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Como determinar matrizes inversíveis

Transcrição de vídeo

talvez ainda mais interessante do que encontrará inversa de matriz é tentar determinar quando é inversa de uma matriz não existe ou quando ela é indefinida e uma matriz quadrada para a qual não existe versa ou essa inveja indefinida é chamada de matriz singular vamos pensar então como matriz singular pode se parecer e como ela vai ser aplicada a diferentes problemas em que usamos matrizes então suponhamos que a gente tem uma matriz aqui eu vou fazer uma matriz quadrada dois por dois que é uma matriz quadrada bem simples mas que pode ser estendida para qualquer outro tamanho de matriz quadradão essa matriz vai ter os elementos a s&p eo que eu quero saber qual vai ser a inversa dessa matriz espero que seja natural pra você a inveja dessa matriz é um sobre a determinante de a vezes a adjunta de aqui nesse caso adjunta vai ser a gente trocar esses temas então a gente vai ficar com dna aqui e os outros dois temas eles vão ficar negativo estão aqui nós teremos menos bm - se as a minha pergunta pra você é o que vai ser essa expressão toda aqui bem não importa quais números eu voltei aqui se tiver números definidos e fica fácil vou poder trocar esses dois torná-los negativos que ter essa parte da expressão aqui mas o que me causaria um grande problema seria se tivesse 10 bank of determinante da matriz há porém definido então a gente pode dizer que a crise é inversa de água e 100 definida assim somente senhor lá tão colocando bem grande e somente se ela vai ser em definida se e somente se a determinante da matriz a for igual a ser de outra maneira a gente pensar essa determinante de alguma matriz foi igual a zero então essa matriz será uma matriz singular e ela não tem conversa ou a inversa em definir vamos então pensar em termos conceituais pelo menos por esses dois problemas que vimos o que um fator determinante 0 quer dizer se conseguimos intuitivamente entender por que não é inversa quando isso acontece então qual seria o determinante não determinante dessa matriz aqui dois produtos foi determinante se a determinante de a é igual ao que determinante já vai ser igual nesse caso aqui a vezes de - bbc se então vai ser igual a vezes de - bb vice então essa matriz ela vai ser singular ou não tem vecci essa expressão aqui for igual a zero deixe me inscrevi vence então se há-de for igual a b se podemos manipular as coisas também e dizer que aço de bebê tem que ser igual a ses sobre de na verdade que eu fiz foi dividir ambos os lados por bem depois ambos os lados poderão se razão a sobre b for igual a razão ser sobre nenê não teremos matriz diversa outra maneira de escrever isso a gente pode dividir ambos os lados por seia ambos os lados poder então nós teríamos também se á sobre ser for igual à bbc sobre de é uma outra maneira de dizer que essa matriz aqui é singular porque na verdade a mesma coisa é isso que vai ser verdade se isso aqui for verdade também é apenas uma mudança causada por uma manipulação algébrica você pode parar pra pensar o motivo disso acontecer essa proporção se a mesma sobre bc a mesma coisa que ser submetido mas de qualquer maneira não quero te confundir vamos ver então como aparecem alguns problemas que nós verificamos então vamos dizer que nós queremos verificar o problema vamos dizer que nós temos uma matriz que representa uma equação linear então a matriz conta que os elementos delas serão a b e c e ela vai estar sendo multiplicada por xy então vamos multiplicá-la pio x y e isso vai ser igual a dois elementos dois termos que nós ainda não usamos não vamos dizer que isso vai ser igual à efe a gente tem uma matriz representa um problema de melgaço linear esse problema lear poderia ser traduzido como aves x mas tevez e epsilon igual a é e service x mais de 20 c myc igual à efe service x mais de visibilidade igual à efe que nós gostaríamos de saber onde esses dois se interceptam porque essa seria a solução o vetor solução dessa equação para atendimento visual como ficarão essas duas linhas foi isolar o y as duas equações então nessa primeira equação nós teríamos o que bom nós teríamos que y é igual a menos a sobrevir - a subir vezes shishin mas é sobre bené certo eu to algumas etapas aqui mas eu sou