Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:15:24

Focos de uma hipérbole a partir da equação

Transcrição de vídeo

no último vídeo aprendemos que uma elipse pode ser definida como o lugar geométrico de todos os pontos onde a soma das distâncias para dois pontos especiais chamados de focos é uma constante se esta é a minha lipsy ela está centrada na origem não precisa estar mais para os nossos fins vamos desenhá-las entrada na origem tá bom se esse for um ponto focal e este outro a elipse pode ser definida como o conjunto de todos os pontos ou o lugar geométrico de todos os pontos onde se medir a distância de qualquer um desses pontos que existem na elipse e medir a distância para cada um dos lugares geométricos desculpa cada um dos focos se medir essa distância e somar com esta distância vai chamar esta de de um não muito grosso chama esta ddd 11 e esta de d2 e vai ser igual a um número constante ao longo de toda a elipse se eu pegar outro ponto aleatório ao redor da elipse e somar essa distância com esta distância vamos chamar esta de de 3 e esta aqui de de 4 a soma dessas distâncias para o foco ao longo desta elipse será uma constante neste caso de 2 mas de um vai ser igual à de três mais de 4 e será verdadeiro independente de onde estiverem toda a elipse aprendemos no último vídeo que essa quantidade na verdade é igual a 2 a 1 diá é a distância do raios m maior se esta é a fórmula pra ele psi desta de onde venho à x ao quadrado sobre ao quadrado mais y ao quadrado sobre b ao quadrado é igual a 1 a gente aprendeu que o foco a distância focal ou à distância do centro da elipse que é essa distância focal é apenas a raiz quadrada da diferença entre esses dois números se isso for a distância focal daqui pra cá ela será igual a hays quadrada de se a for maior então ela seria ao quadrado - b ao quadrado que é o caso na philips ii se eu tiver uma elipse vertical e não cobrisse o último vídeo mas quero apenas mostrar como ela seria digamos que a elipse tem esse formato eu vou usar o azul digamos que a elipse tenha este formato neste caso nosso raio c menor está agora na direcção y e é b é a e neste caso bem maior do que há por que a elipse é alta na vertical e fina na horizontal neste caso os focos sempre vão estar ao longo do eixo maior eo eixo maior é o eixo vertical então os focos vão estar aqui e aqui e os comprimentos focais vão estar na vertical abaixo da origem e na vertical acima da origem em vez de ser a ao quadrado - b ao quadrado já que agora bem é maior do que a o comprimento focal será igual à b ao quadrado - a ao quadrado muito bem fiz tudo isso pra comparar com o queremos cobrir nesse vídeo que são os pontos focais ou os focos de uma hipérbole e uma hipérbole é muito parecida com uma elipse eu acho que já perceberam porque se esta equação de uma elipse esta é a equação de uma hipérbole x ao quadrado sobre a all quadra adu - y ao quadrado sobre de ao quadrado é igual a 1 o dá pra trocar esses dois onde o sinal de menos estar à frente do x em vez do y e veremos viajar mas essa hipérbole se parece com algo assim vamos tentar desenhar a se desenhar os eixos e depois assim todas na para comprovar e poderiam assistir a alguns vídeos anteriores mas assim todas pra esta hipérbole serão y é igual a mais ou menos b sobre a vezes x e elas terão este formato ou desenhadas como linhas inclinadas serão mais ou menos assim não eu quero que elas fiquem assim resta são assim mas essa entrada na origem porque não foi movida elas são essas duas linhas e é o que eu chamo de um tipo de e pérola e horizontal a maneira como podem pensar nisso é bom se resolverem o y verão que sempre está um pouco abaixo da acim total a outra opção seria falar tá x ou y pode ser igual a zero simpson foi igual a zero nos coloca ao longo do eixo x e obtemos x ao quadrado sobre ao quadrado é igual a um que significa que x ao quadrado é igual a ao quadrado que significa que shcepp igual a mais ou menos a então o ponto a 0 e o ponto - a 0 estão nesta hipérbole e como eles têm que estar contidos por essas assim todas e não podem ultrapassá las dá pra saber que isso será uma hipérbole aberta para a esquerda e para a direita então ela terá mais ou menos esse formato vou usar outra cor ela terá esse formato é a parte difícil que vai ficar cada vez mais próxima desse lado e pode ver como um dos vértices da hipérbole e e vai seguir assim onde a distância observe a similaridade aqui com a elipse eu vou usar uma cor mais vibrante essa distância entre esses dois talvez dê pra chamar de cotovelos das duas elipses essa distância é a e essa também é então tem uma distância de 2 aqui é muito similar a essa situação onde a distância é a essa distância a distância entre os dois pontos a esquerda ea direita em uma elipse horizontal é a mesma que a distância entre os dois pontos a esquerda ea direita em uma hipérbole a única diferença é que a hipérbole abre pra fora enquanto a elipse abre pra dentro mas o objetivo desse vídeo falar sobre os focos e vocês já podem ter adivinhado mencionei no último vídeo que perde eles também têm focos mas eles são abertos eles estarão à direita e à esquerda desses dois pontos então isso é um vou desenhar com uma cor clara porque eu quero que vejam digamos que são os dois focos e uma hipérbole que é observe a diferença uma elipse uma das definições de uma elipse era que a soma da distância de cada um desses pontos para os dois focos é uma constante agora uma das definições de uma hipérbole é que