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Transcrição de vídeo

RKA - Neste vídeo, quero apresentar vários exemplos que envolvam propriedades das potências. Mas antes da gente começar, vamos relembrar o que é um expoente. Digamos que eu tenha 2 elevado ao expoente 3. Você ficaria tentado a responder 6, e eu diria "não, não é 6". Isso significa 2 vezes ele mesmo, só que 3 vezes. Então, isso vai ser 2 vezes 2, vezes 2, que é igual a 2 vezes 2, 4. 4 vezes 2 é igual a 8. Se eu te perguntasse o que é 3 elevado à potência de 3, ou 3², isso é igual a 3 vezes ele mesmo, duas vezes. Isso é igual a 3 vezes 3, o que é igual a 9. Vamos fazer mais um desses. Acho que você está captando o sentido geral, caso nunca tenha visto isso antes. Digamos que eu tenha 5 elevado à potência de 7. Aquilo é igual a 5 vezes ele mesmo, 7 vezes. 5 vezes 5, vezes 5, vezes 5, vezes 5, vezes 5, vezes 5. É 7, certo? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Isso vai dar um número realmente muito grande, eu não vou fazer esse cálculo agora. Se quiser fazer isso à mão, fique à vontade. Ou use uma calculadora, mas isso vai resultar num número muito grande. Por isso uma coisa que entenderia imediatamente é que os expoentes aumentam muito rápido. 5 elevado a 17 seria um número ainda maior, enorme, mas enfim, tem uma revisão de expoentes. Vamos mergulhar um pouco na álgebra usando expoentes. O que seria, o que seria 3 vezes, deixa eu fazer isso com outra cor. Qual seria o resultado de "3x" vezes "3x" vezes "3x"? Uma coisa que é preciso lembrar é da função da multiplicação, não importa a ordem que a multiplicação seja feita, isso vai ser a mesma coisa que 3 vezes 3, vezes 3, vezes "x", vezes "x", vezes "x". E apenas com base no que revisamos aqui, essa parte aqui, 3 vezes 3, 3 vezes, é 3 elevado à potência de 3. E isso aqui, "x" vezes ele mesmo 3 vezes, que é "x" elevado à terceira. Então, esse negócio todo pode ser reescrito como 3 elevado à 3ª vezes "x" elevado à 3ª, ou se sabe o resultado de 3 elevado à 3ª, e isso é 9 vezes 3, que é 27, isso é "27x" elevado ao cubo. Agora você poderia ter dito, "não era '3x' vezes '3x' vezes '3x'? Não era '3x' elevado ao cubo?" Certo? Você está multiplicando "3x" vezes ele mesmo 3 vezes. Eu diria "sim, é isso". Então isso, bem aqui, você poderia interpretar como "3x" elevado à terceira potência, assim. Utilizamos uma de nossas propriedades das potências. Repare quando tenho algo vezes outra coisa e uma coisa inteira é elevada à potência de 3, que equivale a cada um daqueles elevados à potência de 3 vezes cada um, "3x" elevado a 3 é o mesmo que 3 elevado a 3, vezes "x" elevado a 3, que é "27x" elevado a 3. Vamos fazer mais alguns exemplos. O que você responderia se eu pedisse o resultado de 6 elevado à 3ª vezes 6 elevado à 6ª potência? Vai ser um número gigantesco, mas eu quero escrevê-lo como uma potência de base 6. Deixa eu escrever o 6 elevado a 6 com uma cor diferente. 6 elevado a 3 vezes 6 elevado à potência de 6. Isso vai ser equivalente a quê? 6 elevado a 3 a gente sabe que é 6 vezes ele mesmo, 3 vezes. Então isso é 6 vezes 6 vezes 6. Então isso vai ser vezes, o sinal de vezes aqui tá em verde, então eu falei na cor verde, talvez faça os dois em laranja. Isso vai ser vezes 6 elevado à 6ª potência. Qual o resultado de 6 elevado a 6? É 6 vezes ele mesmo, 6 vezes. Então, é 6 vezes 6, vezes 6, vezes 6, vezes 6, depois você pega mais um, vezes 6. Então, no que vai resultar o número inteiro? Bom, isso tudo estamos multiplicando 6 vezes ele mesmo quantas vezes? