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Propriedade associativa da multiplicação de matrizes

Transcrição de vídeo

RKA2MP - O que eu quero fazer neste vídeo é mostrar que a multiplicação de matrizes é associativa. Eu vou mostrar isso para matrizes de dimensões 2 por 2, mas o que eu vou fazer neste vídeo pode ser estendido para matrizes de qualquer dimensão, desde que a multiplicação dessas matrizes esteja definida. Vamos lá, vou pegar a primeira matriz, vou chamar com os elementos "a", "b", "c" e "d". Agora vamos para a segunda matriz. Vamos ter os elementos "e", "f", "g" e "h". E, finalmente, vamos para a última matriz, com os elementos "i" (não é "i" de "imaginário", é a letra "i"), "j", "k" e "l". Estas são as minhas três matrizes. Agora eu vou olhar para dois cenários. Primeiro deixe-me copiar e colar aqui esta matriz, rapidamente. E o que eu quero fazer é: olhar para este cenário e multiplicar, primeiro, a matriz laranja com a matriz amarela e depois multiplico pela matriz roxa. E, nesta segunda situação, vou multiplicar primeiro a matriz amarela pela matriz roxa e depois, o resultado a gente multiplica pela matriz laranja. Eu quero mostrar, assim, que a propriedade da multiplicação entre matrizes é associativa. Nós já vimos que ela não é comutativa, agora eu quero ver se é associativa. E, já dando o resultado para vocês, eu digo: ela é associativa. Eu proponho que você pause o vídeo e tente fazer a multiplicação usando estas letras e verifique você mesmo que a propriedade é aplicável no caso de multiplicação de matrizes. Vamos, então, fazer primeiro esta multiplicação entre estas duas matrizes. Nós vamos ter o quê? Primeiro, "ae + bg". Multiplicando a primeira linha com a segunda coluna: "af + bh". Segunda linha e primeira coluna: "ce + dg". E, finalmente, segunda linha com segunda coluna: "cf + dh". Agora nós temos que ver como vai ser o resultado quando nós multiplicarmos isto pela matriz [i j k l]. Vamos lá, vamos fazer a multiplicação desses elementos. Primeiro, a primeira linha com a primeira coluna: "i" vezes "ae" + "i" vezes "bg". "iae + ibg", mais... Agora vamos multiplicar "af + bh" por "k", vai ficar "kaf + kbh". Agora multiplicaremos a primeira linha com a segunda coluna. O "j" vai multiplicar "ae" e "bg". Vou escrever: "jae + jbg". E agora a gente vai multiplicar o "l" pelo "af + bh". Então, podemos escrever: "laf + lbh". Agora, a segunda linha com a primeira coluna: "i" vezes "ce" + "i" vezes "dg". Vamos escrever: "ice + idg". E o "k" multiplica o "cf" e o "dh", então, fica: mais "kcf + kdh". E a última multiplicação vai ser a segunda linha com a segunda coluna. Teremos: "jce + jdg", mais "lcf + ldh". Aqui é o resultado da primeira multiplicação. O resultado final desta primeira multiplicação, deste primeiro contexto. Vamos analisar o outro lado agora. Vamos primeiro fazer esta multiplicação aqui, da matriz que está em amarelo com a matriz que está roxa. O primeiro elemento, que vai ser a primeira entrada, é a primeira linha com com a primeira coluna. Então, teremos: "ei + fk". Neste segundo elemento, teremos a primeira linha com a segunda coluna: "ej + fl". O terceiro vai ser a segunda linha com a primeira coluna. Vai ficar "g vezes i" + "h vezes k". "gi + hk". E, finalmente, o último elemento vai ser a segunda linha com a segunda coluna. Teremos "gj + hl". E agora nós teremos que multiplicar isto pela matriz em laranja, pela matriz [a b c d]. Vamos ver como é que vai ficar esta multiplicação. Para fazer esta multiplicação, deixe-me chegar o quadro um pouquinho mais para cá. Pensando bem, é melhor nós o colocarmos para este lado aqui. Talvez fique mais fácil a gente colocar para este lado. Bem, vamos lá. Primeiro, multiplicaremos a primeira linha com a primeira coluna. O "a" vai multiplicar o "ei" e o "fk". Então, teremos: "aei + afk". E o "b" vai multiplicar o "gi" e o "hk". Então, mais: "bgi + bhk". Agora nós teremos, na segunda entrada, a primeira linha com a segunda coluna. Vamos ter: "aej + afl" e "bgj + bhl". Na terceira entrada, teremos a segunda linha com a primeira coluna. Então, "c" vai multiplicar "ei" e "fk". Vai ficar: "cei + cfk", mais "d", que vai multiplicar "gi" e "hk", então, mais "dgi + dhk". E, finalmente, a última multiplicação. O que vai ocorrer? Quando nós fizermos a segunda linha multiplicando a segunda coluna, teremos: "cej + cfl", mais o "d", que vai multiplicar o "gj" e o "hl". Ficaremos com: "dgj + dhl". Deixe-me fechar aqui... O que eu quero saber agora é: será que estas duas matrizes são equivalentes? Para saber isso, a gente tem que checar entrada por entrada. Vamos lá. A primeira, eu tenho "iae". "iae" é equivalente a "aei", porque nós sabemos que existe a propriedade da comutatividade nos escalares. Então, é a mesma coisa. No segundo, temos "ibg". "ibg" é a mesma coisa que "bgi". O terceiro é "kaf", que é a mesma coisa que "afk". E "kbh" é a mesma coisa que "bhk". Vamos checar um por um, unidade por unidade. "ice" é a mesma coisa que "cei". "idg", está aqui, "dgi". "kcf" é a mesma coisa que "cfk" e "kdh" é a mesma coisa que "dhk". Vamos passar agora para este segundo bloco. Temos: "jae" é a mesma coisa que "aej". "jbg" é a mesma coisa que "bgj". "laf" é a mesma coisa que "afl". E "lbh" é a mesma coisa que "bhl". Finalmente, na última entrada, temos: "jce" é a mesma coisa que "cej". "jdg" é a mesma coisa que "dgj". "lcf" é a mesma coisa que "cfl". "ldh" é a mesma coisa que "dhl". Se você estiver em dúvida, por exemplo, se este elemento está certo, ou alguma coisa do tipo, a gente pode conferir aqui. Este elemento é a segunda linha com a segunda coluna. É como se nós multiplicássemos esta linha com esta coluna. "j vezes ce" + "j vezes dg" e "l vezes cf" + "l vezes dh". Conferimos que este, realmente, é a mesma coisa. As matrizes são congruentes. Podemos concluir, com isso, que a propriedade associativa pode ser usada para a multiplicação de matrizes, não importando a ordem. Podemos associar a primeira com a segunda e depois com a terceira, ou associar a segunda com a terceira e depois com a primeira. O resultado será o mesmo. É isso, pessoal. Até o próximo vídeo!