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Equação de uma parábola a partir do foco e da diretriz

Transcrição de vídeo

RKA - Isso aqui que você vê desenhado em amarelo é uma parábola. E, como nós já vimos em vídeos anteriores, uma parábola pode ser entendida como um conjunto de pontos que é equidistante de um ponto e de uma reta. Esse ponto aqui, então, ele é chamado de foco da parábola e a reta é chamada de diretriz da parábola. E o que eu quero fazer nesse vídeo aqui é um pouquinho de álgebra cabeluda, mas usando a definição aí que eu acabei de dar de parábola, e sabendo desses pontos aqui do foco, onde o "y = b", o "x = a", e essa reta diretriz aqui, "y", é igual a um "k" qualquer, tentar descobrir qual é a equação que determina essa parábola aqui; através, então, do seu foco e da sua reta diretriz. E essa equação, então, ela vai estar baseada em "a", "b" e "k". Olha aí. Vamos fazer isso então. Então, vamos pegar um ponto arbitrário aqui nesta parábola, digamos esse ponto aqui que tem coordenadas (x, y). E, de acordo com a definição que nós demos para que esse ponto aqui esteja em cima da parábola, ele tem que ser equidistante desse ponto e dessa reta diretriz aqui. Isso significa que essa distância aqui até essa reta diretriz que está em azul é exatamente igual a mesma distância que vou fazer aqui nessa cor em magenta aqui. Tem a mesma distância, beleza? E, como você sabe, para traçar a distância de um ponto até uma reta, eu traço aqui um segmento que é perpendicular a essa reta, em relação a esse segmento aqui que eu desenhei. E aqui, depois, para calcular essa distância desse ponto para esse aqui, eu vou usar aquela fórmula da distância que nada mais é que o teorema de Pitágoras. E qual vai ser o valor dessa distância aqui em azul? Essas distâncias são iguais. Então, vamos lá. Essa distância em azul vai ser igual a esse valor "y" aqui menos esse valor "k" ("y - k"). Portanto, eu posso escrever aqui em cima: "y - k". Só tome cuidado porque da maneira que eu desenhei aqui, o "y" ele é maior que o "k", então, se eu fizer "y - k" eu vou ter um valor positivo aqui. Porém, eu poderia muito bem desenhar essa parábola aqui com cavidade para baixo e, aí, eu ter, por exemplo, o "y" menor que o "k". Então, eu teria que tirar o módulo desse valor aqui, certo? Para ter um valor positivo; distância é sempre um valor positivo. Mas eu posso também encarar esse problema da seguinte maneira: nada mais é que elevar isso aqui ao quadrado e extrair ao mesmo tempo a raiz quadrada. Isso daqui é a definição de módulo, é a mesma coisa que tirar o módulo desse número. Então, isso daqui vai ter que ser igual, como você já sabe, eu acabei de falar, esse ponto (x, y) aqui para que esteja em cima da parábola, a distância desse ponto para até esse foco aqui tem que ser exatamente a mesma dessa distância que nós colocamos aqui, certo? E aí, para calcular essa distância, agora, desse ponto até esse outro ponto aqui, eu uso aquela fórmula da distância que basicamente é o teorema de Pitágoras, ou seja, é a minha variação aqui no eixo do "x", ou seja, "x - a" (então, "x - a"), isso tudo elevado ao quadrado, mais a variação ali no "y", que vai ser, então, "y - b". Então, "(y - b)²". E, aí, a raiz quadrada de tudo isso aqui, beleza? E isso aqui que nós acabamos de fazer é a equação de uma parábola. Parece meio estranho, mas é, sim, a equação de uma parábola. E para a gente ver isso daqui melhor, é bom que a gente faça umas simplificações. E se você estiver inspirado, eu sugiro que você pause o vídeo e você tente fazer as simplificações. A gente vai usar aqui, como eu falei, uma álgebra meio cabeluda, mas nada não é nada demais. É só você fazer que você vai ver que vai dar certo. O que eu quero achar aqui é a equação da parábola de maneira que eu tenha aqui um foco genérico e também uma reta diretriz genérica. Vamos lá, então. Vamos simplificar isso daqui. E a maneira mais simples de a gente começar a simplificar isso é elevar ambos os lados da equação ao quadrado. Então, o quadrado vai simplificar com a raiz e eu vou ter aqui "(y - k)²", certo? E lá do outro lado eu vou ver o quê? Vou cancelar a raiz com o quadrado e eu vou ter "(x - a)² + (y - b)²". Agora, o meu objetivo aqui é ter "y" de um lado e do outro lado deixar o "x", o "a", o "b" e o "k", né? E para fazer isso, então, eu vou expandir cada uma dessas expressões aqui. E esse quadrado da diferença aqui em azul vai ser a mesma coisa que "y² - 2yk + k²", certo? E isso vai ser igual, então, a esse outro lado aqui. Essa primeira eu vou deixar como está, não vou precisar expandi-la neste momento, não. Aqui, eu vou expandir só essa então. Então, eu vou repeti:r "(x - a)²" mais... agora, eu vou expandir esse outro quadrado da diferença