escalar é apenas uma palavra chique para número (tem a mesma origem que a palavra escala). Veja um exemplo de como isso funciona:

De forma geral, escalar um vetor por um número significa multiplicar cada uma das componentes do vetor por esse número. Isso significa

Vejamos um exemplo.

O significado intuitivo de escalar um vetor por um fator de $2$‍ é fazer com que o vetor fique duas vezes mais longo. Veja como isso fica:

Escalar por um fator de $0,5$‍ faz com que o vetor passe a ter metade do seu comprimento. Ele ficaria parecido com o vetor acima $(2,4)$‍, tornando-se $(1,2)$‍ em vez do contrário.

Escalar por um fator de $-1$‍ significa inverter a direção do vetor, porque cada uma de suas componentes se torna o oposto do que ela era. Veja um exemplo:

Se você quiser se aprofundar, veja este vídeo e faça este exercício.

Quando visualizamos vetores como setas, uma pergunta natural deve ser "Qual é o comprimento dele?" A magnitude de um vetor responde a essa pergunta. Escrevemos a magnitude de um vetor com barras duplas nos dois lados, ou às vezes com barras únicas: $\Vert \overrightarrow{a}\Vert$‍ ou $|\overrightarrow{a}|$‍.

Calculamos a magnitude com o teorema de Pitágoras, pois podemos pensar em um vetor como a hipotenusa de um triângulo. Isso é equivalente a usar a fórmula da distância, portanto a magnitude do vetor $(a,b)$‍ é $\sqrt{a^2+b^2}$‍.

Vejamos um exemplo.

A magnitude funciona da mesma forma em três ou mais dimensões.

Se você quiser se aprofundar, veja este vídeo, e faça este exercício

Além da adição, da multiplicação escalar e da magnitude, há mais duas operações importantes entre vetores. Há o produto escalar e o produto vetorial, e vamos abordá-las nos próximos dois artigos.