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Usando as propriedades das operações de matriz

Transcrição de vídeo

RKA2MP - A fim de entrar em uma academia militar, cadetes devem passar por um rigoroso exame de ingresso, que inclui matemática. Vamos ajudar o comandante Gerson a melhorar o grau dos estudantes. A última etapa de um problema na seção de multiplicação de matrizes era que a matriz A vezes a matriz B vezes a matriz C, em que A, B e C são matrizes quadradas. Quero saber quais dos candidatos têm resposta equivalente a esta expressão. Vamos selecionar todos que tiverem respostas corretas para qualquer A, B e C, todos que se aplicam. Eu encorajo você a pausar este vídeo e pensar neste problema. Qual destas expressões, para quaisquer matrizes quadradas A, B e C, são equivalentes a esta expressão bem aqui? Supondo que você já tenha pensado na solução do problema sozinho, vamos analisar cada uma das respostas. Nesta primeira, eles mudaram a ordem. Disseram que B vezes A vezes C é igual a A vezes B vezes C. Só que nós já vimos que a multiplicação de matrizes não é comutativa no geral. Ou seja, isso não é verdade para qualquer A, B e C, para qualquer matriz quadrada. Logo, esta resposta não é verdade, porque nós sabemos que a multiplicação de matrizes não é comutativa. Agora vamos analisar a resposta que o Bernardo deu. O que ele escreveu, nós sabemos que é equivalente a A vezes C vezes B. De qualquer maneira, ele trocou a ordem entre as matrizes C e B. E nós não podemos esperar que dê o mesmo produto quando a gente troca ordem para qualquer matriz quadrada, porque a gente sabe que a propriedade comutativa não é válida para a multiplicação de matrizes. Ou seja, o que o Bernardo escreveu não está correto. Agora, vamos lá, analisando a próxima resposta: A vezes BC. Isto aqui eu posso dizer que é equivalente a A vezes B (usando a propriedade associativa, que nós já vimos que é válida para a multiplicação de matrizes), vezes C. E isto, naturalmente, é igual a A vezes B vezes C e aí a gente chega à resposta correta da expressão inicial. Ou seja, o que Carlos escreveu é correto: A vezes BC é igual a A vezes B vezes C, usando a propriedade associativa. Agora vamos dar uma olhada na expressão de Durval, que parece ser uma expressão um pouco louca, mas bastante interessante. Em primeiro lugar, nesta expressão aqui, o que a gente tem que ficar atento é que a propriedade distributiva, desde que você mantenha a mesma ordem, direitinho, você se sustenta na multiplicação de matrizes. Então, esta expressão, eu vou escrevê-la do outro lado porque me parece ser bastante interessante. Eu tenho que A (BC + A) - A². Se nós aplicarmos a propriedade distributiva aqui (e eu proponho que você, inclusive, prove isso, até para você mesmo: use só duas matrizes, que tornam a expressão bem mais simples), mas isto aqui eu posso dizer que: A vezes BC, eu posso escrever como sendo ABC, mais... A vezes A eu posso escrever como sendo A². E a expressão continua ali quando a gente subtrai A². Na verdade, o que vai acontecer quando nós fizermos esta subtração é que vai dar uma matriz nula. A gente pode tomar isto como zero. E aí, quando a gente soma zero com A vezes B vezes C, o resultado final disso vai ser A vezes B vezes C, que na realidade é a expressão inicial. Então, o que Durval escreveu, apesar de parecer um pouco estranho, está correto. A gente já sabe que a resposta do Carlos está correta e a resposta do Durval também está correta. E a última opção? A(B + C). Mesmo que a gente aplique a propriedade distributiva aqui, vai estar bem longe da expressão inicial. Decididamente, esta opção não é verdadeira. É isso, pessoal. Analisamos tudo. Até o próximo vídeo!