apenas subtraía existe de ambos os lados e depois divide ambos os lados por bem você vai ter essa equação aqui essa equação aqui essa equação aqui isolando y nós teremos o que bem nós vamos ter menos ser sobre de -6 sobre de vezes x mas efe sobre d mas é sobre e agora vamos destacar isso aqui porque eu quero que a gente analise pensa sobre essas duas equações aqui o que essas duas equações tem de similar tem de semelhante com essa igualdade bem aqui olha com isso aqui o que a gente pode dizer sobre essa semelhança nós sabemos que se isso é que for verdade então não temos determinante essa matriz torna-se uma matriz singular que não tem conversa e já que não tem conversa nós não podemos resolver essa equação multiplicando ambos os lados pelo inverso porque esse verso não existe vamos analisar isso em tão bem se isso que for verdade nós não temos determinante mas o que significa em termos pressa equação aqui essas equações aqui a sobrepesca chegou a 6º bpm ilha só se á sobre bc sobre de forem a mesma coisa que a gente vai ter que essas duas retas elas terão a mesma internação essas duas linhas vão ter a mesma inclinação se elas terão regime a mesma inclinação essas duas expressões forem diferentes o que a gente consegue saber sobre ela se essas duas linhas tiverem a mesma inclinação diferente pontos de interceptação no eixo y elas nunca irão se cruzar e serão paralelas todo o desenho pra ficar mais claro deixa eu primeiro fazer aqui os eixos né vamos fazer o trecho x e y e eu vou desenhar primeiro essa equação a linha dessa equação aqui se essa equação está com esse número negativo a situação negativa então a linha que eu vou desenhar também tem que ser uma linha com uma inclinação negativa algo mais ou menos como isso aqui e vai interceptar o eixo y bem nesse ponto aqui que é o ponto é sobre b então vai interceptar que nesse ponto é o bebê e o desenho é referente a esta é a equação aqui vamos agora ver a segunda linha deixa eu fazer é de uma cor diferente a segunda linha não sei se vai ser acima ou você abaixo dessa linha mas eu sei que vai ser paralelo então é algo mais ou menos como isso aqui ó é uma linha paralela e vai interceptar o eixo y neste ponto aqui que é o ponto efe sobre eu desenhei referente a esta equação aqui na verdade até haver uma solução se alguém resolvesse pelo método da substituição normal tradicional ou aquele método da adição e depois substituição não é pra sistema de equações lineares mas isso só seria possível se a sobre b não fosse igual a seis sobre de uma forma de observar então se uma matriz é singular é verificar se ela possui linhas paralelas você até poderia dizer ah mas essas duas linhas se cruzam se és o bebê for igual à efe sobre de bom se eles forem iguais exatamente o mesmo número então essas duas retas seriam idênticas e elas não só se cruzariam mas ela se cruzariam em um número infinito de lugares ainda assim você não teria nenhuma solução única não seria apenas uma única solução seria verdadeiro para todos os valores de x e y que pertencem a equação assim você consegue saber qual tipo é quando você aplica matriz para esse problema a matriz é simular quando as duas linhas que estão representando as equações são paralelas ou são exatamente a mesma linha ou elas são paralelas e nunca irão se cruzar ou elas são exatamente a mesma linha e se cruzam em um número infinito de pontos isso faz mesmo sentido porque é inversa não está definida vamos pensar sobre isso no contexto de combinações lineares de vetores vamos então apagar essa parte aqui hoje os pés combinações linhares e vitor genz pode ser que isso aqui é a mesma coisa que o vetor a ser o vetor ace vezes shishin cobertura se existe mais mas o vetor bd o vetor b vezes e y e isso vai ter que ser igual ao vetor efe ac ó é igual o vetor é f agora vamos pensar um pouco nós estamos dizendo que existe alguma combinação entre os vetores a cnbb que equivale ao vetor é f mas nós já dissemos que não temos inversa aqui porque o determinante a 0 e se determinante a 0 nós sabemos que nesse caso a gente vai ter a ser igual a perder então nós vamos ter a ser igual à bd e aí eu quero saber o que isso aqui me diz bem vamos desenhar talvez até fosse mais fácil exemplificasse aqui com números mas eu quero que você obtenha essa noção intuitiva bom vou