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Fórmulas explícitas de progressões aritméticas

Transcrição de vídeo

RKA - Nesse vídeo aqui vamos verificar se essa f(n) define de fato uma sequência, uma sequência numérica bem definida. Aqui, eu tenho o primeiro termo 12, depois 5, -2, -9 e assim por diante. Esse "n" segue até o infinito, beleza? Então, isso aqui vai gerar a seguinte sequência. Do 12 para o 5, eu estou tirando 7. Do 5 para o -2, eu tiro 7 novamente. Então, aqui eu vou ter 12, 5, -2, -9 e daí em diante. Então, cada novo termo da sequência é 7 a menos que o anterior. Eu posso dizer que a minha f(n), dá para a gente deduzir uma forma explícita para essa sequência, ela é o quê? Começa ali no número 12 e eu vou tirando 7 unidades a cada novo termo e vou multiplicar isso aqui por quanto agora? No primeiro termo, já tenho o 12 ali e eu estou tirando 7 unidades 0 vezes. Então, aqui seria um menos uma vez. Aqui no segundo termo, eu tiro 7 uma única vez. Então, você percebe que seria duas menos uma vez, ou seja, 2 - 1 = 1. Duas menos uma vez eu tiro o 7. Aqui no terceiro termo, eu tiro 7 uma, duas vezes, certo? Que é a mesma coisa que 3 - 1. Então, aqui teria que a f(n) = 12 - 7, que multiplica n - 1. Então, na enésima posição aqui, basta que eu pegue uma unidade a menos do que a enésima posição e multiplique por -7 que eu vou ter o termo certinho da sequência, ao somar com esse 12. Resumindo, a minha f(n) vai ser igual a 12 - 7 × (n - 1). Vamos fazer mais um então. Fazer mais um aqui embaixo. Está dada essa sequência aqui. O primeiro "n", segundo, terceiro, quarto termo da sequência e aqui eu venho com essa sequência, que você percebe que cada novo termo da sequência é 50 unidades a mais que o termo anterior. Então, o quê eu quero saber nessa parte do nosso vídeo é que você determine qual ou quais dessas definições explícitas determinam essa sequência aqui. Vamos tentar resolver isso daqui então. Aqui vai ser o seguinte. Vamos verificar se a primeira resolve o nosso problema. A sequência que foi formada é -100, -50, 0, 50 e assim em diante. E você percebe que de -100 para -50, eu preciso somar 50 unidades. Do -50 para o 0, eu somo 50 unidades também. Do 0 para 50, eu vou somar 50 e daí em diante. Agora você pode pausar o vídeo e tentar você pensar qual ou quais dessas definições aqui explícitas vão definir de fato essa nossa sequência. Pausou o vídeo? Então, vamos lá. A primeira eu tenho -100 + 50 × (n - 1). Então, é o seguinte. No primeiro termo, como isso vai funcionar, o F(1) vai ser -100 + 50 × 0, aqui vai dar zero. Eu vou ficar com 50 × 0, que vai dar 0 também. E vou ficar apenas com -100. O primeiro termo, de fato, é o -100. Funcionou. Para o segundo termo aqui, ficaria 2 - 1 = 1. 50 × 1 = 50. -100 + 50 = -50. Funcionou de novo. Agora para o 3. Para o 3, eu teria 3 - 1 = 2. 50 × 2 = 100. E 100 - 100 = 0. Funcionou. Essa nossa função, essa nossa definição vai funcionar sempre. Agora a segunda definição. Vai ser o seguinte: -150 + 50n. Para o primeiro termo, esse "n" vai ser igual a 1. Então, 50 × 1 = 50 - 150 = -100 aqui também. Vai dar esse -100 aqui, beleza? Agora para o segundo termo, o "n" = 2. Aqui eu vou ter 50 × 2 = 100. E 100 - 150 = -50. Perceba que para o terceiro termo, vai dar 150 - 150 = 0. Para o quarto termo, vai dar esse 50 aqui e a cada novo termo eu estou somando 50 unidades e vai dar certo também. Você pode falar assim: Mas são fórmulas diferentes. Só que não. Perceba que as fórmulas aqui são equivalentes Por quê? Porque eu posso muito bem fazer aqui assim a 50 × n, possa aplicar a distributiva. 50 × n = 50n e 50 × -1 = -50. E quando eu fizer -100 + isso, eu vou ter que essa parte aqui -100 - 50, vai me dar exatamente -150. E essa outra parte aqui 50n vai ser essa partezinha 50n. Então, você percebe que as duas definições explícitas aqui são completamente equivalentes. Agora vamos ver a última. Para a última, eu vou fazer uma tabelinha para facilitar nossa vida. Fazendo uma tabelinha aqui. Aqui eu vou ter o valor do "n" e aqui eu vou ter a minha f(n). Quando "n" = 1, a f(1) vai ser quanto? Vai ser -100 + 50 × 1. Quanto que dá isso aqui? Bom, 50 × 1 = 50. E 50 - 100 = -50. Já furou o primeiro termo. O primeiro termo deveria ser -100. Então, furou. Não deu certo. Essa daqui não vai fazer parte. Então, apenas essas duas primeiras aqui definem explicitamente essa sequência, beleza? Até o próximo vídeo!