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Cálculo de valores trigonométricos a partir de identidades de soma de ângulos

Transcrição de vídeo

RKA - O que vamos tentar fazer no vídeo de hoje é achar o valor do seno de 7 pi (π) sobre 12, sem a ajuda da calculadora. Para isso, vamos pegar aqui o nosso círculo unitário. Um dos raios deste ângulo vai estar aqui sobre o eixo "x". E o outro raio, a gente pode pensar o seguinte: até este ponto aqui, que coincide com o eixo "y", é o ângulo π sobre 2, que é a mesma coisa que 6π sobre 12. Como a gente quer o ângulo 7π sobre 12, vai ser pouca coisa maior que isso. Então a gente pode dizer que vai estar mais ou menos aqui. Vamos pegar então este ângulo como sendo o ângulo 7π sobre 12. A gente também pode projetar o raio em relação ao eixo "y". A gente sabe que também podemos considerar este comprimento aqui, o comprimento deste segmento como sendo o seno de 7π sobre 12. E é isso que a gente quer descobrir. Eu proponho que você pause o vídeo e use todos os seus conhecimentos sobre trigonometria para tentar fazer isso sozinho. Descobrir o seno de 7π sobre 12 é basicamente o comprimento deste segmento cor de rosa. Supondo que você tenha tentado solucionar o problema, imagino que, assim como eu, você se concentrou em relação a este triângulo retângulo que a gente formou aqui. Vamos colocar ele aqui. Este aqui é o lado que nós estamos tentando descobrir, que vale seno de 7π sobre 12. A gente tem o outro lado do triângulo bem aqui. E aqui a gente forma o nosso triângulo retângulo. A gente sabe que esta hipotenusa vale 1, e este ângulo aqui é este pedacinho aqui. Se tudo vale 7π sobre 12, e até aqui nós temos 6π sobre 12, este ângulo aqui de dentro, eu sei que vale π sobre 12. E, de alguma forma, eu posso tentar relacionar estes dois lados usando alguma relação trigonométrica já estudada. Até porque este lado cor de rosa que a gente quer descobrir é o lado adjacente ao ângulo que a gente sabe quanto vale. Quando a gente observa que este lado é o adjacente ao ângulo π sobre 12, a gente conclui: já que a hipotenusa vale 1, que ele é o cosseno de π sobre 12. E aí a gente tem a informação, então, que o seno de 7π sobre 12 é igual ao cosseno de π sobre 12. Mas realmente isso não ajuda muito, porque a gente não consegue calcular sem a ajuda de uma calculadora o cosseno de π sobre 12. Então, ao invés de irmos por esse caminho, vamos tentar outra coisa. Vamos tentar decompor este ângulo em alguns outros ângulos. E que nós saibamos o valor desses outros ângulos do seno e do cosseno. E que ângulos são esses? Esses são ângulos especiais de triângulos retângulo. Um triângulo retângulo bem conhecido, por exemplo, é o triângulo 30-60-90. Vamos desenhá-lo aqui, por exemplo. Aqui a gente vai ter o triângulo, vamos desenhá-lo. Bom, só que ao invés de usarmos graus, como a gente está trabalhando com π radianos, vamos usar π radianos. O ângulo aqui que seria de 30 graus, eu sei que é π sobre 6. O ângulo que seria de 60 graus, eu vou escrever π sobre 3, e obviamente que esse aqui vai ser o ângulo reto. Se a hipotenusa vale 1, o lado oposto ao ângulo que vale 30 graus, eu sei que vale 1 sobre 2. E o lado oposto ao ângulo que vale 60 graus, ou π sobre 3 radiano, eu sei que vale raiz de 3 sobre 2. Este nosso triângulo já foi usado anteriormente para a gente descobrir o seno e o cosseno de 30 e 60, ou melhor, de π sobre 6 radianos e π sobre 3 radianos. Ou seja, estes dois ângulos, para nós, são ângulos conhecidos. Outro tipo de triângulo que a gente também já estudou, é o triângulo retângulo isósceles, aquele que possui dois lados congruentes. Por exemplo, este triângulo aqui, onde eu vou colocar este lado aqui congruente com o mesmo comprimento que este