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Generalização com coeficientes binomiais (um pouco avançado)

Transcrição de vídeo

no último vídeo calcular a probabilidade de tirarmos exatamente três caras se jogarmos uma moeda honesta cinco vezes em cinco lances de uma mesma moeda nesta o que eu vou fazer neste vídeo a pensar de uma maneira mais generalizada ainda o termo mais honesta mas logo você vai ver isso não é necessário mas o que eu quero calcular aqui é a probabilidade p gt k caras em n lances da moeda honesta da moeda honesta e a primeira coisa que nós vamos fazer aqui é pensar em quantas possibilidades anel vou ter ele lance de moeda vai lançar a moeda n vezes então literalmente vai ser 1 234 etcétera até a jogada m e para cada uma dessas jogadas aqui vou ter duas possibilidades se eu não vou te 22 vezes dois meses dois e tc x isso daqui até chegar num enézimo 2 e isso logicamente vai ser igual a 2 e levado à m ou seja 2 elevado a n possibilidades o cimi ltda agora vamos pensar na quantidade de possibilidades que isso aqui vai dar kaká caras é uma moeda nesta então já é cara ou coroa tem a mesma quantidade de chances de aparecer eu quero saber quantas vezes kaká caras vai aparecer aqui exatamente como nós fizemos aqui no caso das três caras aqui em cima eu vou também fazendo a seguinte maneira que embaixo olha só onde vem a primeira das caras tem possibilidade de sair dentro desse conjunto aqui sim ou não portanto em possibilidades ea segunda das caras têm e menos uma possibilidade sim ou não mas já vou ter eliminado uma já que eu coloquei uma das caras já portanto possa multiplicar isso daqui porém menos uma possibilidade a terceira das caras vai ter e nem menos duas possibilidades é ou não é se a gente continuar com esse raciocínio o número de elementos aqui que eu vou está multiplicando vai ser igual a car sim ou não já que eu tenho cá caras eu vou ter aqui a primeira das caras da segunda terceira quarta até o número cá e lá o último desses fatores vai cn - caminhos um é um é e aí você já pode pensar no caso onde n foi igual a 5 e o carro é igual a três meses anterior que nós fizemos portanto aqui nós vamos ter cinco vezes quatro vezes três esse três aqui no caso vai ser nosso último fator fez sua parte de cima e pouco mais longa está mais aqui como tenho apenas três caras são esses três fatores então só pra não te confundir aquilo que eu fiz aqui um pouquinho além do necessário só para não confundir a gente vai ter o seguinte n 2 e n possibilidades a primeira cara em menos uma segunda possibilidade de depois multiplicar por um monte de outros fatores até chegar na cara número cá e lá na cara número kawai cn - cá - um certo e agora vai ficar mais simples para entender o exemplo que eu dei é de cinco jogadas cinco lances de moeda e três caras portanto aqui eu vou ter cinco vezes quatro vezes como ele aqui é 5 95 - 2 isso vai ser igual a 3 portanto três aqui isso aqui não estamos calculando a continuar de maneira que eu posso colocar três caras em cinco espaços vazios certo e só pra gente não contará além do do que é necessário não quero diferenciar por exemplo não importando a ordem então não quero diferenciar a caracol denominei h a cara betume hb ea cara segundo mineiro a ser por exemplo e pra mim essa disposição por exemplo mas sem a mesma dessa aqui ó hc h&h b pra mim é a mesma coisa então que nós temos que fazer aqui é dividir todo esse número aqui pela região está se importando com a ordem eu vou dividir pelo número de maneira que eu possa ordenar cá coisas e aí de quantas maneiras diferentes eu possa ordenar cá coisas eu vou chamar de coisa número 1 a coisa número um de ter um a coisa número dois ao chamar de t2 a coisa número 3 de 3 e assim por diante até a coisa número carro chamado dtk é o seguinte eu tenho cá possibilidade para escolher pra coisa 1 tenho cá - uma possibilidade para escolher a coisa dois camelos dois pra coisa 3 até a última coisa que a coisa que vou ter apenas uma única posição pra ela né portanto aqui vou ter que dividir por cá vezes cai menos um desde k - dois até chegar na multiplicação por um no caso desse nosso exemplo aqui por exemplo nós fizemos três meses 2 vezes um certo mas será que tem alguma maneira mais fácil a gente escrever essa expressão repara só essa expressão aqui ó ela é a mesma coisa que cartorial é um é k fatorial e se você nunca ouviu falar em fatorial não sabe que é literalmente isso daqui oca fatorial é a mesma coisa que