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Foco e diretriz de uma parábola a partir da equação

Transcrição de vídeo

RKA - Isso aqui é a equação de uma parábola, e o objetivo desse vídeo é descobrir um método alternativo de descobrir o foco e a diretriz da parábola, através dessa equação aqui. E a primeira coisa que vou fazer, é jogar esse menos 23/4 para o outro lado, porque o meu cérebro funciona melhor desse jeito. Então, vai ficar "y" igual, vou somar ambos os lados por 23/4, menos 1/3 aqui, que multiplica (x - 1)², mais 23 sobre 4. E agora, vamos relembrar o que nós já sabemos sobre foco e diretrizes da parábola. Então, digamos que o foco está no ponto (a, b) e a diretriz é a reta y = k. Nós mostramos no vídeo anterior, que a equação dessa parábola, sabendo o foco e a diretriz, é "y" igual a 1 sobre 2 que multiplica (b - k), esse (b - k) é a diferença desse "b" com esse "k" aqui, né? Tudo isso aqui multiplicado por (x - a)², mais (b + k) sobre 2. Então, se o foco da parábola é esse ponto (a, b), e a reta diretriz é y = k, nós temos essa equação para a nossa parábola. E como a gente pode analisar através dessas duas equações ali, aquele (x - 1)² dessa equação aqui, corresponde a esse (x - a)² dessa equação aqui, certo? E da mesma forma, aquele 1 dessa equação aqui, corresponde a esse "a" aqui, né? E daqui a gente já vê, que esse "a" é igual a 1. Está aqui o valor do "a", beleza? Aqui é a equação, está ali o valor do "a". Continuando, a gente consegue perceber também, que esse valor -1/3 vai corresponder a que? Vai corresponder a esse daqui, 1 sobre 2 que multiplica (b - k). E pra finalizar, esse 23/4 aqui, corresponde a (b + k) sobre 2. A técnica mais comum para resolver isso daqui, seria fazer o que? Seria fazer 1 sobre 2 que multiplica (b - k) = -1/3, e eu não acharia o valor nem de "b", nem de "k", mas sim de (b - k), certo? Da expressão toda aqui. E também igualar 23/4 = (b + k) sobre 2. Mas o que eu quero fazer nesse vídeo aqui, é explorar um método alternativo para achar isso daí, utilizando o nosso conhecimento, que a gente já tem agora sobre o foco e a diretriz dessa parábola. E agora, qual será o vértice, por exemplo, daquela parábola ali? Você se lembra? Se a nossa parábola tiver concavidade pra cima, o nosso vértice vai ser esse ponto mínimo aqui, inferior na parábola, o menor dos pontos, e se a nossa parábola tiver concavidade para baixo, o nosso vértice vai ser esse ponto superior aqui. E aí, quando você olha para essa equação aqui, você percebe que nós temos um -1/3 em frente a esse termo que tem o "x²", né? E portanto, esse termo aqui ou vai ser zero ou vai ser negativo. E portanto, essa equação aqui vai assumir o seu valor máximo, quando isso daqui tudo for zero, que aí eu vou somar com 23/4, e vai ter o valor máximo dali. E portanto, quando tudo isso aqui é zero, o "y" vai ser 23/4, então isso vai ser o ponto máximo da parábola, depois a parábola vai só decrescer. Portanto, eu posso escrever aqui que as coordenadas do meu vértice, será aqui, para qual valor de "x" essa expressão dá igual a zero? Para quando "x" é igual a 1, porque 1 menos 1 vai dar zero, zero ao quadrado é zero, zero vezes -1/3 vai dar zero. Então, aqui eu vou ter o vértice com coordenadas 1 para o "x", e 23/4 para o "y", que é a mesma coisa que 5 3/4, mas vou deixar desse jeito aqui mesmo. Essa parábola aqui eu já sei que ela tem concavidade para baixo, então vou começar aqui a desenhar mais ou menos, como vai ficar isso aí, né? Então, eu sei que essa parábola vai atingir o valor máximo ali no 5 3/4, então vou fazer aqui, deixando o "y" um pouco grande, e aqui então vai estar o nosso eixo do "x". Aqui está o zero, vamos chamar aqui de 1, aqui de 2, e aqui eu quero o seguinte: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Vou colocar o número aqui. