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Focos de uma elipse a partir da equação

Transcrição de vídeo

digamos que tem uma equação de elipse x ao quadrado sobre ao quadrado mas y ao quadrado sobre b ao quadrado é igual a 1 no caso dessa discussão vamos considerar que há é maior do que b significa uma elipse curta e grossa o que o semi-eixo maior ou eixo maior será ao longo da horizontal e o eixo menor é ao longo da vertical vamos desenhar esta elipse eu quero desenhar uma elipse mais grossa digamos que esta ml psi e vou desenhar os eixos ok é este é o horizontal e aqui o vertical e já estudamos a elipse em todos os seus detalhes a gente sabe como determinar o ceme raio menor que neste caso é b esse é o mesmo beale e isso é só um semi raio menor porque b é menor do que a sb fosse maior seria o raio maior é claro o raio maior é a aes a distância é isso aqui agora outra propriedade superinteressante de uma elipse é que se pegar qualquer ponto no elipse e medir a distância desse ponto medir a distância desse ponto até dois pontos especiais que vamos chamar de foco esses dois pontos estarão sempre ao longo do eixo maior neste caso é o eixo horizontal e são simétricos em volta do centro da elipse vamos nomear estes pontos de f 1 f 1 e este de f2 fd foco a propriedade superinteressante fascinante de uma elipse é freqüentemente usada como a definição de uma elipse que se pode pegar qualquer ponto nesta elipse e medir a sua distância para cada um desses dois pontos digamos que tenho essa distância e vamos chamar essa distância de de um tenho essa distância estou pegando qualquer ponto nessa elipse ou esse ponto específico e medindo a distância a cada um desses dois focos isso é de 2 vamos fazer uma cor diferente este é de 2 que é toda esta reta aqui de 2 não é o marcelo d2 enchente quando determinar essas duas distâncias você soma esse de 2 mas de um será uma constante que na verdade será igual a 2 a 1 mas acontece que é verdadeiro em qualquer parte da elipse vou esclarecer esse ponto melhor provar que essa distância constante na verdade é 2 a 1 onde este a é igual a esse a só para ter certeza de que entendeu vou pegar outro ponto arbitrariamente nesta elipse vamos pegar esse aqui e se medir a distância desse ponto para esse foco essa distância vai ser chamada de de 3 de 3 depois de medir a distância deste ponto pra esse foco vamos chamar de de 4 de 4 se somar essas duas distâncias ainda será igual a 2 a 1 deixou escrever de três mais de 4 ainda vai ser igual a 2 a 1 isso é legal e na verdade é freqüentemente usado como a definição de uma elipse onde dizem que a elipse é o conjunto de todos os pontos ou às vezes usam o nome geométrico que é um tipo de representação gráfica do conjunto de todos os pontos que a soma das distâncias de cada um desses focos é igual a uma constante e vamos brincar com isso um pouco e ver como determinados focos de uma elipse mas a primeira coisa que tem que fazer é se sentir satisfeito de que a distância se for verdadeira é igual a 2 a 1 é a forma mais fácil de determinar a escolha destes pontos extremos longo do eixo x já dissemos que a distância daqui até aqui vou desenhar em outra cor que esta distância mais esta distância será igual a um número constante e usando esse ponto extremo vou demonstrar que esse número constante é igual a 2 a 1 vamos determinar como fazer isso uma coisa para se levar em conta é que esses dois focos são simétricos em torno da origem qualquer que seja esta distância vai ser igual a essa distância porque esses dois pontos são simétricos em torno da origem esta é a mesma distância que esta e claro que tenho que a gente quer que é determinar a soma dessa distância e essa distância mais longa o que é a soma disso mas essa distância verde é igual a isso então mais o verde chamo de distância g só para dizer que vamos chamar esse de gee e esse dh agora se este rg e cnh também sabemos que é g porque tudo é simétrico quanto é gemas h é a mesma coisa que jamais h que é o todo o diâmetro maior desta elipse que é quanto a gente sabe que um raio maior ea e esse comprimento também a à distância ou a soma da distância deste ponto da elipse até este foco mais esse ponto na elipse até aquele foco é igual a g mas h ou essa grande parte verde que é a mesma coisa que o diâmetro maior desta elipse que é a mesma coisa aqui 2 a 1 espero que seja suficiente pra você agora o próximo passo já que entendemos é como determinamos onde estão esses focos ou se tem essa equação e como dá pra determinar o que são esses dois pontos a primeira coisa a se ter em mente é que não importa para onde vamos foi fácil fazer com esses pontos mas mesmo se pegar este ponto e disser ok qual é essa distância e depois somamos aquela distância isso também deveria ser igual a 2 a 1 e dá pra usar essa informação para determinar onde estão os focos digamos que tenho vou desenhar mais uma não quero desenhar um círculo essa