aqui. Então, eu vou ter "y²" (vai estar tudo em verde essa parte que eu estou expandindo) menos "2yb" mais o "b²". Vamos ver se a gente consegue simplificar alguma coisa aqui. Perceba que eu tenho "y²" de um lado, "y²" do outro; então, se eu subtrair em ambos os lados por "y²", eu simplifico esses dois termos. E, agora, eu posso subtrair "k²" também de um lado, subtraio "k²" do outro, dessa maneira eu consigo simplificar esse "k²" aqui. E também eu vou pegar, eu vou somar "2yb" em ambos os lados para que eu tenha todos os "y" do lado esquerdo. Então, mais "2yb" aqui. Agora, como eu estou ficando com pouco espaço aqui, eu vou colocar a continuação ali do lado, tá? Então, vamos lá. O que eu vou ter aqui então? Quando eu simplificar isso daqui, vai me sobrar só o quê? Vai me sobrar "-2yk + 2yb". Então, posso escrever isso daqui assim: "2yb - 2yk". Só que você percebe que eu consigo colocar o "2y" em evidência, são fatores em comum aqui. Então, vamos lá. Vamos fazer isso. Vou colocar o "2y" em evidência, mas vou colocar dessa maneira aqui: "2(b - k)y", certo? Eu posso fazer muito bem isso daqui. E, portanto, essa parte aqui que eu fiz é exatamente essa parte aqui, certo? Isso daqui eu já simplifiquei. Então, beleza. E lá do lado direito da igualdade? O que eu vou ter então? Olha só. Ora, eu vou ter o "(x - a)²" ali. Então, vamos reescrever aquilo ali: "(x - a)²". Esse termo aqui simplificou, e eu vou ter o quê? "b² - k²". Portanto, isso aqui eu vou reescrever aqui: "+ b² - k²". E, bom, como eu quero apenas o "y" ali do lado esquerdo, eu vou dividir tudo aqui por "2(b - k)". Então, divido tudo por "2(b - k)" aqui. E também divido aqui desse lado. Vou ter, então, isso aqui dividido por "2(b - k)". E isso aqui também eu divido por "2(b - k)". Assim, desse jeito. Então, aqui desse lado simplifica, eu fico apenas com "y", né? Então, aqui, eu vou ter o "y" igual a quanto? Aqui eu posso colocar 1, aqui é como se tivesse multiplicando por 1, né? Então, vou colocar assim: 1 sobre "2(b - k)", que vai multiplicar aquilo ali ainda, "(x - a)²". Então, "(x - a)²". E, agora, basta você se lembrar que esse "b - k" vai ser exatamente a diferença entre esse valor de "b" e esse valor de "k" aqui. Então, vai dar a distância desse ponto aqui do foco até essa reta diretriz, passando exatamente aqui pelo vértice da parábola. Então, só continuando. Acabei apagando o quadrado aqui, então vai estar elevado ao quadrado, né? E, se você souber o que é o "b" e o que é o "k", você vai ter apenas um valor constante aqui na frente, isso aqui vai ser um número, né? E, aí, você vai ter, então, "(x - a)²" multiplicado por um número. E, então, isso aqui está começando a parecer com aquela parábola que você se lembra lá da tua época de escola. É ou não é? Se é que por algum motivo você se lembra de parábolas lá da tua infância, né? Mas, vamos lá. Agora, repare. Aqui eu posso também simplificar, eu posso simplificar esse "b² - k²" com esse "b - k" aqui, porque "b² - k²" é uma diferença de quadrados. Ou seja, isso é a mesma coisa que "(b + k)(b - k)". Então, eu posso simplificar esse "b - k" aqui. Vai me sobrar o quê? O "b + k", certo? Então, eu posso colocar aqui... rufem os tambores agora. Olha só... Então, vou ter metade (1/2) que multiplica o quê? "b + k". Olha aí. Então, "b + k" aqui. E, aí, nós finalizamos. Olha aí. Então, dado um ponto, que é o nosso vértice ali, e essa reta diretriz, eu consegui deduzir a fórmula, a equação dessa parábola. Está aqui. Essa é a equação da nossa parábola. Então, dessa maneira aqui, por exemplo, o que a gente poderia fazer com isso daqui? Vamos lá. Se eu tivesse aqui, digamos, um foco no ponto, digamos, (1, 2), e uma reta diretriz aqui... uma equação, digamos, "y = -1", qual seria a equação da parábola que seria formada aqui, no caso, dos pontos equidistantes desse ponto aqui em relação a essa reta diretriz aqui? Vamos lá. Bem, a equação seria "y" igual a 1 sobre "2(b - k)". O "b" é 2, o "k" é "-1", então "2 - (-1)". Esse "menos" com esse "menos" vai dar "mais". Então, vou ter "2 + 1", que vai dar 3. Então, 2 vezes 3 aqui, tudo isso aqui multiplicando "(x - a)²". Nesse caso, o nosso "a" vale 1. Então, vou ter aqui "(x - 1)²", somado, ainda, com 1 sobre "2(b + k)". O nosso "b" vale 2, o nosso "k" vale "-1". Então, eu vou ter "2 + (-1)", ou seja, "2 - 1", que dá exatamente igual a 1, né? Então, 1 sobre "2(1)". Está aqui então. Beleza. Então, o que isso daqui vai simplificar? Ora, isso aqui vai ser "y" igual a 1/6 (né? 2 vezes 3 dá 6)... "(x - 1)²" ("x" menos 1 elevado ao quadrado)... mais 1 sobre "2(1)" é o próprio 1/2. Então, aqui, nós finalizamos. Essa é a equação da parábola que tem como foco o ponto (1, 2) e a diretriz a reta "y = -1". Espero que você tenha gostado. Até o próximo vídeo.