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Transcrição de vídeo

RKA - Vamos ver se conseguimos aprender algumas coisas sobre a hipérbole. E, de todas as seções cônicas, esta provavelmente é a que mais confunde porque ela não é tão fácil de desenhar como o círculo e a elipse. A gente precisa de um pouco mais de álgebra, mas espero que, ao longo desse vídeo, se familiarize mais e, daí, vão ver que as hipérboles, de alguma forma, são mais divertidas do que as outras seções cônicas. Só para lembrar: eu quero fazer apenas para que vejam a semelhança das fórmulas ou a forma padrão das diferentes seções cônicas. Se tiverem um círculo centrado em zero, sua equação será "x² + y² = R²". E vimos que também pode ser escrito como... (eu estou fazendo porque quero mostrar que é realmente a mesma coisa que a equação padrão para uma elipse)... se dividir os dois lados por "R²", obterão "(x²/R²) + (y²/R²) = 1". E isto é um círculo. E, mais uma vez, só para relembrar: um círculo... todos os pontos no círculo são equidistantes do centro ou, neste caso, poderiam dizer que o eixo maior e o eixo menor têm o mesmo comprimento, que não há nenhuma diferença entre os dois. A gente sempre tem uma distância igual do centro. Isso foi um círculo. Uma elipse é quase a mesma coisa, mas esses dois números podem ser diferentes porque sua distância do centro poderia mudar. A equação é "(x²/a²) + (y²/b²) = 1". Isto é uma elipse. Agora, vou deixar a parábola de lado porque ela é um caso interessante... e já viram um pouco sobre ela. Eu vou me aprofundar mais num próximo vídeo. Mas a fórmula da hipérbole é muito parecida com essa. Dá para escrever a equação de uma hipérbole de duas formas; e eu vou escrever as duas. Ela pode ser escrita como "(x²/a²) - (y²/b²) = 1". E observem que a única diferença entre esta equação e essa aqui é que, em vez de termos "+ y²", tem um "- y²". Seria uma hipérbole. A outra seria se o sinal de menos fosse inverso. Se a equação fosse "(y²/b²) - (x²/a²) = 1". Agora, o sinal de menos está na frente do termo "x²", em vez de na frente do termo "y²". O que eu quero fazer é tentar descobrir como fazer o gráfico dessas duas hipérboles. Talvez façamos as duas... e, em muitos livros, ou mesmo se pesquisarem na internet, obterão fórmulas, mas eu não gosto dessas fórmulas. Primeiro porque sempre me esqueço delas e irão se esquecer delas, na hora, depois de fazer a prova. Talvez queiram memorizar se quiserem fazer a prova um pouco mais rápido, mas vão se esquecer delas. E a segunda coisa é que não vão apenas se esquecer mas, provavelmente, também ficarão confusos porque, algumas vezes, eles sempre usam o "a" sob o "x" e o "b" sob o "y"... algumas vezes, sempre usam o "a" sob o termo positivo e o "b" sob o negativo... se apenas memorizarem "ai, 'a' dividido por 'b'... esta é a inclinação do coeficiente angular da assíntota e tudo mais...", talvez estejam usando o "a" e o "b" incorretos. Te aconselho a sempre fazer uma nova comprovação, e é justamente isso que vamos fazer aqui. Essas duas são hipérboles. É o que gosto de fazer sempre que tem uma hipérbole... é resolver o "y". Assim, nesse caso, se eu subtrair "x²/a²" dos dois lados, eu vou ter... vou obter "-y²/b²" e é igual a "1 - (x²/a²)". Depois, vamos ver que quero me livrar do sinal de menos e quero me livrar desse "b²". Vamos multiplicar os dois lados dessa equação por "-b²". Se multiplicarem o lado esquerdo por "-b²", o sinal de menos e o "b²" desaparecem e ficam apenas com "y²", que é igual a "-b²". E, depois, "-b²" vezes mais o número negativo, ficamos com "+ (b²/a²)x²". Estamos quase lá. Depois, tem "y" é igual a... estou fazendo de propósito mais ou menos a raiz quadrada, porque pode ser mais ou menos a raiz quadrada de... vou trocar esses de lugar para ter primeiro o termo