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Propriedades da multiplicação escalar de matrizes

Descubra as propriedades da multiplicação escalar de matrizes (como a propriedade distributiva) e como elas se relacionam à multiplicação de números reais.
Na tabela abaixo, A e B são matrizes de dimensões iguais, c e d são escalares, e O é a matriz nula.
PropriedadeExemplo
Propriedade associativa da multiplicação(cd)A=c(dA)
Propriedades distributivasc(A+B)=cA+cB
(c+d)A=cA+dA
Propriedade da identidade multiplicativa 1A=A
Propriedades multiplicativas de zero0A=O
cO=O
Propriedade de fechamento da multiplicaçãocA é uma matriz de mesmas dimensões que A.
Este artigo explora essas propriedades.

Matrizes e multiplicação escalar

Uma matriz é um arranjo retangular de números em linhas e colunas.
Quando trabalhamos matrizes, chamamos os números reais de escalares.
O termo multiplicação escalar refere-se ao produto de um número real com uma matriz. Em multiplicações escalares, cada elemento da matriz é multiplicado pelo escalar determinado.
2[5231]=[25222321]=[10462]
Se algo disso é novo para você, confira os artigos a seguir antes de continuar:

Considerações sobre dimensões

Note que um escalar vezes uma matriz 2×2 resulta em uma outra matriz 2×2 . Em geral, um múltiplo escalar de uma matriz será uma outra matriz de mesma dimensão. Isso é o que queremos dizer com propriedade de fechamento de uma multiplicação escalar!

Multiplicação escalar de matrizes e multiplicação de números reais

Como a multiplicação escalar depende muito da multiplicação de números reais, muitas das propriedades que sabemos serem válidas para números reais são também válidas para a multiplicação escalar.
Vamos analisar cada propriedade individualmente.

Propriedade associativa da multiplicação: (cd)A=c(dA)

Esta propriedade estabelece que se uma matriz é multiplicada por dois escalares, você pode multiplicar os escalares entre si e, em seguida, multiplicar o resultado pela matriz. Ou você pode multiplicar a matriz por um escalar e em seguida multiplicar a matriz resultante pelo outro escalar.
O exemplo a seguir ilustra esta propriedade para c=2, d=3, e A=[5481].
Em cada coluna nós simplificamos um lado da identidade em uma única matriz. Note que as duas matrizes são iguais por causa da propriedade associativa da multiplicação dos números reais. Por exemplo, (23)5=2(35).
Isso demonstra que as expressões originais devem ser equivalentes também!

Propriedades distributivas:

c(A+B)=cA+cB

Esta propriedade estabelece que um escalar pode ser distribuído na soma de matrizes.
Aqui está um exemplo no qual c=2, A=[5231], e B=[3426]:
Se compararmos a última matriz em cada coluna, veremos que elas são equivalentes por causa da propriedade distributiva dos números reais. Por exemplo, 2(5+3)=25+23.
Dessa forma, as duas expressões originais devem ser equivalentes também!

(c+d)A=cA+dA

Essa propriedade estabelece que uma matriz pode ser distribuída na soma de escalares.
Aqui está um exemplo no qual c=2, d=3, e A=[6974]:
Mais uma vez, percebemos que as últimas matrizes de cada coluna são equivalentes entre si por causa da propriedade distributiva dos números reais, fazendo com que as expressões originais sejam equivalentes como gostaríamos!

Propriedade da identidade multiplicativa: 1A=A

Esta propriedade estabelece que ao multiplicar qualquer matriz A pelo escalar 1, o resultado é simplesmente a matriz original A.
Por exemplo, se A=[2517], então, teremos:
1[2517]=[12151117]=[2517]
Dado que 1a=a para qualquer número real a, o escalar 1 será sempre a identidade multiplicativa nas multiplicações escalares!

Propriedades multiplicativas do zero:

0A=O

Essa propriedade estabelece que em qualquer multiplicação escalar, 0 vezes qualquer matriz A m×n será a matriz nula m×n .
Isso é verdadeiro devido à propriedade multiplicativa do zero no sistema dos números reais. Se a for um número real, saberemos que 0a=0. O exemplo a seguir ilustra isso.
0[3867]=[03080607]=[0000]

cO=O

Esta propriedade estabelece que qualquer escalar vezes uma matriz nula será a própria matriz nula.
Novamente, esta propriedade é verdadeira devido à propriedade multiplicativa do zero no sistema dos números reais. A seguir um exemplo no qual c=3 e O é a matriz nula 2×2.
3[0000]=[30303030]=[0000]

Teste seu conhecimento

Agora que você está familiarizado com todas as propriedades da multiplicação escalar, vamos ver se você consegue usá-las para determinar expressões de matrizes equivalentes.
Para o problema abaixo, considere A e B matrizes 2×2 e c e d escalares.
1) Quais das opções seguintes são equivalentes a c(1A+B)?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

2) Quais das seguintes opções são equivalentes a (cd)A+0A?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

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