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Pré-álgebra

Curso: Pré-álgebra > Unidade 15

Lição 2: Sistemas de equações com representação gráfica
Matemática
Pré-álgebra
Sistemas de equações
Sistemas de equações com representação gráfica
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Sistemas de equações com representação gráfica

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Veja exemplos de como resolver sistemas de equações encontrando o ponto de interseção.
Podemos encontrar a solução para um sistema de equações fazendo o gráfico das equações. Vamos fazer isso com os seguintes sistemas de equações:
start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10
start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f
Primeiro, vamos fazer o gráfico da primeira equação, start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10. Observe que a equação já está na forma reduzida da reta para encontrar o valor de y, então podemos fazer seu gráfico começando na interceptação em y igual a 3, e então subindo 1 unidade e indo 2 unidades para a direita.
Agora vamos fazer o gráfico da segunda equação, start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f, também.
Há exatamente um ponto onde os gráficos se cruzam. Esta é a solução do sistema de equações.
Isso faz sentido porque todo ponto na reta amarela é uma solução da equação start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10, e todo ponto na reta verde é uma solução da equação start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f. Então, os únicos pontos que são uma solução para ambas as equações é o ponto de interseção

Como conferir a solução

Então, ao fazer o gráfico das duas equações, descobrimos que o par ordenado left parenthesis, 4, comma, 5, right parenthesis é a solução do sistema. Vamos conferir isto substituindo x, equals, 4 e y, equals, 5 em cada equação.
A primeira equação:
y=12x+35=?12(4)+3Substitua x = 4 e y = 55=5Uhu!\begin{aligned} \goldD{y} &\greenE= \goldD{\dfrac12x + 3} \\\\ 5&\stackrel?= \dfrac12(4) + 3 &\gray{\text{Substitua x = 4 e y = 5}}\\\\ 5 &= 5 &\gray{\text{Uhu!}}\end{aligned}
A segunda equação:
y=x+15=?4+1Substitua x = 4 e y = 55=5Uhu!\begin{aligned} \greenE{y} &\greenE= \greenE{x+1} \\\\ 5&\stackrel?= 4 + 1 &\gray{\text{Substitua x = 4 e y = 5}}\\\\ 5 &= 5 &\gray{\text{Uhu!}}\end{aligned}
Legal! left parenthesis, 4, comma, 5, right parenthesis realmente é uma solução.

Vamos praticar!

Problema 1

O seguinte sistema de equações foi representado no gráfico abaixo.
y, equals, minus, 3, x, minus, 7
y, equals, x, plus, 9
Encontre a solução do sistema de equações.
x, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2

Veja este sistema de equações:
y, equals, 5, x, plus, 2
y, equals, minus, x, plus, 8
Faça o gráfico de ambas as equações.
Encontre a solução do sistema de equações.
x, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3

Veja este sistema de equações:
8, x, minus, 4, y, equals, 16
8, x, plus, 4, y, equals, 16
Faça o gráfico de ambas as equações.
Encontre a solução do sistema de equações.
x, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Desafios

1) Quantas soluções o sistema de equações no gráfico abaixo tem?
Escolha 1 resposta:

2) Quantas soluções o sistema de equações no gráfico abaixo tem?
(As duas retas são paralelas, então elas nunca se cruzam)
Escolha 1 resposta:

3) Quantas soluções o sistema de equações no gráfico abaixo tem?
(As duas retas são exatamente iguais. Elas estão diretamente uma sobre a outra, então há um número infinito de pontos de interseção).
Escolha 1 resposta:

4) É possível para um sistema de equações lineares ter exatamente duas soluções?
Dica: pense nos gráficos do problema acima.
Escolha 1 resposta:

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  • Avatar blobby green style do usuário Mateus Campos
    Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “não entendi por que no pr...” de Mateus Campos
    não entendi por que no problema 3 as linhas se encontram no +2 da linha x
    (3 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
  • Avatar blobby green style do usuário Emanuele
    Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Não entendi muito bem o q...” de Emanuele
    Não entendi muito bem o quarto desafio.
    (2 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar marcimus pink style do usuário renatamarquesdonascimento
      Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “No quarto desafio a pergu...” de renatamarquesdonascimento
      No quarto desafio a pergunta é se um sistema de equações lineares pode ter exatamente duas soluções. A resposta é "não" porque se a solução se encontra no local onde as retas se cruzam, é impossível duas retas se cruzarem exatamente duas vezes. Por exemplo: duas retas podem ser paralelas, ou seja, nunca irão se encontrar no plano e não existe solução na equação; outras duas retas podem ser coincidentes, ou seja, basicamente a mesma reta, onde temos infinitos pontos em comum e infinitas soluções na equação; ou as retas podem se cruzar, de modo que se encontram somente uma vez, com exatamente uma solução no sistema - após este encontro as retas seguem caminhos opostos e nunca mais irão se encontrar - se elas se encontrassem mais uma vez, poderia haver 2 soluções na equação, mas isto nunca irá ocorrer.
      (4 votos)
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