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Pré-álgebra

Curso: Pré-álgebra > Unidade 15

Lição 3: Solução de sistemas por substituição
Matemática
Pré-álgebra
Sistemas de equações
Solução de sistemas por substituição
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Sistemas de equações com substituição

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Veja exemplos de como resolver sistemas de equações com a substituição.
Vamos trabalhar para resolver este sistema de equações:
y=2x        Equação 1
x+y=24        Equação 2
O que pode complicar é que há duas variáveis, x e y. Se pudéssemos nos livrar de uma delas...
Tenho uma ideia! A equação 1 nos diz que 2x e y são iguais. Então vamos substituir y por 2x na Equação 2 para eliminar a variável y dessa equação:
x+y=24Equação 2x+2x=24Substitua y por 2x
Brilhante! Agora temos uma equação com apenas a variável x, que sabemos como resolver:
x+2x=243x=24 3x3=243Divida cada lado por 3x=8
Legal! Então sabemos que x é igual a 8. Mas lembre-se de que estamos procurando um par ordenado. Precisamos de um valor de y também. Vamos usar a primeira equação para encontrar o valor de y quando x é igual a 8:
y=2xEquação 1y=2(8)Substitua x por 8y=16
Maravilha! Então a solução para o sistema de equações é (8,16). É sempre interessante conferir a solução nas equações originais, só para garantir.
Vamos conferir a primeira equação:
y=2x16=?2(8)Substitua x = 8 e y = 1616=16Uhu!
Vamos conferir a segunda equação:
x+y=248+16=?24Substitua x = 8 e y = 1624=24Uhu!
Excelente! (8,16) realmente é uma solução. Não devemos ter cometido nenhum erro.
Sua vez de resolver um sistema de equações usando a substituição.
Use a substituição para resolver o seguinte sistema de equações.
4x+y=28
y=3x
x=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
y=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Como encontrar o valor de uma variável e depois usar a substituição

Às vezes, usar a substituição é um pouco mais complicado. Veja outro sistema de equações:
−3x+y=−9       Equação 1
5x+4y=32       Equação 2
Observe que nenhuma dessas equações já tem o valor de x ou de y. Consequentemente, a primeira etapa é encontrar o valor de x ou de y antes de qualquer coisa. Veja como isso é feito:
Etapa 1: resolver uma das equações, para encontrar o valor de uma das variáveis.
Vamos resolver a primeira equação para encontrar o valor de y:
−3x+y=−9Equação 1−3x+y+3x=−9+3xSome 3x em cada ladoy=−9+3x
Etapa 2: substituir essa equação na outra equação, e encontrar o valor de x.
5x+4y=32Equação 25x+4(−9+3x)=32Substitua y por -9 + 3x5x−36+12x=3217x−36=3217x=68x=4Divida cada lado por 17
Etapa 3: substitua x=4 em um das equações originais e encontre o valor de y.
−3x+y=−9A primeira equação−3(4)+y=−9Substitua x por 4−12+y=−9y=3Some 12 de cada lado
Então nossa solução é (4,3).

Vamos praticar!

1) Use a substituição para resolver o seguinte sistema de equações.
2x−3y=−5
y=x−1
x=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
y=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

2) Use a substituição para resolver o seguinte sistema de equações.
−7x−2y=−13
x−2y=11
x=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
y=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

3) Use a substituição para resolver o seguinte sistema de equações.
−3x−4y=2
−5=5x+5y
x=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
y=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

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