desenhar todos aqui no primeiro quadrante vamos subir que ambos esses setores aqui estão no primeiro quadrante vamos lá desenhar os eixos então aqui eu vou desenhar um dos meus eixos e aí a gente vai ver como vai ficar o primeiro vetor a se desenhar ele aqui de outra cor o vetor assim eu vou tomar então que aqui seja um ponto há aqui vai ser meu ponto a e aqui vai ser o meu pontos e aqui vai ser o meu pontos e logo esse ponto aqui olha vai ser um vetor a se desenhar eles ele aqui pra ficar de maneira bem correto aqui vai estar a minha certeza esse é o vetor assim vamos olhar agora para o vetor bd como vai ser o vetor b de se fazer aqui de outra cor bom o factor bebê eu poderia arbitrariamente colocá lo em qualquer lugar aqui mas eu sei que essa matriz aqui tem determinante gol a zero ea gente sabe que os determinante é igual a zero a sobre 70 e chegou à bbc sobre de olho também poderia colocar que ser sobre a tem que ser igual a 10 sobre b enfim o que eu quero dizer que eles devem ter a mesma inclinação a inclinação tem que ser a mesma então eu posso até mudar magnitude mas eu não vou poder mudar a inclinação aqui só vai ter que ser a mesma do vetor assim então vamos supor por exemplo que aqui vai tal o bebê é que vai dar o meu ponto b aqui vai estar o de e eu posso dizer então que aqui vai ser o meu vetor e ele vai ter vai parte também desse ponto zero e vai chegar até aqui né vai ter após ter magneto diferente a gente tá fazendo o atleta decoração diferente mas a inclinação tem que ser a mesma não tem como mudar a inclinação do vetor vai ser mesmo a gente até poderia ter a amplitude diferente mas é minha questão pra você em relação ao vetor é f bom vamos primeiro desenhar que o vetor efe vou dizer que aqui vai ser o meu ponto é que é meu ponto é e aqui vai ser o meu ponto é ficar aqui vai ser o meu ponto é nós vamos ter então o vetor efe bem aqui olha aqui vai ser o nosso vetor é em relação a esse vetor aqui é f o que eu quero saber se existe alguma maneira de a gente fazer combinação ou somando ou subtrair não como combinação entre esses vetores aqui e obter esse vetor efe ac bem não né você pode adicionar hospitais calares a esses vetores e tudo que você vai conseguir fazer é uma espécie de movimento ao longo dessa linha aqui você vai poder até obter qualquer outro vetor porque é um múltiplo de um vetor desses vetores mas com esses dois vetores aqui eles possuem a mesma direção você não conseguirá obter um outro vetor com uma direção diferente dessa aqui portanto se esse vetor aqui estiver em uma direção diferente não há solução aqui se por acaso esse vetor aqui estivesse na mesma direção então existiria solução você poderia obter com a mesma direção mas seria um número infinito de soluções em termos de x e y mas se o vetor foi ligeiramente diferente em relação à direção não há solução não há nenhuma combinação deste vetor com este vetor aqui que poderá resultar nesse vetor aqui isso é algo pra você pensar pode parecer óbvio mas uma outra maneira de pensarmos a respeito disso é quando você está tentando fazer soma de vetores para chegar em qualquer outro vetor com uma direção diferente você precisa ter um vetor em uma direção e um outro vetor em uma ou outra direção diferente para que você consiga chegar nesse vetor resultante que terá direção diferente também mas se ambos os vetores estiverem com a mesma direção com a mesma inclinação não há maneira de você chegar em um outro vetor com inclinação diferente bem isso provavelmente é uma explicação redundante mas eu espero que ter lhe dado um pouco de intuição até porque você já sabe algumas coisas você sabe o que é uma matriz singular você sabe quando não conseguimos encontrar o inverso de uma matriz sabe que quando determinante foi o zero não haverá inverso da matriz espero que tenha entendido porque disso porque esse é o foco do nosso vídeo se você estiver olhando o problema em termos de vetores você vai perceber que não há nenhuma combinação entre os vetores que fará com que você chega o vetor solução se você estiver olhando para o problema em termos de equação você vai perceber que as duas linhas ou elas serão paralelas ou elas serão a mesma linha e aí também não haverá solução tudo isso com determinantes e no cea bom de qualquer forma a gente se vêem no próximo vídeo