pode ser um lugar geométrico de todos os pontos onde média a diferença não a soma que você mede a diferença das distâncias entre os dois focos então se eu vou escrever isto é de 11 de um isto é de 2 que tem uma situação ea gente poderia pegar o valor absoluto da diferença porque eles podem em alguns pontos ser de 1 que será mais comprido do que de dois estiverem nesta curva se estiverem nesta curva de um será mais curto do que de dois então de um menos de 2 é o valor absoluto que será igual à constante na situação da elipse de um mas de dois eram uma constante elas são muito parecidas na elipse pegam a soma das distâncias aos pontos o cais e dizem que ela é uma constante em uma hipérbole pegam a diferença das distâncias para os pontos focais e dizem que ela é uma constante esse número aqui será exatamente a mesma coisa do que se pegasse um ponto aqui estou pegando esses pontos aleatoriamente desde que eles estejam mais perto dele e eu chamasse esses dois pontos de de três e de quatro a diferença entre 1 e 2 será a mesma coisa que a diferença entre de três e de 4 e vai ser uma constante ao longo de todo o caminho ao redor da hipérbole a próxima questão é essa constante será igual aqui e é aqui que é útil encontrar um ponto onde pode usar a intuição e fizemos com as elipses onde dissemos que se a gente me disse esses pontos usaríamos a lógica no último vídeo pra dizer a a soma da distância entre esse e se esta soma será igual a 2 a 1 ou à distância do eixo cm maior como essa distância era igual a essa distância então isto mas isto é a mesma coisa que isto mas aquilo que é dois a todo o tempo os conteúdos a a soma das distâncias para os dois focos é igual a 2 a 1 agora na hipérbole qual é a diferença das distâncias para os dois focos vamos pegar esse ponto aqui na hiper bulli ea pergunta é qual é a distância em rosa essa é a distância para aquele foco - - esta essa distância em azul essa distância em rosa - essa distância em azul claro dá pra usar um argumento muito similar àquele que usamos no caso da elipse essa distância azul claro é a mesma a distância desse vértice ou do ponto a extrema esquerda dessa hipérbole que se abre para a direita pra este foco é igual a essa distância porque uma hipérbole assimétrica ao redor da origem ou a distância focal é a mesma nos dois lados do centro da hipérbole dependendo de como visualizar mas acho que não é exagerado afirmar isso assim se essa distância é a mesma que essa distância então a distância em rosa - essa distância em azul será igual a essa distância em verde e essa distância em verde é o que é dois a gente viu isso no início do vídeo então mais uma vez também é igual a 2 a 1 vou deixar vocês com isso por enquanto não na verdade eu vou fazer um exercício porque eu quero que fique mais concreto porque eu disse no início que se quisessem encontrar a rã se tiverem uma elipse x ao quadrado sobre ao quadrado mais y ao quadrado sobre b ao quadrado é igual a 1 a gente aprende que está sobre b ao quadrado e é uma elipse aprendemos que o comprimento focal é igual a raiz quadrada de ao quadrado - bem ao quadrado agora no caso de uma hipérbole vem que há uma relação muito próxima entre a elipse a hipérbole mas é uma coisa divertida para se refletir ea equação de uma hipérbole se parece com x ao quadrado sobre ao quadrado - y ao quadrado sobre b ao quadrado ela poderia ser isso ao quadrado sobre bell quadrado - x ao quadrado sobre ao quadrado é igual a 1 veremos então que esse problema matemático é um pouco complicado porque o comprimento focal de uma hipérbole é igual a raiz quadrada da soma desses dois números e é igual à soma de ao quadrado mais bem ao quadrado se eu pudesse pra vocês vejam a diferença é apenas uma diferença no final estão pegando a diferença desses dois denominadores e agora estão pegando a soma dos dois denominadores então se eu desse a seguinte hipérbole x ao quadrado sobre nove mais y ao quadrado sobre 16 é igual a 1 a primeira coisa descobrir o comprimento focal apenas usando a fórmula o comprimento focal é igual a raiz quadrada de a ao quadrado mais belo quadro o que é ao quadrado certo a é 3d e 49 mais 16 são 25 que é igual a 5 e se marcassem um gráfico este é meu eixo y meu eixo x ea distância focal é a distância para a esquerda e direita da origem se ela fosse um tipo de hipérbole que se abre pra cima e pra baixo estaria acima e abaixo da origem então essa é uma a desculpa deveria ser um sinal de mais estamos fazendo como hipérbole disso deve ser um - eu não quero confundir vocês o que escrevi antes com mais teria sido uma elipse 1 - ea hipérbole assim as duas assim todas serão 16 sobre 9 e serão assim todas bem inclinadas porque vão ter esse formato os dois pontos diverte-se estão em 2 vezes a onde a e3 certo ao quadrado é igual a 9 b ao quadrado é igual a 16 então este é o centro e assim os dois pontos do vértice este a 3 - 3 depois os pontos focais estarão do centro 5 para a direita serão esses pontos são cinco e zero e menos 50 este é menos três e este a 3 então se fosse marcado um gráfico teria mais ou menos esse formato pronto e se pegasse um ponto aleatório nesta hipérbole e medicina essa distância e subtrair se desta seria um número constante que seria exatamente igual a 2 a 1 ou exatamente igual a 6 neste exemplo específico de qualquer modo espera não ter confundido muito com esse pequeno erro no final quase no fim do vídeo mas no próximo eu provo esta fórmula que é uma álgebra um pouquinho complicada mas muito divertida