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vezes não é? Três vezes aqui, então outras 6 vezes aqui. Então estamos multiplicando 6 vezes ele mesmo, 9 vezes. 3 + 6. Então isso é igual a 6 elevado a 3 + 6. Ou 6 elevado à 9ª potência. E da mesma forma, utilizamos outra propriedade das potências quando pegamos expoentes, neste caso 6 elevado a 3, o número 6 é a base. Estamos tirando a base para o expoente de 3. Quando você tem a mesma base e está multiplicando duas potências com a mesma base, então conservamos a base e adicionamos os expoentes. Se tivesse, deixa eu fazer diversos exemplos desses. Se eu tivesse, vamos fazer esse na cor rosa. Digamos que eu tenha 2² vezes 2 elevado à 4ª vezes 2 elevado à 6ª. Tenho a mesma base em todos esses, então posso adicionar os expoentes. Isso vai ser igual a 2 elevado a 2, mais 4 mais 6, que é igual a 2 elevado a 12. E tomara que faça sentido, por isso vai ser 2 vezes ele mesmo duas vezes, 2 vezes ele mesmo, 4 vezes, 2 vezes ele mesmo, 6 vezes. Quando você faz a multiplicação de todos e isso vai ser 2 vezes ele mesmo 12 vezes, ou 2 elevado a 12. Vamos fazer isso de uma forma um pouco mais abstrata, usando algumas variáveis, mas é exatamente a mesma ideia. O que é "x" elevado a 2, ou x² vezes "x" elevado a 4? A gente poderia usar a propriedade que acabamos de aprender. Temos exatamente a mesma base, "x". Então vai ser "x" elevado a 2 mais 4. Isso vai ser "x" elevado à 6ª potência. E se não acredita em mim, qual o resultado de "x²"? "x²" é igual a "x" vezes "x". E se você ia multiplicar vezes x elevado à 4ª, está multiplicando por "x" vezes ele mesmo, 4 vezes. "x" vezes "x", vezes "x", vezes "x". Então, quantas vezes está multiplicando "x" por ele mesmo agora? 1, 2, 3, 4, 5, 6 vezes. "x" elevado à potência de 6. Vamos fazer outros. De todos os exemplos, este é o melhor. Vamos usar outra propriedade apenas para mesclá-la e combiná-la. Digamos que eu tenha "a" elevado a 3 elevado à 4ª potência. Vou dizer a você que a propriedade aqui, e vou te mostrar porque isso faz sentido. Quando tem uma potência e então leva isso a um expoente, você pode multiplicar os expoentes, então isso vai ser "a" elevado a 4 vezes 4, ou "a" elevado a 12. E por que isso faz sentido? Isso aqui é "a" elevado a 3 vezes ele mesmo, 4 vezes. Então isso é igual a "a" elevado a 3 vezes "a" elevado a 3, vezes "a" elevado a 3, vezes "a" elevado a 3. Temos a mesma base, então podemos adicionar os expoentes. Vai dar "a" elevado a 3 vezes 4. Isso é igual a "a" elevado a 3, mais 3, mais 3, mais 3, que é o mesmo que elevado à potência 3 vezes 4 ou "a" elevado a 12. Acabamos de rever as propriedades que aprendemos até agora nesse vídeo, além de uma revisão do que é um expoente. Se eu tivesse "x" elevado à potência "a" vezes "x" elevado à potência "b", e isso vai ser igual a "x" elevado a "a + b". Vimos isso aqui. "x" ao quadrado vezes "x" elevado a 4 é igual a "x" elevado a 6, 2 mais 4. Também vimos que se tenho "x" vezes "y" elevado à potência "a", é o mesmo que "x" elevado a "a", vezes "y" elevado a "a". Vimos isso no início desse vídeo, vimos isso até aqui. "3x" elevado a 3 é o mesmo que três elevado a três vezes "x" elevado a 3. Isso é o que está dizendo bem aqui. "3x" elevado a 3 é o mesmo que 3 elevado a 3, vezes "x" elevado a 3. Depois, a última propriedade, aquela que a gente tinha utilizado. Se você tem "x" elevado a "a", e depois você eleva a "b", que equivale a "x" elevado a "a" vezes "b". E vemos isso