Introdução ao arco cosseno

RKA3G - Eu já fiz um vídeo sobre o arco seno e o arco tangente. Agora, para completar, falta um vídeo sobre o arco cosseno. E como as outras funções trigonométricas inversas, a maneira de se pensar vai ser a mesma. Então, se eu te disser que o arco cosseno de "x" é igual a Θ (teta), isso é equivalente a dizer que o inverso de cosseno de x vai ser também igual a Θ. Estas são duas formas diferentes de se escrever a mesma coisa. Quando eu vejo arco alguma coisa ou o inverso de uma função trigonométrica, o meu cérebro automaticamente rearranja tudo isso. O meu cérebro imediatamente faz o seguinte: se eu calcular o cosseno de algum ângulo Θ, isso vai me dar um valor x. E essas duas coisas que escrevemos aqui em cima vai nisto aqui. Então, qual é o inverso do cosseno de x? Ora, meu cérebro logo pensa: qual vai ser o ângulo que, quando eu calculo o cosseno, vai dar igual a x? Bom, dito isso, vamos para um exemplo. Digamos que eu queira calcular o arco cosseno de -1/2. Qual vai ser, então, o arc cos(-1/2)? O meu cérebro sabe que isso aqui vai ser igual a um determinado ângulo, é o equivalente a dizer que o cosseno desse meu ângulo misterioso vai ser igual a -1/2. E sempre que eu coloco dessa forma, pelo menos para o meu cérebro, eu processo com mais facilidade. Vamos desenhar um círculo unitário. Este daqui vai ser meu eixo do y, este aqui, o eixo do x. Eu não sei se está perfeitamente reto, mas é só para você ter uma ideia. Agora eu vou desenhar o meu círculo unitário. Está mais para uma elipse unitária, mas tudo bem! É só para ter uma ideia. E o cosseno de um determinado ângulo, aqui no círculo unitário, vai ser a coordenada do x deste ponto. Deste ponto que vai estar sobre essa circunferência unitária aqui. Então, qual vai ser o ângulo onde a coordenada do x vai ser igual a -1/2? Nós temos que o -1/2 vai estar bem aqui. Esse ângulo Θ, que eu quero calcular, vai ser o ângulo que vai estar neste ponto aqui. Vou desenhar assim, esse vai ser Θ. Bom, este é o ângulo que eu preciso descobrir, este aqui é o ângulo Θ. E aí, qual vai ser o valor dele? Vou ter este triângulo e a maneira como eu gosto de pensar sobre isso é se eu consigo determinar, por exemplo, o valor deste ângulo aqui. Eu sei que para calcular o Θ, neste caso, vai ser 180 graus menos este ângulo verde. Daí eu vou ter a solução para o meu problema. Vamos ver se eu consigo fazer esse triângulo um pouquinho maior. Esse triângulo vai ser algo assim. E a distância, que vai ser essa mesma distância aqui, vai ser igual a 1/2. Esta outra distância bem aqui vai ser igual a 1, que é o raio do círculo unitário. Espero que você reconheça que este triângulo é aquele triângulo 30, 60, 90. Você poderia usar o teorema de Pitágoras para determinar que esse lado aqui é √3 sobre 2. Na verdade, vamos calcular, vamos ao teorema de Pitágoras para achar esse "a", vou chamar de "a". Então, vou ter que a² + (1/2)² = 1² Então, eu sei que a² = 1 - 1/4, que vai ser este 1/4 que foi lá para o outro lado, subtraindo. Eu sei que a² = 1, que vai dar 1 aqui, não é? E se eu subtrair dos dois lados por 1/4, que vai ser o resultado disto daqui, eu vou ter, então, que o resultado de a² vai ser 3/4. Quando eu extrair a raiz quadrada dos dois lados, eu vou ter que o "a" vai ser igual a √3/2. Eu sei que esse triângulo é aquele 30, 60, 90, por causa do valor dos lados, já que a hipotenusa é 1, um dos lados é 1/2 e o outro é √3/2. E como você sabe, o ângulo oposto a este lado de √3/2 é o ângulo de 60 graus. Este daqui vai ser o ângulo de 90 graus e, é claro, que este ângulo aqui vai ser o ângulo