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Transcrição de vídeo

aprendemos sobre soma subtração e multiplicação de matriz então você deve pensar existe o equivalente a divisão de matriz antes de entrar nesse assunto vou apresentar alguns conceitos ea gente vai ver que tem alguma coisa que talvez não seja exatamente a divisão mas é análogo isso vou apresentar o conceito de matriz identidade vou denotar uma 13 identidade pela letra maiúscula l l quando multiplicou a matriz de identidade por outra matriz na verdade não sei se devo escrever esse ponto mas de qualquer forma quando multiplico por outra matriz obtenho como resultado essa outra matriz ou quando multiplica essa matriz vezes a matriz identidade obtenha essa matriz de novo e é importante perceber que quando estamos fazendo a multiplicação de matrizes a ordem importa muito eu já falei que não dá pra assumir quando faz multiplicação de matrizes que à vezes b é sempre igual a besa é importante considerar a ordem que faz a multiplicação se forem matrizes quadradas a multiplicação poderá ser feita de duas formas a por b e depurar por isso a ordem porta e você pode pensar em relação a como aprendemos a multiplicar matrizes mas de qualquer forma já referi essa matriz agora como essa matriz se parece na verdade é bastante simples se tiver uma matriz 2 por 2 a matriz identidade é 100 se quiser 3 por 31 10 100 1000 11 e acho que ver o modelo se quiser 14 por 4 a matriz identidade é o 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 para uma dada a dimensão quero dizer que dá pra estender essa regra matriz n por n porque você só tem um o zoom na diagonal principal que começa à esquerda de cima para baixo e vai andando uma coluna conforme desce uma linha para a direita observe o vídeo que fica fácil de entender o resto dos elementos são iguais a zero vamos provar que funciona de verdade fazer essa matriz vezes outra matriz conforme que esta matriz não muda se a gente pegar o 1001 vamos multiplicar vezes vamos fazer uma matriz geral apenas pra ver que funciona pra todos os números abcd então isso é igual a quanto vamos multiplicar essa linha vezes essa coluna 11 vezes a mais eram vezes e é a esta linha vezes essa coluna em vezes bem mais 10 vezes de bebê então esta linha vezes essa coluna zero vezes a mais um vc s finalmente esta linha vezes essa coluna zero vezes bem mais um vezes de bom é de e aí está pode ser um exercício divertido tentar de outra forma é na verdade um exercício até melhor tentar com uma matriz três por três vai ver como funciona um bom exercício é pensar sobre como funciona se pensar é porque está obtendo informação de linha daqui isso informação de coluna daqui essencialmente no momento que está multiplicando esse vetor vezes este vetor está multiplicando os termos correspondentes e o somando certo se tiver 11 00 irá cancelar qualquer coisa exceto o primeiro termo nesse vetor coluna então é por isso que sobra é por isso que tudo vai ser cancelado - o primeiro termo nesse vetor de coluna e é por isso que sobra o bê na mesma forma vai cancelar tudo menos o segundo termo por isso que só sobram uns e ali isto vezes isso sobra aos e isto vezes isso sobrou de que a mesma ideia se aplica quando multiplica uma matriz 3 por 31 n por n pela matriz identidade que é bem interessante agora se quiser completar nossa analogia vamos pensar sobre isso a gente sabe que em matemática se eu tiver inglesa tenho há também sabemos que um sobre a vezes há é apenas matemática e não tem nada a ver com matrizes que é igual a 1 a gente chama de inverso de a ou falamos que dividimos pelo número existe uma analogia diz como atrizes melhor trocar as cores porque usei muitas e verde tem uma matriz que se multiplicada por uma matriz a e eu vou chamar de inversa de a existe uma matriz que multiplicada por outra matriz a resulta na matriz de identidade a matriz identidade é equivalente a uma nossa matemática se multiplica uma matriz por ela o resultado é a própria matriz seria muito legal se pudesse trocar a ordem da multiplicação então o inverso de avisá deve ser igual a matriz de identidade e se pensar sobre se as duas coisas forem verdade na verdade a matriz a é inversa da inversa de ar elas são inversos uma da outra e tudo acaba virando uma matriz que é chamada de inversa de ar como já disse umas três vezes agora vou mostrar como calcular vamos lá e vamos calcular isto para uma multiplicação dois por dois que é bem simples você deve pensar que é meio misterioso como as pessoas fizeram um algoritmo para isso três por três fica um pouco difícil quatro por quatro irá tomar todo o seu dia nas cinco por cinco dá