Exemplo de combinação: mãos de 9 cartas

RKA10E Olá, pessoal. Prontos para mais um exercício? Um jogo de cartas usa 36 cartas diferentes de 4 naipes (ouro, copas, paus e espadas). Estas cartas são numeradas de 1 até 9 em cada naipe. Sabendo que uma mão é uma coleção de 9 cartas que pode ser organizada da maneira que o jogador escolher, quantas mãos de 9 cartas são possíveis neste jogo? Vamos lá, eu tenho essas 36 cartas diferentes, cada uma de um naipe, mas não vamos nos preocupar com esses naipes, não vamos nos preocupar com isso. O que ele quis dizer é que são 4 naipes diferentes, 9 cartas cada uma, 4 vezes 9 são 36 cartas. Vamos apenas nos atentar a isso, são 36 cartas diferentes. E dessas 36 vem 9 para a minha mão, então na minha mão tem espaço para 9 cartas. Para simbolizar a minha mão, vou colocar 9 espacinhos. Então: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 espacinhos para colocar as cartas na minha mão. Então vou pegar uma das 36 cartas e colocar na minha mão para começar a fazer a mão do jogo. Assim que eu começar a fazer a minha mão de cartas, vou pegar uma das 36. Então, para a primeira cartinha, eu tenho 36 possibilidades de escolha. E a próxima cartinha vai vir do monte de 35 cartas. Para a próxima, 34... 33, 32... 31, 30, 29. E para colocar a última carta que vai completar a minha mão, terei no meu baralho 28 cartas sobrando. Você vai querer me dizer que tenho 36 vezes 35 vezes 34 vezes 33 vezes 32 vezes 31 vezes 30 vezes 29 vezes 28 mãos diferentes. E você teria razão se a ordem importasse, se a ordem fizesse diferença. Só para te dar um exemplo, imagine que eu tenha o 9 de espadas e aqui mais 8 cartas, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Agora imagine que eu tenha aqui as mesmas 8 cartas, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e no final meu 9 de espadas. Se eu estiver considerando essa mão diferente dessa mão, de fato, o número de mãos possíveis vai ser esse produto. Mas ele está falando que as cartas podem ser organizadas da maneira que o jogador escolher, da maneira que o rapaz bem entender, então a ordem não importa. Então a gente está contando coisas demais, a gente está contando todas as maneiras diferentes que eu consigo colocar essas mesmas 9 cartas na minha mão. Para descontar essas contagens a mais, eu tenho que dividir pelo número de maneiras que posso rearranjar essas 9 cartas na minha mão, correto? Mas de quantas maneiras eu consigo reorganizar essas 9 cartas? Vamos considerar os 9 espaços que tem na minha mão, serão 9 possibilidades para a primeira cartinha, 8 para a segunda, 7 para a terceira, depois 6 para a próxima, 5, 4, 3, 2 e, finalmente para a última carta, só vai ter um espacinho. Mas isso aqui, pessoal, 9 vezes 8 vezes 7 vezes 6 vezes 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1 é justamente o que a gente chama de 9 fatorial. Essa exclamação significa fatorial e quando tenho essa exclamação, 9 fatorial, significa que estou pegando 9 e multiplicando por todo o número natural que está abaixo dele, certo? O número de combinações que a gente tem para as nossas cartinhas na mão vai ser esse valor dividido por 9 fatorial, que é justamente o número de vezes que a gente rearranja essas 9 cartas na mão. E essa é minha resposta final, que vai dar um número super-hiper-mega-giga-monster-grande. Quer ver quão grande é o número? Vamos fazer a continha. Pegando a calculadora aqui. A gente vai ter 36 que multiplica por 35 vezes 34 vezes 33 vezes 32 vezes 31 vezes 30... vezes 29 vezes 28. É isso. E isso eu vou dividir por... bom, para fazer essa divisão, vou abrir um parênteses. Parênteses dividido por 9 fatorial que é 9 vezes 8 vezes vezes 7 vezes 6 vezes 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1, e vamos torcer para a calculadora dar conta. Ela deu conta e o número que resultou foi 94.143.280. Vou colocar aqui do ladinho só para eu consegui enxergar. Vamos colocar aqui, vou colocar um pouquinho para baixo... 94.143.280. Esse é o resultado da conta e essa é a solução do problema. Então existem 94.143.280 mãos diferentes possíveis para esse jogo. Mas existe uma fórmula que faz exatamente essa continha para a gente. Denotamos a fórmula da seguinte maneira: eu tenho 36 coisas das quais tenho que escolher 9. A gente fala que é uma combinação de (36 9) a 9. De uma forma geral, se eu tivesse um conjunto com "n" coisas e dele eu tivesse que escolher "k" objetos, faria uma combinação de (n k) a "k". Mas deixando isso de lado um pouquinho, vamos ver o que significa isso aqui. Vai ser 36 fatorial, mas se a gente der uma olhada aqui em cima, ele não é 36 fatorial inteiro. É o 36 fatorial, mas ele vai descendo até 28. A gente vai dividir por (36 - 9) fatorial. Por que (36 - 9) fatorial? (36 - 9) é 27, então isso aqui é 27 fatorial. Me ajudem a raciocinar por que vou dividir por 27 fatorial. O 36 fatorial vai ser 36 vezes 35 e vai baixando até chegar em 28, vezes 27, e continua até chegar no 1, certo? Então isso aqui para a gente é 36 fatorial. Só que agora vou dividir por (36 - 9) fatorial, que é 27 fatorial, então dividido por 27 fatorial. Colocando aqui o nosso traço de divisão e 27 fatorial vai ser 27 vezes 26 vezes 25 e vai caindo até chegar no 1. Este pedacinho aqui é exatamente este pedacinho de baixo, então a gente pode cancelar este com este. E o que a gente fez aqui, quando eu fiz dividido por (36 - 9) é porque estou pegando os 9 maiores números do 36 fatorial, que é exatamente o que a gente escolheu, os 9 maiores números do 36 fatorial. E depois no finalzinho, a gente pegou e dividiu por 9 fatorial aqui embaixo. Essencialmente essa é a fórmula de quando eu quero pegar 36 coisas e escolher 9 sem me importar com a ordem, 36 combinados 9 a 9. De forma geral, se a gente tem "n" e quer escolher "k" valores sem nos importarmos com a ordem, vai ser "n" fatorial dividido por (n - k) fatorial multiplicado por "k" fatorial novamente, ainda no denominador. E foi exatamente o que a gente fez nesse raciocínio. Ok, pessoal? Espero ter ajudado. Até a próxima!