aqui. Então eu digo que aqui vale 90 graus, e como estes dois lados são congruentes, estes dois ângulos possuem o mesmo valor, no caso, 45 graus, ou π sobre 4 radianos. Então aqui vale π sobre 4 radianos, e aqui também vale π sobre 4 radianos. Considerando que esta hipotenusa vale 1, vendo a definição do teorema de Pitágoras, que cada um destes lados vai valer raiz de 2 sobre 2. Na verdade ele vale raiz de 2 sobre 2 vezes a hipotenusa. Como no nosso exemplo a hipotenusa vale 1, um destes lados vai valer apenas raiz de 2 sobre 2. Então eu posso, usando as definições clássicas de triângulo retângulo, ou as definições de SOH-CAH-TOA, ou colocando cada um destes ângulos aqui no círculo unitário e usando as definições de funções trigonométricas no círculo unitário, achar o seno, o cosseno e a tangente também de cada um destes ângulos, por isso eles são conhecidos. O que temos que fazer aqui é decompor 7π sobre 12, usando π sobre 6, π sobre 3 e π sobre 4. Para facilitar o nosso raciocínio, vamos colocar todos estes ângulos com o denominador 12. Então se quisermos escrever π sobre 6 usando o denominador 12, é a mesma coisa escrever 2π sobre 12. π sobre 4 usando o denominador 12, é a mesma coisa que escrevermos 3π sobre 12. E π sobre 3 usando o denominador 12, é a mesma coisa que escrevermos 4π sobre 12. O que nós temos que fazer? Se somarmos 2π sobre 12 com 4π sobre 12, não chegaremos a 7π sobre 12, muito menos 2π sobre 12 com 3π sobre 12. Porém, se usarmos 3π sobre 12 e 4π sobre 12, chegaremos em 7π sobre 12. Então o que vamos escrever agora é seno de 7π sobre 12 como sendo a soma de: seno de 3π sobre 12 + 4π sobre 12. Bom, também sabemos que 3π sobre 12 pode ser escrito como π sobre 4, então π sobre 4 mais... 4π sobre 12, podemos escrever como sendo π sobre 3. E agora vamos utilizar a fórmula do seno da soma de dois ângulos para poder calcular isso. Bem, vamos desenvolver, então, a fórmula do seno da soma de dois ângulos para poder calcular isto aqui. Isto a gente pode falar que é igual a: sen.(π sobre 4) vezes cos.(π sobre 3) + cos.(π sobre 4) vezes o sen.(π sobre 3). Agora vamos analisar para ver qual o valor de cada uma destas funções. Bem, então vamos descobrir quanto vale cada um destes valores aqui. O seno de π sobre 4, quanto será que vale? Aqui está π sobre 4. Seno de π sobre 4, vai ser o lado oposto em relação a π sobre 4. Então em relação a π sobre 4, nós temos este lado aqui, que vale raiz de 2 sobre 2, é o lado oposto sobre a hipotenusa, como a hipotenusa vale 1, o seno vai ser só este valor aqui. Então o seno de π sobre 4 vale raiz de 2 sobre 2. Cosseno de π sobre 3. E sobre 3 está aqui. Para a gente achar o cosseno de π sobre 3, a gente só tem que saber que cosseno é o valor adjacente, o lado adjacente sobre a hipotenusa. Como a hipotenusa vale 1, e o lado adjacente vale 1/2, o cosseno de π sobre 3 vai valer 1/2. Cosseno de π sobre 4. Aqui está π sobre 4. O lado adjacente está aqui sobre a hipotenusa que vale 1. Então o cosseno de π sobre 4 vai ser raiz de 2 sobre 2. E, finalmente, o seno de π sobre 3. Aqui está π sobre 3, e o seno é o lado oposto sobre a hipotenusa. A hipotenusa vale 1, o lado oposto é raiz de 3 sobre 2. Então, o seno de π sobre 3 vai ser a raiz de 3 sobre 2. E agora o que temos que fazer é multiplicar todo mundo e depois somar. Vamos primeiro resolver esta multiplicação. Esta multiplicação aqui é igual à raiz de 2 sobre 4 mais... esta outra multiplicação aqui podemos dizer que vale raiz de 6 sobre 4. Então tudo isso aqui nós podemos dizer que é igual à raiz de 2 + raiz de 6, tudo isso sobre 4. E finalmente chegamos no resultado que queríamos. Seno de 7π sobre 12, ou até o cosseno de π sobre 12 é igual à (raiz de 2 + raiz de 6) sobre 4. Até um próximo vídeo!