pra cometer um erro por descuido e tem muita conta para 1 5 por 5 mas de qualquer forma como calcular a matriz é inversa vamos confirmar que realmente é o inverso então se eu tiver uma matriz a como elementos a b c e d a adc de e quiser calcular sua inversa sua inversa é na verdade em vídeos futuro eu vou despertar um pouco mais de intuição sobre o por quê funciona mas agora é melhor só memorizar os passos para ter a confiança de que você sabe que dá para calcular uma matriz inversa é igual a 1 sobre a vezes de - bbc a dea - bc esta quantidade a de menos bc é chamada de determinante da matriz a e vamos multiplicar isto que é um número é uma quantidade escalar e vamos multiplicar por você troca o ayuda e e troca os elementos a idéia de um lugar para o outro troca também o sinal desses dois faz o de baixo à esquerda e da direita em cima e deixa negativo então menos e menos b e o determinante mais uma vez é uma coisa que vai ter que acreditar nos próximos vídeos eu prometo explicar é um pouco avançada aprender sobre determinantes quanto é o determinante de a isso também é chamado de determinante de a então pode descobrir o determinante de a deixa eu te dizer é de notado por a com duas barras como se fosse o valor absoluto e é igual a a d - bc então outra forma de chamar essa razão poderia ser um sobre o determinante de ah tá pra escrever o inverso de a é igual a 1 sobre o determinante de ar que é a vezes de - b - e enfim olha pra isso vamos aplicar ao problema real e você vai ver que na verdade não é tão ruim vamos trocar as letras só pra saber que nem sempre tem que ser um a digamos que eu tenho uma matriz b e ela é três não só pegar números aleatórios - 42 - 52 calcular o inverso db o inverso de bebê será igual a 1 sobre o determinante de beber qual é o determinante db é três vezes - 5 - 2 vezes menos 43 vezes - 5 - 15 - 2 vezes menos 42 vezes - 4 - 8 vamos subtrair é mais oito e vamos multiplicar isso vezes quanto a gente troca esses dois termos então é menos 5 e 3 - 5 e 3 e acabamos de fazer esses dois termos menos 2 e 4 4 era menos quatro então agora se torna 4 vamos ver se dá para simplificar inverso db é igual a menos 15 mais oito é menos sete então é menos um sétimo o determinante db a gente escreve que o determinante db é igual a menos 7 é menos um sétimo vezes - 54 - 23 que é igual a é um escalar que é só um número multiplicamos vezes cada um dos elementos então é igual a cinco sétimos cinco sétimos - 47 - vamos ver dois sétimos e - 37 - é é um tanto difícil acabamos com frações aqui mas vamos confirmar que é mesmo o inverso da matriz bem vamos multiplicar antes de fazer aquilo eu tenho que abrir um espacinho aqui nem preciso mais disso já está ok vamos confirmar que isto vezes tu ou vezes aquilo é igual à matriz de identidade então vamos fazer deixa eu trocar as cores o inverso db é cinco sétimos se não tiver cometido nenhum erro - 47 - dois sétimos e - 37 - é o inverso de b x b 3 - 42 -5 isso vai ser a matriz do produto preciso de algum espaço para fazer meus cálculos agora é pegar esta linha vezes esta coluna esta linha vezes esta coluna cinco sétimos vezes 3 é quanto 15 sétimos mas menos 47 mos vezes dois então - 47 - vezes dois a menos deixou a garantia que está certo cinco vezes três é 15 sétimos menos quatro vezes dois então menos 87 - agora vamos multiplicar essa linha vezes essa coluna cinco vezes menos quatro é - 27 - mais - 47 - vezes menos 5 é mais 27 anos meu cérebro está começando a ficar lento que tenho que fazer as multiplicações de matrizes com frações de números negativos a mas esse é um bom exercício para as partes múltiplas do cérebro mas mesmo assim a gente vai fazer nesse termo aqui agora vamos multiplicar essa linha vezes esta coluna dois sétimos vezes 3 é 67 mos mais - 37 - vezes 2 é menos 67 mos um termo à esquerda direto ao ponto dois sétimos vezes menos quatro é menos 87 anos mas - 37 - vezes menos cinco aqueles negativos são cancelados e não sobra mais 15 temos esse simplificar quanto tem 15 sétimos menos 87 anos e 77 anos só é 10 claramente isso é 0 67 anos - 6 7 0 e menos 87 anos mais 15 717 sétimos é um de novo e aí você tem na verdade fizemos para inverter essa matriz e foi mais difícil provar que era o inverso pela multiplicação apenas porque tivemos que fazer toda essa fração e mexer com números negativos mas espero que tenha deixado satisfeito dá pra tentar de outra forma para confirmar que se multiplicar isso de um jeito diferente também teria matriz de identidade mas enfim isso é como cálculo inverso de dois por dois e como vamos ver no próximo vídeo calcular o inverso da matriz três por três e ainda mais legal até