aqui. "a" elevado a 3 e depois eleva a 4, é o mesmo que "a" elevada a 3 vezes 4, ou "a" elevado a 12. Então vamos utilizar essas propriedades para fazer alguns problemas mais complexos. Digamos que eu tenha, digamos que eu tenha "2xy" ao quadrado 2xy² vezes "-x" ao quadrado "y" ao quadrado, vezes "3x" ao quadrado "y" ao quadrado. E queremos simplificar isso. Um ótimo lugar para a gente começar, vejamos, talvez pudéssemos simplificar. Podemos enxergar isso como -1 vezes "x" ao quadrado vezes "y" ao quadrado. Essa parte aqui, se elevarmos tudo ao quadrado, é como elevar cada termo à potência de 2. Então, essa parte bem aqui poderia ser simplificada como -1 ao quadrado vezes "x" ao quadrado, ao quadrado, vezes "y" ao quadrado. Então, se íamos simplificar aquilo, - 1 ao quadrado é apenas 1. "x" ao quadrado ao quadrado. Lembre-se que pode apenas multiplicar os expoentes. Então vai ser "x" elevado à 4ª "y" ao quadrado. É essa parte aqui do meio simplificada. Vamos ver se podemos juntar isso com outras partes. As outras partes, apenas para lembrar, eram "2xy" ao quadrado, então "3x" ao quadrado "y" ao quadrado. Agora estamos apenas seguindo em frente e direto, multiplicando tudo, e aprendemos que, na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto. Então, posso apenas reorganizar. Estamos seguindo e multiplicando 2 vezes "x" vezes "y²", vezes "x⁴", vezes "y²" vezes 3 vezes "x²" vezes "y²". Posso reorganizar isso e vou fazer de um jeito que é fácil. Posso multiplicar 2 vezes 3 e depois me preocupo com os termos "x". Vamos fazer isso nessa cor. Então, tenho vezes "x" vezes "x" elevado à 4ª, vezes "x" ao quadrado. E tenho que me preocupar com os termos "y" vezes "y" ao quadrado, vezes outro "y" ao quadrado, vezes outro "y" ao quadrado. E agora, esses são equivalentes aqui. Bom, 2 vezes 3, você sabe como fazer aquilo, é igual a 6. E o que é "x" vezes "x" elevado a 4 vezes "x" ao quadrado? Uma coisa para lembrar é que "x" é o mesmo que "x" elevado a 1. Qualquer coisa elevada a 1 é o próprio número. Então você sabe, 2 elevado a 1 é apenas 2. 3 elevado a 1 é 3. Isso vai ser equivalente a quê? Vai ser igual a, temos a mesma base "x", podemos adicionar os expoentes. "x" elevado a 1 mais 4 mais 2, e vou adicioná-lo no próximo passo. Então nos "y", isso é vezes "y" elevado a 2 mais 2, mais 2. O que isso nos mostra? Isso nos dá "6x" elevado a 7ª, "y" elevado à 6ª. Apenas vou deixar você com alguma coisa que poderia já saber, mas que é bem interessante. Essa é a pergunta: o que acontece quando tem algo elevado a 0? Se eu digo 7 elevado a 0, qual é o resultado? Vou te dizer agora. Isso pode parecer um tanto não intuitivo. Isso é igual a 1. Ou 1 elevado a 0 é também igual a 1. Tudo elevado a 0, qualquer número que não seja zero elevado a 0, vai ser igual a 1. E, apenas para que você perceba o porquê, pense dessa maneira: 3 elevado a 1. Deixa eu escrever as potências. 3 elevado a 1, 2, 3. Faremos apenas com o número 3, então 3 elevado a 1 é 3. Acho que faz sentido. 3 elevado ao quadrado é 9. 3 elevado ao cubo é 27. E é claro, estamos tentando calcular o que deveria resultar 3 elevado a 0. Pensa: a qualquer momento você diminui o expoente, a qualquer momento divide os expoentes até chegar a 1. Você está dividindo por 3. Para ir de 27 a 9, divide por 3. Para ir de 9 a 3, divide por 3. Então, para ir deste expoente para aquele outro, talvez devêssemos dividir por 3 de novo, e por isso qualquer coisa elevada a 0, neste caso, 3 elevado a 0 é 1. Nos vemos no próximo vídeo.