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Exemplos de divisibilidade comum

Exemplos de divisibilidade comum. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2JV - Neste vídeo, eu quero resolver alguns exercícios que serão muito úteis para ajudá-lo com o módulo de divisão, porque neles teremos questões bem genéricas, como, por exemplo: "Todos os números divisíveis por 12 e por 20 são também divisíveis por:" O truque aqui é perceber que, se um número é divisível tanto por 12 quanto por 20, ele tem que ser divisível por cada um dos fatores primos desses dois números. Então, vamos fatorar o 12 e o 20. A fatoração do 12 é 2 vezes 6. Mas 6 não é primo. Então, temos que o 6 é 2 vezes 3. Agora ficamos só com primos. Então, qualquer número divisível por 12 deve, necessariamente, ser divisível por 2 vezes 2 vezes 3. Sua fatoração em primos deve ter 2 vezes 2 vezes 3, para qualquer número divisível por 12. Agora, vamos fazer para o 20. Vamos fatorá-lo. 20 é 2 vezes 10. 10 é 2 vezes 5. Portanto, todo número divisível por 20 precisa ser divisível por 2 vezes 2 vezes 5. Ou seja, seja tem que ter dois 2 e um 5 na sua fatoração. E agora, se ele é divisível pelos dois caras (pelo 12 e pelo 20), então, você precisa ter dois 2, um 3 e um 5: dois 2 e um 3 para o 12, e dois 2 e um 5 para o 20. E você pode verificar se isso é divisível pelos dois. Obviamente, se você dividir isto por 20, é a mesma coisa que dividir por 2 vezes 2 vezes 5. Então os 2 irão cancelar, e os 5 também. Só vai sobrar o 3. Então, ele é divisível por 20. Se formos dividir por 12, você dividirá por 2 vezes 2 vezes 3, que é a mesma coisa que 12. Estes caras aqui vão se cancelar e vai sobrar apenas o 5. Então, ele será divisível por ambos, e esse número será o 60. É 2 vezes 2, que dá 4, vezes 3 dá 12, vezes 5, isso dá 60. Por sinal, ele é o mínimo múltiplo comum entre 12 e 20, mas ele não é o único número que é divisível por 12 e 20. Você poderia ir multiplicando ele por vários fatores, que eu vou chamar de "a", "b" e "c". O 60 é o menor dos números divisíveis por 12 e por 20, mas existem outros números maiores que também serão divisíveis por eles. Então, agora que já sabemos isso, vamos responder às questões. "Todos os números divisíveis por 12 e 20 são também divisíveis por:" Bem, nós não sabemos quais números são esses. Não dá para ter certeza. Pode ser o 60, mas pode ser o 120, ou sei lá. Pode ser um número gigante que é divisível por 12 e por 20. Mas, mesmo sem saber que números são esses, nós sabemos algumas coisas. Sabemos que ele poderá ser divisível por 2, pois temos aqui 2 vezes 2 vezes 3 vezes 5. Então, temos um 2 aí. Sabemos também que poderá ser divisível por 2 vezes 2. Nós temos o 2 vezes 2 aqui. Por 3 também pode. Será divisível também por 2 vezes 3, que é 6. Também será divisível por 2 vezes 2 vezes 3. Eu poderia ir fazendo todas as combinações destes números aqui. Pode ser divisível por 3 vezes 5. Também por 2 vezes 3 vezes 5. Então, de maneira geral, você diz que qualquer número que é divisível por 12 e por 20 será divisível por qualquer combinação destes fatores primos aqui. Então, se isto fosse uma questão de múltipla escolha e as respostas fossem 7, 9, 15 e 8, você olharia para o 7 e percebe que o 7 não é nenhuma combinação destes fatores primos aqui. Daí, o 9. Bem, o 9 é 3 vezes 3. Nós precisaríamos ter dois 3 aqui. Nós não temos, então, o 9 não serve. E o 7 também não serviu. Agora, vejamos o 15. Bem, o 15 é 5 vezes 3. E nós temos aqui o 5 e o 3. Então, o 15 funciona. Todo número que é divisível tanto por 12 quanto por 20 também será divisível por 15. É bom lembrar que o 15 não é a única resposta. Por exemplo, 4 ou 6 também serviriam. Mas, aqui nas nossas alternativas, só temos o 15. E o 8? Será que ele funciona também? 8 é 2 vezes 2 vezes 2. Nós não temos três 2 aqui, só temos dois 2. Então, 8 não funciona. Vamos fazer um outro exemplo. Temos aqui: "Todos os números divisíveis por 9 e por 24 são também divisíveis por...?" E, de novo, a gente só precisa fazer a fatoração desses números, não é? Basicamente, a gente está pensando no mínimo múltiplo comum entre 9 e 24. Então, vamos fatorar o 9. 9 é 3 vezes 3. E pronto, só isso. Já o 24 é 2 vezes 12. 12 é 2 vezes 6. 6 é 2 vezes 3. E pronto. Então, qualquer número que seja divisível por 9 tem que ter um 9 na sua fatoração, ou seja, ter um 3 vezes 3 nela. E qualquer número divisível por 24 deverá ter três 2. Então, terá um 2 vezes 2 vezes 2. E também tem que ter pelo menos um 3. E nós já temos um 3 aqui, do 9. Então, já tem aqui, não é? Então, este número bem aqui é divisível tanto por 9 quanto por 24. E esse número é o 72. Isto é 8 vezes 9, que dá 72. Então, as alternativas desta questão (vamos assumir que isto seja uma questão de uma prova-teste), se as alternativas são: 16, 27, 5, 11 e 9. Então, se fatorarmos o 16, vai ser 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2. É elevado à quarta. Então, você precisaria de quatro 2. Mas nós não temos quatro 2 aqui. E claro que poderíamos ter outros números aqui, se fosse um número maior que o 72. Mas nós não sabemos que números são esses. Então, os únicos números que podemos assumir que estão aqui são os da fatoração de algo que é divisível tanto por 9 quanto por 24. Então, podemos já descartar o 16, pois não temos quatro 2 aqui. Agora o 27: 27 é igual a 3 vezes 3 vezes 3. Nós não temos três 3 aqui, só temos dois 3. Então, vamos descartar o 27 também. O 5. Bem, 5 é um número primo. Não tem nenhum 5 aqui. Então, ele também não serve. 11: de novo, um número primo. Não tem nenhum 11 aqui. Não serve. 9 é igual a 3 vezes 3. E eu acabei de perceber que 9 é uma resposta bem boba, não é? Porque é claro que todos os números divisíveis por 9 e por 24 também serão divisíveis por 9. Claro que o 9 vai funcionar. Mas sei lá, sem ser o 9, as alternativas podiam ter outros números mais difíceis. Por exemplo, o 8. 8 seria uma resposta certa, porque 8 é igual a 2 vezes 2 vezes 2, e nós temos um 2 vezes 2 vezes 2 aqui. O 4 também funcionaria: 4 é 2 vezes 2. O 6 também funciona, pois é 2 vezes 3. 18 também funciona, porque 18 é 2 vezes 3 vezes 3. Então, qualquer combinação destes fatores primos vai funcionar, ou seja, vai dar um número que, algo que é divisível tanto por 9 quanto por 24 também vai ser divisível por esse número. Eu espero que não tenha confundido vocês. Até o próximo vídeo!