Revisão do módulo e ângulo de números complexos

Revise seus conhecimentos sobre as características dos números complexos: módulo e ângulo. Converta entre eles e a representação retangular de um número.
Módulo de a+bia+bi
z=a2+b2\mid\!\! z\!\mid=\sqrt{a^2+b^2}
Ângulo de a+bia+bi
θ=tg1(ba)\theta=\operatorname{tg}^{-1}\left(\dfrac{b}{a}\right)
Forma retangular a partir do módulo rr e ângulo θ\theta
rcosθ+rsenθir\cos\theta+r\operatorname{sen}\theta i

O que são o módulo e o ângulo de números complexos?

Estamos acostumados a escrever números complexos na sua forma retangular, que nos dá suas partes reais\blueD{\text{reais}} e imaginriasaˊ\greenD{\text{imaginárias}}. Por exemplo, 3+4i\blueD3+\greenD4i.
Podemos colocar os números no plano complexo de acordo com suas partes:
Considerando graficamente, há outra maneira de descrever números complexos únicos — seu mdulooˊ\goldD{\text{módulo}} e aˆngulo\purpleC{\text{ângulo}}:
Valor absoluto\goldD{\text{Valor absoluto}}, ou mdulooˊ\goldD{\text{módulo}}, nos dá a distância do número até a origem no plano complexo, enquanto o aˆngulo\purpleC{\text{ângulo}}, ou argumento\purpleC{\text{argumento}}, é o ângulo que o número forma com o eixo real positivo.
O módulo de um número complexo zz é escrito da mesma forma que o módulo de um número real, z|z|.
Quer aprender mais sobre módulo e ângulo de números complexos? Confira este vídeo.

Prática 1: cálculo de módulos

Para calcular o módulo de um número complexo, tiramos a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes (esse é um resultado direto do teorema de Pitágoras):
a+bi=a2+b2|\blueD a+\greenD bi|=\sqrt{\blueD a^2+\greenD b^2}
Por exemplo, o módulo de 3+4i\blueD 3+\greenD4i é 32+42=25=5\sqrt{\blueD3^2+\greenD4^2}=\sqrt{25}=5.
Quer resolver outros problemas como esse? Confira este exercício.

Prática 2: cálculo de ângulos

Para calcular o ângulo de um número complexo, tiramos a tangente inversa da razão entre suas partes:
θ=tg1(ba)\theta=\operatorname{tg}^{-1}\left(\dfrac{\greenD b}{\blueD a}\right)
Isso resulta do uso de trigonometria no triângulo retângulo formado pelo número e o eixo real.

Exemplo 1: quadrante I\text{I}

Vamos calcular o ângulo de 3+4i\blueD3+\greenD4i:
tg1(43)53\operatorname{tg}^{-1}\left(\dfrac{\greenD4}{\blueD3}\right)\approx 53^\circ

Exemplo 2: quadrante II\text{II}

Vamos calcular o ângulo de 3+4i\blueD{-3}+\greenD4i. Primeiro, observe que 3+4i\blueD{-3}+\greenD4i está no quadrante II\text{II}.
tg1(43)53\operatorname{tg}^{-1}\left(\dfrac{\greenD4}{\blueD{-3}}\right)\approx -53^\circ
53-53^\circ está no quadrante IV\text{IV}, não no II\text{II}. Nós devemos somar 180180^\circ para obter o ângulo oposto:
53+180=127-53^\circ+180^\circ=127^\circ
Quer tentar mais problemas como esse? Confira este exercício.

Prática 3: forma retangular a partir do módulo e ângulo

Para encontrar as partes reais e imaginárias de números complexos a partir do seu valor absoluto e ângulo, multiplicamos o valor absoluto pelo seno ou cosseno do ângulo:
Isso resulta do uso de trigonometria no triângulo retângulo formado pelo número e o eixo real.
Por exemplo, essa é a forma retangular do número complexo cujo módulo é 2\goldD 2 e ângulo é 30\purpleC{30^\circ}:
2cos(30)+2sen(30)i=3+1i\goldD 2\cos(\purpleC{30^\circ})+\goldD 2\operatorname{sen}(\purpleC{30^\circ})i=\blueD{\sqrt 3}+\greenD1i
Quer tentar mais problemas como esse? Confira este exercício.
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