cá vezes cá - um vezes cá - 2 etc terá até vezes um então só pra gente ter como exemplo aqui é dois fatores ao é a mesma coisa que duas vezes 113 fatorial é a mesma coisa que três vezes 2 vezes vão estar claro quatro fatores ao é a mesma coisa de quatro vezes três vezes 2 vezes um isso aqui é uma coisa é legal para se fazer porque os fatores eles crescem muito muito muito rápido portanto que nós deduzimos aqui é que esse denominador pode ser inscrito como cá fatorial e agora será que dá para escrever esse numerador de maneira que eu tenha fatoriais vamos ver ora eu posso escrever o n fatorial por exemplo não chove como é que ficaria e fatorial show botar aqui mais para baixo um pouquinho n fatorial seria a mesma coisa que n vezes em menos 11 vezes em menos 2 até o vezes um também então já é mais ou menos o que a gente quer só que a única coisa que a gente está restringindo aqui eu quero os primeiros cá de siene fatorial sim ou não logo eu posso por exemplo aqui dividir e se ele fatorial por m - cá fatorial vamos ver como isso vai dar né pois bem ele - cá fatorial né vamos fazer um pouquinho de áudio aqui desse lado da igualdade ele - cá fatorial vai ser a mesma coisa aqui n - cá vezes n - cá - um certo ainda possam multiplicar aqui ó porém - kaká - dois até um certo e aqui se você observar matemática da coisa e se um vai ser simplificado e tudo isso daqui também vai ser simplificado com o o os números a dores desse essa expressão aqui de cima porque vai simplificar olha só se eu fizer a regra do sinal aquino eliminar os parentes aqui eu vou ter o n - car mais um sim ou não e se - km - crescimento de mais um então ele - que mais 1 portanto vou simplificar tudo até esse e menos ficar mais um dia que eu tenho aqui o enem - k&n menos ficar mais um é uma unidade a mais que esse número aqui é ou não é importante eu vou simplificar eu vou simplificar isso daqui com alguma coisa aqui no caminho isso aqui também se vai simplificar isso aqui também e tudo vai simplificar e o que vai me sobrar é exatamente essa expressão aqui no numerador certo você ainda não acredita em mim agora vamos testar então vão fazer o enem qual a 5 para aquele nosso exemplo e negócio que caiu a 3 olha só cinco fatores ao / 5 menos três fatores álbum enquanto isso vai dar horas daqui vai ser a mesma coisa que cinco vezes quatro vezes três vezes dois meses um aqui no numerador e um denominador vai ser 5 menos três fatores à ou seja dois fatores ao que é a mesma coisa aqui duas vezes 1 e aqui eu posso simplificar esse dois com esse 21 também não vai mudar nada mas eu simplifiquei e o que eu fico aqui de resposta exatamente cinco vezes quatro vezes três é exatamente como estive aqui em cima a cinco vezes quatro vezes três sim ou não portanto digamos que você queira é organizar alguma coisa e cinco cadeiras três coisas em cinco cadeiras você não se importa em diferenciar essas coisas a quantidade de possibilidades que você vai ter é exatamente essa expressão aqui ó não é que por sua vez como a gente acabou de ver é exatamente isso aqui ou seja ele fatorial sobre ele - cá fatorial e aí como você pode perceber que também ainda estou dividindo por cá fatorial ou seja o de vida de expressão aqui por cafu fatorial também e essa daqui é a fórmula geral para um coffee ciente binomial olha aí isso aqui vai ser a mesma coisa que o que a combinação de elementos tomados caaca ou ainda posso escrever assim n e cá ou seja que eu teria n espaços eu quero preencher conca caras certo então essas três maneiras aqui eu posso usar pra descrever um coeficiente binomial certo então voltando ao nosso problema original né qual é a probabilidade de se obter cara 100m lances de uma moeda nesta bom como a gente já viu aqui tem 2 elevado a n possibilidades iguais isso acontecer né ou seja jogar uma moeda honesta e obter cara ou coroa né são duas elevada n possibilidades então vamos escrever isto aqui ó eu tenho então duas elevada a n possibilidades e para obter exatamente cá quantidade de cargas hora a gente acabou de terminar aqui né é isso aqui ó certo ou seja eu vou ter o n fatorial sobre kaká fatorial n - cá fatorial ou seja pra mim até ok você gravar essa fórmula aqui mas o que eu gosto de fazer nos vídeos é sempre e também quando fazem exercício é sempre tentar reduzir essas formas que é muito legal né então na hora que eu vou calcular essa quantidade de coisas que eu quero calcular fácil desse jeito aqui beleza então é isso nós nos vemos no próximo vídeo