Padrões matemáticos: palitos de dente

RKA - Quero construir pequenos sobrados com palitos. Este é o meu primeiro sobrado. Usei três palitos até agora... quatro, cinco e seis. Esse é o meu primeiro sobrado. Agora, vamos escrever uma pequena tabela para registrar o que estamos fazendo. Vou traçar em branco. Aqui está minha tabela que registra nossas ações; aqui temos o número de casas e, aqui, o número de palitos que eu uso para construir as casas. Nessa primeira casa eu usei 6 palitos (um, dois, três, quatro, cinco, seis). Agora, a segunda casa... e as casas vão ser geminadas, ou seja, vão ter uma parede em comum... vou acrescentar um, dois, três, quatro, cinco palitos para minha segunda casa. Por que fiz com 5 palitos, e não 6? Elas têm uma parede em comum aqui, então não precisei acrescentar outro palito para essa parede à esquerda. Começando com a primeira casa, tive apenas que acrescentar 5 palitos. Tive que somar 5 palitos para chegar no total de 11 palitos se quiser duas casas. Acho que estão percebendo o padrão aqui. E se fizer três casas? Vamos acrescentar outros 5 palitos (um, dois, três, quatro, cinco palitos). Assim, vamos somar 5 de novo e chegar a 16. Vamos fazer 5 casas. Para a quarta, a gente soma mais cinco (um, dois, três, quatro, cinco). Para a quarta casa, vamos somar mais 5 e chegar a 21. Pensando sobre isso, usando esse padrão, a gente pode descobrir quantos palitos seriam necessários para construir 50 sobrados, ou 500 sobrados, ou até mesmo 5.000 sobrados? Para isso, a gente só precisa analisar esse padrão e tentar criar uma equação para cada um desses valores. Por exemplo, a gente vê um padrão que já vimos, que começamos com 6, e estamos somando 5 cada vez que acrescentamos uma casa, correto? Quando acrescentamos a segunda casa, a gente soma 5 uma vez; na terceira casa, começamos com 6 e acrescentamos 5 duas vezes; na quarta casa, começamos com 6 e acrescentamos 5 três vezes. Vamos escrever isso. Assim, 21 é igual a...? Começamos com 6 (começamos com esse 6 aqui); e, a seguir, somamos 5 três vezes (mais 5 vezes 3). Na terceira casa, mais uma vez, começamos com 6 e acrescentamos 5 duas vezes (vou anotar com a mesma cor... e somamos 5 duas vezes; mais 5 vezes 2). Quando tinham duas casas, começamos com 6, mais uma vez, e isto é igual a 6 e somamos 5 uma vez (assim, mais 5 vezes 1). A seguir, vocês tinham 1 casa e, usando o mesmo padrão, começaram com 6 e quantas vezes somaram 5? Não somaram 5. Dá para falar que somaram 5 zero vezes. Acho que estão percebendo o padrão aqui: não importa o número de casas construídas, só é preciso subtrair um palito, e multiplicar por 5, somar com o 6 e vai ter o número de palitos. Vamos agora reescrever isso. Eu poderia reescrever como "6 + 5 ‧ (4 - 1)". Dá para escrever como "6 + 5 ‧ (3 - 1)" Vocês poderiam escrever isso como "6 + 5 ‧ (2 - 1)". Poderiam reescrever como "6 + 5 ‧ (1 - 1)". Talvez torne esse padrão um pouco mais claro. Esse 4 está logo aqui em cima; esse 3 está logo aqui em cima; esse 2 está logo aqui em cima. A seguir, esse 1 está logo aqui em cima. Acho que estamos prontos para pensar sobre o que aconteceria se quisesse construir 50 casas. Vamos tentar fazer isso (vou escrever em laranja). Esta é a nossa 50ª casa. E esta é a parede comum que ela tem. Esta é a 50ª casa. Quantos palitos são necessários para 50 casas? Se tiver 50 casas... bom, podemos usar o padrão que criamos, o número será igual a...? Começando com o nosso 6 (a primeira casa precisou de 6); a seguir, vamos acrescentar 5 para cada casa. Então, mais 5 para cada casa adicional. Quantas casas a mais vamos ter? Vamos ter 50 casas a mais, menos 1. Por que menos 1? Já construíram uma delas com os 6. Para cada casa adicional... e vai ser 49 casas adicionais... vocês vão acrescentar 5 palitos para cada. Isto será igual a "6 + 5 ‧ (49)". 5 vezes 49 é 245. Então, 6 mais 245 é igual a 251 palitos. O legal desse padrão que criamos é que ele pode ser usado para descobrir quantos palitos precisamos para construir 1 milhão desses pequenos sobrados.