positivo... "(b²/a²)‧x² - b²". E, aí, você diz: ah, era simples. Estou resolvendo isso que parece muito complicado, mas lembre-se que estamos fazendo para descobrir as assíntotas da hipérbole, apenas para mostrar aonde estamos indo. Vou fazer aqui... na verdade, eu quero fazer essa outra hipérbole. Uma hipérbole... se for o "x", esse é o eixo "y"... ela tem duas assíntotas, e as assíntotas são estas retas das quais a hipérbole vai se aproximar. Se essas forem as duas assíntotas, elas são sempre a inclinação negativa uma da outra. A gente sabe que a hipérbole será... e mostraremos em um segundo qual delas... esta será, mas ela terá esse formato, onde, à medida que nos aproximamos do infinito, nos aproximamos cada vez mais dessa reta e cada vez mais dessa reta. Aqui, ela vai ter esse formato. Ela se aproxima cada vez mais e mais de forma arbitrária da assíntota e vai ter esse formato onde ela se abre para a direita e para a esquerda; ou a nossa hipérbole vai se abrir para cima e para baixo. Mais uma vez, à medida que avançamos nas assíntotas, que significa que nos aproximaremos mais e mais de uma dessas retas sem nunca tocá-las. Vocês chegarão infinitamente próximos à medida que se afastarem infinitamente à medida que "x" aumenta infinitamente. Para descobrir qual é esta hipérbole, vamos pensar apenas no que acontece quando "x" fica infinitamente grande, conforme "x" se aproxima do infinito... assim, à medida que "x" se aproxima do infinito, ou "x" se aproxima do infinito negativo; eu diria mais ou menos infinito (tá?) Isso não importa porque quando tenho negativo, esse número é elevado ao quadrado. Esse número se torna imenso à medida que se aproximam do mais infinito ou do menos infinito. E aprenderão mais sobre quando eu falar sobre limites. O fato de que esse número fica imenso. Esse número é apenas uma constante, ele permanece igual. À medida que "x" se aproxima do infinito positivo ou negativo, conforme ele fica bem grande, "y" será aproximadamente igual... na verdade, acho que é congruente... sempre me esqueço da notação aproximadamente, que significa apenas não exatamente, mas aproximadamente igual a. Quando "x" se aproxima do infinito será aproximadamente igual a mais ou menos a raiz quadrada de "(b²/a²)‧x²". Dá para calcular a raiz quadrada. Vocês não podiam calcular a raiz quadrada disso algebricamente, mas disso podem. Isto é igual a "±(b/a)‧x", Basicamente, quais são as duas assíntotas? Onde o coeficiente angular de uma assíntota será "(b/a)‧x" e poderia nos dar "+(b/a)‧x" e a outra seria "-(b/a)‧x". Vou fazer com alguns exemplos para que fique mais claro, mas já sabemos como são as assíntotas. Elas são essas duas retas porque "+(b/a)x" é uma reta, "y = +(b/a)‧x". Vamos dizer que é essa aqui. Essa assíntota é "y = +(b/a)‧x"... (sei que não consegue ler isso)... depois, a assíntota com inclinação descendente poderia dizer que "y = -(b/a)‧x". Essas são as duas assíntotas, mas ainda tem que descobrir se a hipérbole se abre para a esquerda ou direita ou se ela se abre para cima ou para baixo. Tem duas formas de fazer isso. Esta é uma aproximação. Vocês se aproximam disso à medida que "x" se aproxima do infinito, mas vemos aqui que, mesmo quando "x" se aproxima do infinito, sempre teremos algo um pouco menor do que esse número, porque estamos subtraindo um número positivo disso. Estamos subtraindo um número positivo e depois estamos calculando a raiz quadrada de tudo. A gente vai um pouco abaixo da assíntota, especialmente quando estiver no quadrante positivo. Para mim, esse é o jeito que eu gosto de fazer. Acho que estamos, pelo menos, no quadrante positivo; tudo fica mais confuso quando vamos para os outros quadrantes. Sempre estaremos um pouco abaixo da assíntota. Vamos nos aproximar a partir de baixo e, como sabem, ela será assim e