é a minha elipse ea gente quer desenhar os eixos para que fique claro vou escrever a equação de novo só pra não perder x ao quadrado sobre ao quadrado mais y ao quadrado sobre b ao quadrado é igual a 1 vamos pegar esse ponto esses pontos extremos sempre são úteis quando está tentando provar alguma coisa então eles podem ser não quero dizer sempre né agora dissemos que tem esses dois focos que são simétricos em torno do centro da elipse e isto f1 e isso f2 e já dissemos que uma elipse é o lugar geométrico de todos os pontos ou o conjunto de todos os pontos que se pegar a distância de cada um desses pontos até os focos e somar terá um número constante e determinamos que esse número constante a 2a então determinamos que se pegar essa distância e somar a essa distância ela será igual a 2 a 1 dá pra falar que se chamar isso de de de um de dois sabemos que deu mais de dois é igual a 2 a 1 o que é interessante é que tudo é simétrico certo esse comprimento será igual à de um será igual à de dois porque tudo que estamos fazendo é simétrico esses dois cumprimentos focais são simétricos essa distância é a mesma distância que essa distância aqui de 1 e 2 têm que ser iguais não tem como esse é o ponto central exato da elipse a elipse é simétrica em torno do eixo y se de um é igual à de dois isso é igual a 2 a 1 sabemos que tem que ser igual a isso tem que ser igual a acho que estamos progredindo ea outra coisa que precisamos considerar e já fizemos isso quando desenhamos a outra elipse é o seguinte qual essa distância essa distância é o semi raio menor já sabemos que é b é claro que é o comprimento focal que estamos tentando determinar isso já deveria ter aparecido na sua cabeça como um problema de teorema de pitágoras então tem o comprimento focal e dá pra fazer nesse triângulo ou nesse triângulo eu vou fazer nesse esse comprimento local f&f ao quadrado mais bem ao quadrado será igual à hipotenusa ao quadrado que nesse caso é de 2 ou a que é igual a ao quadrado e agora tem uma bela equação em termos de beá sabemos o que são b ea da equação que nos foi dada essa elipse então vamos calcular o comprimento focal o comprimento focal efe ao quadrado é igual a ao quadrado - b ao quadrado é fiel cumprimento focal que será igual a raiz quadrada de ao quadrado - bem ao quadrado muito legal e simples é uma forma intuitiva de pensar então simplesmente você pega a diferença desses dois números quaisquer que sejam o maior ou menor e subtrai do outro você tira a raiz quadrada e essa é a distância focal agora vamos ver se pode usar para aplicar em alguns problemas reais onde podem te pedir termine o comprimento focal ou determine as coordenadas dos focos digamos que eu tenha a equação x - 1 ao quadrado sobre nove mas y mais dois ao quadrado sobre quatro que é igual a 1 primeiro vamos fazer o gráfico porque pode ser interessante vou desenhar os eixos esse é o eixo x esse é o eixo y e imediatamente a gente ver onde é o centro disso o centro será no ponto 1 e menos dois esse é confuso talvez queira rever alguns dos vídeos anteriores o centro está em 1 x é igual a um y é igual a menos dois esse centro e o eixo maior o eixo x porque é maior e b ao quadrado é desculpa ao quadrado é igual a nove e os m raio menor será igual a 3 então um dois três aí você tem 123 123 123 123 você vai aqui mais ou menos e na direção y um semi raio menor é 2 a raiz quadrada disso então be é igual a 2 sobe 2 e depois desce 2 essa elipse vai ficar mais ou menos pegar uma cor boa vai ficar mais ou menos assim e o que queremos é determinar as coordenadas dos pontos focais os pontos focais vão estar ao longo do semi-eixo maior e precisamos determinar essas distâncias focais daí basicamente é preciso somar e subtrair do centro pra ter as coordenadas o que acabamos de mostrar ou espero ter mostrado é que o comprimento focal essa distância efe é igual a raiz quadrada da diferença entre esses dois números tá é a raiz quadrada de 9 -4 o comprimento focal é igual a raiz quadrada de 5 se esse ponto é o ponto que já demonstramos que esse ponto é o centro da elipse é o ponto 1 e -2 a coordenada deste foco será em um mais a raiz quadrada de 5 e menos dois ea coordenada deste foco será menos a raiz quadrada de 5 e menos dois eu só peguei o comprimento focal e subtraiu uma vez que estamos ao longo do eixo maior ou eixo x ós homens subtraiu da coordenada x para chegar a essas duas coordenadas isso é legal sobre as crônicas porque elas têm essas propriedades interessantes em relação a esses focos ou em relação a esses pontos focais e nos próximos vídeos eu vou vários focos de uma hipérbole o foco de uma parábola mas realmente isso aqui tá começando a mostrar o que faz as crônicas serem legais até agora mostramos a mecânica de fazer gráficos e determinar os centros das crônicas mas estamos entrando um pouco na parte de matemática interessante das crônicas bom é isso a gente se vê no próximo vídeo fui