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A multiplicação de matrizes é comutativa?

Transcrição de vídeo

RKA2MP - Todos nós sabemos que a multiplicação de quantidades escalares é comutativa. Por exemplo, se eu tiver 5 vezes 7, isso é a mesma coisa do que eu ter 7 vezes 5. Não muda. Isto aqui foi um exemplo específico, mas eu posso dar muitos outros. Por exemplo: 3 vezes (-11) é a mesma coisa do que eu escrever (-11) vezes 3. Não muda, a ordem não vai alterar o resultado. Em termos gerais, eu posso dizer que, se eu quiser multiplicar um escalar qualquer "a" vezes um escalar qualquer "b", será a mesma coisa que eu multiplicar esse escalar "b" qualquer pelo escalar "a". Não muda o resultado. O que eu quero fazer neste vídeo de hoje é verificar se essa propriedade comutativa, que nós sabemos que vale para a multiplicação de escalares, também serve para a multiplicação de matrizes, ou alguma outra que se assemelhe a essa. Por exemplo, se eu tenho uma matriz A e eu multiplico essa matriz capital A pela matriz capital B, eu quero saber se esse resultado vai ser o mesmo, caso eu queira multiplicar primeiro a matriz B pela matriz A. Será que esta multiplicação aqui vai dar o mesmo resultado? Nós sabemos que, em alguns casos, pode dar. O que eu quero saber é: será que isto aqui é sempre verdade? Será que é sempre verdade? Será que essa comutatividade na relação da multiplicação de matrizes é verdade? Eu proponho que você pause o vídeo e pense um pouco sobre isso. Vamos pensar em algumas coisas. Primeiro de tudo: vamos imaginar que a gente vai multiplicar duas matrizes com dimensões diferentes. Suponhamos que a matriz A seja uma matriz 5 por 2 e que a matriz B seja uma matriz 2 por 3. Eu quero multiplicar essas duas matrizes. Eu quero saber qual vai ser a dimensão da matriz resultante da multiplicação dessas duas matrizes, qual será este resultado aqui. Primeiro, a gente deve perceber que a multiplicação, o produto destas matrizes, é um produto definido. Esta matriz existe, a multiplicação delas. Por quê? Porque o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Isso, pela regra que a gente já sabe da multiplicação de matrizes, é o que faz o produto dessa multiplicação, esta terceira matriz, existir. A gente vai chamar esta terceira matriz de matriz C e vai dizer que o produto delas vai ser o quê? Ela vai ter 5 linhas e 3 colunas. O número de linhas dela é da primeira matriz e o número de colunas dela é da segunda matriz. Então, ela vai existir e vai ser uma matriz 5 por 3. E se tivesse o contrário? Se eu quisesse multiplicar a matriz B e depois a matriz A? Mais uma vez, eu proponho que você pause o vídeo. Bem, vamos lá. Se eu quisesse primeiro ter a matriz B... Deixe-me pegar a ferramenta de cortar e colar... Se eu quisesse pegar esta primeira matriz aqui e quisesse multiplicar por esta segunda matriz, pela matriz A, como ficaria o resultado disso? Como ficaria o resultado desta multiplicação? Se eu quisesse multiplicar estas duas matrizes, a primeira coisa que eu deveria prestar atenção seria se ela está definida, se a multiplicação desta matriz está definida. Porque, se nós olharmos para ela, o que a gente vai perceber é que o número de colunas da primeira matriz é diferente do número de linhas da segunda matriz. O número de colunas da matriz B é 3 e o número de linhas da matriz A é 5. Ou seja, nós não conseguimos realizar a multiplicação porque essa multiplicação não está definida. Isso já nos dá uma grande pista da pergunta que ele faz. Será que isso é sempre verdade? A gente conseguiu realizar a primeira multiplicação. Essa primeira multiplicação nos deu a matriz C com dimensões 5 por 3. Já a segunda, quando a gente inverteu, ela simplesmente se tornou uma multiplicação não definida, ou seja, nós nem conseguimos realizar este produto. Não conseguimos nem obtê-lo. Ou seja, a resposta para isto aqui é não. A comutatividade não vai ser válida para multiplicação de matrizes. Para tornar as coisas um pouco mais concretas, vamos olhar um exemplo de multiplicação de matrizes, porque talvez você esteja dizendo: "Ah, mas pegou uma multiplicação não definida! Talvez, quando você invertesse e a multiplicação estivesse definida, daria o mesmo resultado, a matriz resultante seria a mesma!" Então, vamos pegar um caso onde essas matrizes sejam quadradas, porque aí eu vou conseguir inverter. Ambas, por exemplo, com dimensões 2 por 2. Vou pegar um exemplo onde eu vou ter uma matriz 1, 2, -3 e -4. E eu quero multiplicar esta matriz por outra matriz, mais ou menos, -2, 0, 0 e -3. Como ficaria o resultado deste produto? Mais uma vez, eu encorajo você a pausar o vídeo e tentar fazer sozinho. Vamos fazer esta multiplicação, coisa que nós já fizemos várias vezes. A primeira multiplicação vai ser esta linha aqui com esta coluna. Eu vou multiplicar: 1 vezes -2, que dá -2, mais 2 vezes zero. O resultado final vai ser -2. Agora vou multiplicar esta mesma linha, porém com esta coluna. Vou ter 1 vezes zero, mais 2 vezes -3, que vai dar -6. A outra multiplicação a ser feita vai ser esta linha com esta coluna. Eu vou ter -3 vezes -2, que vai dar +6, mais 4 vezes 0, que dá zero. O resultado final vai dar 6. O último elemento que vai entrar aqui é a multiplicação desta linha com esta segunda coluna. -3 vezes 0, que dá zero e -4 vezes -3, que dá 12. Agora vamos observar o que acontece com a multiplicação se nós invertemos. Vamos colocar primeiro a matriz que a gente desenhou em roxo: -2, 0, 0 e -3. E agora a gente vai colocar a matriz que está em amarelo. Aquela que veio primeiro, agora vai vir em segundo: 1, 2, -3 e -4. Como sempre, eu proponho que pause o vídeo e você tente fazer sozinho. Vamos lá, resolvendo aqui: primeira linha vai ficar -2 vezes 1, mais 0 vezes -3. -2 vezes 1 dá -2, 0 vezes -3 dá zero. A soma disto aqui vai dar -2. Por enquanto, o elemento deu o mesmo. Vamos continuar a multiplicação. Agora esta linha com esta coluna. -2 vezes 2 dá -4 e zero vezes -4 dá zero. Então, o resultado final disto aqui vai dar -4. Observe que, este elemento sendo diferente, faz com que o resultado todo mude. A gente já percebeu que não vai ser o mesmo resultado. Ainda assim, vamos continuar para terminar a multiplicação. Zero vezes 1 dá zero e -3 vezes -3 dá +9. Este elemento aqui vai ser 9. E agora, o último elemento: zero vezes 2 e -3 vezes -4. Zero vezes 2 é zero e -3 vezes -4 é +12. Este último elemento vai dar 12. A gente conseguiu perceber que a matriz resultante é completamente diferente desta, ou seja, mesmo quando o produto é definido quando a gente inverte. Aqui a gente colocou primeiro a amarela e, depois, a gente colocou a roxa. Quando a gente inverteu (colocou primeiro a roxa e depois a amarela), este produto estava definido. Existe uma matriz resultante. Ainda assim, é uma matriz completamente diferente desta. Ou seja, a propriedade de comutatividade não se aplica no produto entre matrizes. É isso, pessoal. Até o próximo vídeo!