se aproximará desse jeito da assíntota. E como ela está se abrindo para a direita, também vai se abrir para a esquerda. A outra forma de testar (e talvez seja mais intuitiva) é descobrir se, na equação original, "x" ou "y" poderia ser igual a zero, porque, quando ela se abre para a direita e esquerda, nunca obtém "x = 0". Você obtém "y = 0" aqui e aqui, mas nunca obtém "x = 0". E, na verdade, seu professor pode querer que marquem esses pontos e apenas substitua "y = 0". Dá para olhar para a equação original. Na verdade, poderiam até olhar para essa equação aqui. "x" pode ser igual a zero? Se olharem para esta equação, se "x" for igual a zero, todo esse termo seria cancelado e restaria apenas "-b²". Estão pegando "b²" e colocam um sinal negativo na frente dele e este é um número negativo. Estamos calculando a raiz quadrada de um número negativo, não estamos lidando com números imaginários. Nunca poderão ter "x = 0", mas "y" poderia ser igual a zero, certo? Podem definir "y = 0" e poderiam resolver. Vamos fazer nesse caso. Se "y" for igual a zero, tem que zero é igual à raiz quadrada de "(b²/a²)‧x² - b²". Se calcular quadrado dos dois lados, "(b²/a²)‧x² - b² = 0" (sei que está bagunçado). A gente tem "(b²/a²)‧x² = b²" Acho que podemos dividir os dois lados por "b²" e obtemos 1 e 1. Depois, dá para multiplicar os dois lados por "a²". Obtemos que "x² = a²" e, depois, obtemos que "x" é igual a mais ou menos a raiz quadrada de "a²". Esse ponto é o ponto "0", e esse aqui é o ponto "-0". Vamos voltar, agora, para o outro problema. Tenho a impressão de que o nosso tempo está quase acabando. Observem que, quando o termo "x" era positivo, nossa hipérbole se abriu para a direita e para a esquerda. E, com base no raciocínio dedutivo, provavelmente já perceberam que, quando o termo "y" é positivo, (o que é o caso nessa hipérbole), que provavelmente vai se abrir para cima e para baixo. Vamos comprovar! Vamos resolver "y". "y²/b²". Vamos somar "x²/a²" dos dois lados; é igual a "x²/a² + 1". Multiplicamos os dois lados por "b²". "y² = (b²/a²)‧x² + b²" e a gente precisa distribuir o "b²". Vamos calcular agora a raiz quadrada. "y" é igual a mais ou menos a raiz quadrada de "(b²/a²)x² + b²". Mais uma vez, não tenho mais espaço. A gente pode argumentar da mesma forma que, à medida que "x" se aproxima do infinito positivo, ou negativo, esta equação, esse "b", esse pequeno termo constante aqui, não terá mais muita importância. Vamos apenas calcular a raiz quadrada desse termo, que é basicamente "(b/a)x"... "±(b/a)x". Mais uma vez, essas são as duas mesmas assíntotas que vou redesenhar essa reta e aquela reta. Mas, nesse caso, sempre estamos um pouco maiores do que as assíntotas. O quadrante positivo nos diz que iremos estar aqui em cima e lá embaixo. Outra maneira de pensar nesse caso, quando a hipérbole é uma hipérbole vertical, onde se abre para cima e para baixo, é que deve ser observado que "x" poderia ser igual a zero, mas "y" nunca poderia ser igual a zero. E também faz sentido. Porque, se olhar para a nossa fórmula original, "x" poderia ser igual a "0". Se "x" fosse zero, se cancelaria e poderiam resolver o "y". Mas, se "y" fosse igual a zero... e teriam "-x²/a² = 1. E teriam, se tivessem resolvido... e teriam "x² = -a²". Mas não estamos lidando com números imaginários, de forma que não podem elevar algo ao quadrado e obter um número negativo. Então, mais uma vez, seria impossível. Assim, esta é outra pista que nos diz que ela abre para cima e para baixo, porque, neste caso, "y" nunca poderia ser igual a zero. De qualquer forma, acho que ficaram um pouco confusos porque eu lidei com os "b" e "a" de forma abstrata. Nos próximos vídeos resolveremos alguns problemas onde iremos desenhar várias hipérboles, elipses e círculos com números de verdade. Fui!