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Então, esse nosso vértice vai estar exatamente onde? Esse vértice aqui, (1, 23/4), vai estar o que? 1 para "x", 23/4 para "y", mais ou menos aqui assim, mais próximo dos 6 ali, mais ou menos por aqui, né? Porque é 5 3/4, olha aí. Beleza. E aí, como a gente já sabe, esse valor aqui por ser negativo, vai nos dar que essa parábola aqui tem concavidade voltada para baixo, então, a aparência da parábola vai ser mais ou menos assim, né? Mais ou menos assim. Mas eu na verdade aqui, vou desenhar só uma parte da parábola, porque ainda não tenho informação suficiente para saber como ela se parece. Então vou apenas desenhar aqui uma parte dela assim, mais ou menos isso aqui. Sei que ela tem concavidade para baixo, vamos lá. Das nossas experiências anteriores com os focos, a gente sabe que ele vai ter o mesmo "x" aqui do vértice, aqui olha, o mesmo "x" do vértice. Então digamos que o nosso foco esteja mais ou menos por aqui assim. E aí, aquela nossa reta diretriz vai ter a mesma distância desse ponto do vértice aqui, em relação a esse foco, e vai ter a mesma distância desse ponto do vértice, em relação à reta diretriz. Então, vou desenhar essa reta diretriz aqui assim. Lembrando que não tem informação suficiente ainda sobre essa reta diretriz. É só um esboço para a gente ver mais ou menos como funciona. Mas o que eu sei, é que esse ponto aqui na parábola, por definição, ele tem que ser equidistante desse ponto aqui no foco e também para essa reta aqui, mas o que eu sei, é que esse ponto aqui na parábola, no ponto vértice, ele tem que ser equidistante desse ponto do foco e desse ponto aqui na reta diretriz. Logo, eu posso dizer que essa distância aqui é exatamente a mesma que essa aqui. E aí você se lembra que aquele ponto ali do foco tem coordenadas (a, b), certo? E essa reta aqui é a reta y = k. E agora, será que consigo determinar essa distância aqui que está em amarelo? Essa variação no eixo do "y"? Ora, essa distância aqui vai ser exatamente o que? O "k" menos "b" ou módulo de "b" menos "k", então eu posso fazer "k" menos "b", ou eu posso tirar essa distância em módulo, módulo de "b" menos "k", que sempre vai funcionar. E aí, se eu souber essa distância aqui, eu tiro a metade desse valor, que vai estar bem aqui sobre esse ponto no vértice. E aí a metade vai funcionar, porque vou conseguir descobrir essa distância, e essa distância, pois elas juntas vão formar um inteiro, só que cada pedacinho desse daqui tem exatamente o mesmo comprimento. Está claro? E aí, é muito simples. A gente vai poder calcular quanto vale "b" menos "k". E repare aqui, "b" menos "k", então nós temos que esse termo aqui vai ser igual a -1/3, e aí, podemos fazer da seguinte maneira: podemos fazer 1, sobre 2 que multiplica (b - k), tudo isso igual a menos aquele -1/3 ali, né? Então -1/3, olha aí! Agora o que eu posso fazer é pegar o recíproco daquelas duas frações ali, então vai ficar 2 que multiplica (b - k), só inverti a fração, igual a -3. Agora posso dividir ali em ambos os lados, por 2, então vou ter aqui que (b - k) = -3/2. Portanto, consegui descobrir o valor de (b - k), e quando eu tirar o módulo disso daqui, vai dar um valor positivo, vai dar 3/2. Na mesma forma, se eu fizesse (k - b), eu teria também 3/2. Então só relembrando que nós fizemos, nós igualamos nesse valor aqui com -1/3, que são correspondentes, descobrimos o valor de (b - k), e aí descobrimos o valor desse módulo, que é 3/2, que vai ser exatamente essa distância aqui, entre o foco e a reta diretriz. Logo, eu posso dizer que essa distância aqui, vai ser 3/2. E aí, eu preciso calcular a metade desta distância, para poder descobrir então o valor dessa distância aqui, e dessa distância aqui. Então, eu saberei exatamente onde está o foco e onde está a reta diretriz, olha aí. Portanto, a metade de 3/2 vai ser igual então a 3/4. Agora eu sei que a reta diretriz vai estar 3/4 acima desse vértice. Eu posso dizer, então, que o vértice está aqui, né? Então eu posso dizer que o "y", aquela reta diretriz, vai ser igual a 23/4, que é exatamente esse ponto aqui do "y" do vértice, mais 3/4. Isso vai dar igual a quanto? A 26 sobre 4, olha aí. Eu ainda posso fazer essa divisão, 26 dividido por 4 vai dar 6,5, vai estar bem no meio entre o 6 e o 7, a gente conseguiu fazer a reta perfeitinha aqui na verdade, sem querer, mas está aí. Então, exatamente essa aqui vai ser a minha reta diretriz y = 6,5. E quanto à coordenada do foco? Ora, a gente já sabe quanto vale o "x" do foco, vale 1, esse mesmo "x" aqui do vértice. E o "y"? Ora, o "y" vai ser 3/4 a menos aqui, em relação à coordenada do vértice, ao "y" do vértice. Então, posso dizer que a coordenada do "y" vai ser 23/4 menos 3/4. E quanto dá isso? Dá exatamente 20/4, e 20 dividido por 4, eu posso simplificar simplesmente, é igual a 5. Está aí a coordenada do meu foco. E dessa forma, nós finalizamos, está aqui a coordenada do foco (1, 5). E a nossa reta diretriz que é y = 6,5. Até o próximo vídeo!