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Introdução aos números racionais e irracionais

Transcrição de vídeo

RKA - Vamos falar um pouco sobre números racionais. Números racionais. E a forma simples de pensar sobre o que é, que qualquer número que possa ser representado como a razão entre dois números inteiros é um número racional. Por exemplo, qualquer número inteiro é um número nacional. 1 pode ser representado como 1 sobre 1, ou como -2 sobre -2, ou como 10 mil sobre 10 mil. Nesses casos, estas são representações diferentes do número 1, da razão entre dois números inteiros. E, obviamente, posso ter um número infinito de representações do 1 dessa forma. O mesmo número sobre o mesmo número. O número -7 poderia ser representado como -7 sobre 1, ou 7 sobre -1, ou -14 sobre 2, e poderia continuar indefinidamente. -7 definitivamente é um número racional, pode ser representado como a razão entre dois números inteiros. Mas, e quando falamos sobre números que não são inteiros? Por exemplo, vamos imaginar, não sei, vamos supor 3,75. Como podemos representar como a razão entre dois inteiros? 3,75 pode ser reescrito como 375 sobre 100, sobre 100, que é igual a 750 sobre 200. Ou dá pra falar que 3,75 é igual a três e três quartos. Vou escrever que é igual a 15 sobre 4. 15 sobre 4. 4 vezes 3 é 12, mais três são 15. Dá pra reescrever assim, que é igual a 15 quartos, ou como -30 sobre -8. Apenas multipliquei o numerador e o denominador por -2. Mas, apenas para ser claro, é claramente racional, estou dando vários exemplos de como pode ser representada uma razão entre dois inteiros. E quando temos dízimas periódicas? A gente vai pegar o que talvez seja a dízima periódica mais famosa. Digamos que a gente tenha 0,333 e continua infinitamente, o que pode ser denotados colocando esse pequeno traço sobre o 3. Isto é, 0,3 periódico. Mais tarde, a gente vai mostrar como dá pra escrever qualquer dízima periódica como razão entre dois números inteiros, que claramente é um terço. Ou talvez tenham visto coisas como 0,6 periódico, que é dois terços. E há muitos outros exemplos. A gente vai ver que qualquer dízima periódica, não apenas uma dízima periódica com um dígito, mesmo se ela tiver um milhão de dígitos desde que o padrão comece a se repetir infinitamente, sempre poderá representar como a razão entre dois números inteiros. Sei o que está pensando: nossa, você incluiu muita coisa, incluiu todos os números inteiros, todos os números decimais finitos e também as dízimas periódicas. Sobrou alguma coisa? Existe algum número que não seja racional? Provavelmente, estão achando que tem, caso contrário as pessoas não teriam se dado ao trabalho de nomear esses números como racionais. E a verdade é que, como podem imaginar, na verdade, alguns dos números mais famosos na matemática não são racionais. A gente chama esses números de irracionais. Irracionais. Relacionei aqui apenas alguns dos exemplos mais famosos. Pi, a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo é um número irracional. Ele é infinito, nunca termina e nunca se repete de forma periódica. Número irracional aparece em vários lugares: a raiz quadrada de 2 é o número irracional. Fi, a proporção áurea é um número irracional. Coisas que acontecem na natureza são explicadas usando números irracionais. Agora, vocês poderão dizer: tá, estes são irracionais, eles são apenas um tipo especial de números. Mas talvez a maioria dos números seja racional e você apenas pegou alguns casos especiais. É importante perceber que, apesar de eles parecerem exóticos e são mesmo sobre determinadas perspectivas, eles não são incomuns. Na verdade, o fato é que sempre haverá um número irracional entre quaisquer dois números racionais. Poderemos continuar infinitamente. Na verdade, este é um número infinito mas tem, no mínimo, um e te dá uma ideia de que não podemos, na verdade, dizer que tem menos números irracionais do que números racionais. Em um próximo vídeo, iremos provar que se eu tiver dois números racionais, (racional 1, racional 2) haverá, no mínimo, um número irracional entre eles, o que é um resultado bacana, porque os números irracionais parecem ser exóticos. Outra forma de pensar, é que calculei a raiz quadrada de 2, mas podem calcular a raiz quadrada de qualquer quadrado não perfeito e irão obter um número irracional. Se somarem um número irracional com o número racional, a gente vai ver esse depois, a soma de um número irracional com o número racional será um número irracional. A multiplicação de um número irracional por um número racional será um número irracional. Portanto, tem muitos números irracionais nesse mundão de Deus.