de 30 graus. Mas o ângulo que me interessa vai ser exatamente esse, porque é esse que eu preciso descobrir aqui, é ou não é? Então, se esse ângulo que acabamos de ver vale 60 graus, qual é o ângulo ao qual 60 graus é o ângulo suplementar? Eu sei que se eu somar estes dois ângulos aqui, de 60, mais este Θ, isso vai dar 180°. Daí eu já consigo escrever que o arc cos(-1/2) vai ser igual a: 180 - 60 =120°. Você entendeu? Então aqui vai ser 180 ° este ângulo todo e só este pedaço aqui vai ser igual a 120°. Sim ou não? E se eu quiser escrever isso em radianos, vai ser 120° multiplicado por π radianos para cada 180°. Os graus aqui vão se simplificar, então eu vou ter 12/18, vai dar 2/3. Então, vai ser 2/3(π) ou 2π/3 radianos. Portanto, este valor do Θ vai ser igual a 2π/3 radianos. E como você deve lembrar lá dos vídeos do arco seno e do arco tangente, você sabe, quando eu calculei aqui o cosseno de 2π/3 , que isso deu igual a -1/2. Você sabe que eu poderia continuar andando sobre este círculo unitário e parar nesse ponto aqui, e o cosseno deste ângulo vai ser também -1/2. E quando eu multiplicar isto por 2π, der uma volta completa, eu vou parar aqui de novo e vai dar -1/2 novamente. Então, existe uma porção de ângulos cujo cosseno vai ser igual a -1/2. Nós precisamos restringir os valores para essa função arco cosseno. Então, essencialmente, nós vamos restringir a imagem dessa função. Logo, o que eu vou fazer aqui vai ser restringir a imagem da função para o primeiro e o segundo quadrantes. O primeiro quadrante e o segundo quadrante. Portanto, se eu fizer a seguinte afirmação: que o arco cosseno de x é igual a Θ, eu vou precisar restringir o valor deste Θ aqui. Para o seguinte, Θ vai ser maior ou igual a zero e menor ou igual a π. Para que ele fique restrito lá no primeiro e no segundo quadrante. Se eu quiser escrever isto em graus, isso aqui, zero, é a mesma coisa que 0° e π é a mesma coisa que 180°. Então, a gente está restringindo a nossa imagem para esta parte aqui, para este hemisfério do círculo unitário. Daí a gente vai ter, neste caso, que este vai ser o único ponto cujo ângulo vai ter um cosseno de -1/2. Certo? Eu não vou poder mais considerar esse ângulo, pois ele vai estar fora da nossa imagem. E agora, quais serão os valores do x? Ora, quando eu calcular o cosseno desses ângulos, eu vou poder ter valores entre -1 e 1. E, portanto, o domínio dessa função, que são os valores do x esses valores serão os seguintes, o x vai precisar ser menor ou igual a 1 e maior ou igual a -1. Agora vamos verificar o nosso resultado na calculadora para saber se esse arco cosseno de 1/2, realmente, vai dar 2π/3 radianos. Eu vou usar, para isso, a nossa calculadora TI 85. Ela já está aqui ligada, eu vou limpar, vou verificar se ela está em radianos. Ela não está. Então, eu vou colocar aqui radianos. E o que eu preciso calcular vai ser o cosseno -1, o inverso do cosseno, de -0,5. Vamos ver quanto vai dar. Está aí, 2,09... etc. Deu esse número decimal meio estranho. Agora vamos ver se isso vai ser a mesma coisa que 2π/3. Vamos lá! 2 vezes π dividido por 3. Repare que deu exatamente a mesma coisa, mas beleza, esse número aqui é a resposta do nosso problema, só que ele não te dá uma resposta muito limpa como 2π/3, é uma resposta estranha. Eu não sei, exatamente, que isto aqui é 2π/3 só de olhar para este número. Portanto, quando eu olho para o círculo unitário e resolvo desta maneira aqui, eu percebo exatamente que este ângulo é o ângulo 2π/3 radianos. Certo? Aí eu consigo esta resposta, limpinha. Agora, vou fazer uma outra perguntinha. Se eu te perguntasse: quanto é o arco seno de x? E eu calculasse aqui o cosseno deste arco cosseno de x. Isto daqui seria igual a quanto? Pois bem, esta afirmação me diz que o arc cos x = Θ, o que também significa que o cosseno de Θ é igual a x. Logo, se o arc cos x = Θ, eu posso colocar o Θ no lugar desta informação. Mas o cosseno de Θ é x, logo, o cosseno de Θ vai ser igual a x. A resposta disto aqui é x. Eu espero não ter te confundido aqui. Mas o que eu fiz foi o seguinte, estou calculando o cosseno do arco cosseno de x. Como eu disse aqui em baixo, que o arco cosseno de x é igual a Θ, então eu posso substituir, no lugar deste arco cosseno de x, colocar o valor do Θ. Porque são coisas iguais, não são? E eu vou terminar com o quê? Com o cosseno de Θ. E quanto é o cosΘ? Eu coloquei aqui embaixo, é igual a x. Logo, o cosΘ vai ser igual a x. O valor disto aqui tudo vai dar x. Essas duas afirmações são equivalentes, você tem que ter isto em mente. E isso vai ser verdade para qualquer valor do x que você coloque aqui, tá? Qualquer valor entre -1 e 1, certo? Agora, vou fazer outra pergunta que pode te pegar desprevenido. Se eu quisesse calcular quanto é o arc cos (cosΘ). Quanto isso vai dar? A minha resposta vai ser a seguinte: este valor depende do valor do Θ. Se o Θ estiver na imagem que nós determinamos ali em cima, ou seja, um valor entre 0 e π. Logo, a resposta deste problema aqui é que isto vai ser igual a Θ, certo? Se isto daqui for verdadeiro pro Θ. E se eu pegar um valor de Θ que esteja fora desta imagem? Vamos tentar fazer aqui. Então, digamos que eu queira calcular o arc cos do cosseno de um ângulo, digamos, que a gente conheça. Aquele mesmo que deu ali em cima, de 2π/3. Ora, isso vai ser a mesma coisa que arc cos(-1/2), sim ou não? Já que o cos(2π/3) = -1/2. E você sabe, como nós resolvemos anteriormente neste vídeo, que o arc cos(-1/2) vai ser igual a quanto? A 2π/3. E aí você vê que funciona o arco cosseno do cosseno, deste ângulo aqui, deu quanto? Deu este próprio ângulo. Agora, digamos que eu queira calcular um outro arco cosseno aqui. Eu quero calcular o arco cosseno do cosseno de... Sei lá, deixe eu ver aqui. 3π. 3π, vamos lá! Deixa eu desenhar um círculo unitário de maneira bem rápida. Aqui está o eixo do y, aqui está o eixo do x. Onde está 3π? Ora, eu sei que 2π é se eu der uma volta completa ao redor deste círculo, não é? Então, uma volta completa é 2π, mais 1π. Isso vai me deixar aqui. Ou seja, dei uma volta e meia ao redor deste círculo. E qual vai ser a coordenada do x neste ponto? Ora, é -1. Então, o cos(3π) = -1. E agora, quanto vai ser, então, o arc cos(-1)? Basta você se lembrar que o valor do arco cosseno precisa estar neste hemisfério superior aqui. Tem que estar nesta imagem, ou seja, precisa ser um valor entre esse π, menor ou igual a π, e um valor maior ou igual a zero, certo? Portanto, o arc cos(-1) = π, certo? Já que o cosseno de 3π deu -1. Então, o arc cos(-1) vai dar igual a π, que vai ser exatamente esse ângulo aqui. E isso faz todo o sentido, pois a diferença entre 3π e π, é que para o 3π, você dá uma volta a mais ao redor do círculo unitário. Ou seja, o 3π e o -π têm um ponto equivalente aqui. Este ponto -1 serve tanto para 3π, quanto para o π. Ou seja, o que vai ser útil aqui para a gente? O cosseno do arco cosseno de x. Isso vai me dar, então, a resposta x. E a mesma coisa vai servir para o seno. O seno do arc sen(x) também vai ser igual a x. Você pode decorar, mas eu não recomendo que você decore, porque você pode decorar da maneira errada. Mas você pode pensar um pouquinho sobre isso. A gente se vê no próximo vídeo!