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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 3
Lição 5: Módulo (valor absoluto) e argumento (ângulo) de números complexos- Módulo de números complexos
- Módulo (valor absoluto) de números complexos
- Valor absoluto e ângulo de números complexos
- Ângulo de números complexos
- Números complexos a partir do valor absoluto e ângulo
- Revisão do módulo e ângulo de números complexos
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Revisão do módulo e ângulo de números complexos
Revise seus conhecimentos sobre as características dos números complexos: módulo e ângulo. Converta entre eles e a representação retangular de um número.
| Valor absoluto de a, plus, b, i | \mid, z, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root | |
| Ângulo de a, plus, b, i | theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis | |
| Forma retangular do valor absoluto r e ângulo theta | r, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, r, s, e, n, left parenthesis, theta, right parenthesis, dot, i |
O que são o módulo e o ângulo de números complexos?
Estamos acostumados a escrever números complexos na sua forma retangular, que nos dá suas partes start color #11accd, start text, r, e, a, i, s, end text, end color #11accd e start color #1fab54, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, i, a, s, end text, end color #1fab54. Por exemplo, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i.
Podemos colocar os números no plano complexo de acordo com suas partes:
Considerando graficamente, há outra maneira de descrever números complexos únicos — seu start color #e07d10, start text, m, o, with, \', on top, d, u, l, o, end text, end color #e07d10 e start color #aa87ff, start text, a, with, \^, on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff:
start color #e07d10, start text, V, a, l, o, r, space, a, b, s, o, l, u, t, o, end text, end color #e07d10, ou start color #e07d10, start text, m, o, with, \', on top, d, u, l, o, end text, end color #e07d10, nos dá a distância do número até a origem no plano complexo, enquanto o start color #aa87ff, start text, a, with, \^, on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff, ou start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, o, end text, end color #aa87ff, é o ângulo que o número forma com o eixo real positivo.
O módulo de um número complexo z é escrito da mesma forma que o módulo de um número real, vertical bar, z, vertical bar.
Quer aprender mais sobre módulo e ângulo de números complexos? Confira este vídeo.
Prática 1: cálculo de módulos
Para calcular o módulo de um número complexo, tiramos a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes (esse é um resultado direto do teorema de Pitágoras):
Por exemplo, o módulo de start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i é square root of, start color #11accd, 3, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Quer resolver outros problemas como esse? Confira este exercício.
Prática 2: cálculo de ângulos
Para calcular o ângulo de um número complexo, tiramos a tangente inversa da razão entre suas partes:
Isso resulta do uso de trigonometria no triângulo retângulo formado pelo número e o eixo real.
Exemplo 1: quadrante start text, I, end text
Vamos calcular o ângulo de start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i:
Exemplo 2: quadrante start text, I, I, end text
Vamos calcular o ângulo de start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i. Primeiro, observe que start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i está no quadrante start text, I, I, end text.
minus, 53, degrees está no quadrante start text, I, V, end text, não no start text, I, I, end text. Nós devemos somar 180, degrees para obter o ângulo oposto:
Quer tentar mais problemas como esse? Confira este exercício.
Prática 3: forma retangular a partir do módulo e ângulo
Para encontrar as partes reais e imaginárias de números complexos a partir do seu valor absoluto e ângulo, multiplicamos o valor absoluto pelo seno ou cosseno do ângulo:
Isso resulta do uso de trigonometria no triângulo retângulo formado pelo número e o eixo real.
Por exemplo, essa é a forma retangular do número complexo cujo módulo é start color #e07d10, 2, end color #e07d10 e ângulo é start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff:
Quer tentar mais problemas como esse? Confira este exercício.
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Quando se apresentam o valor absoluto de |z| = 3 e angulo = 20 graus, por exemplo está apresentado que negrito a=|z|cos20 e a resposta sendo como 2.819, porém, quando calculo o valor está diferente: a = 3 x 0,408 = 1,224. Onde estou errando? O mesmo está acontecendo com o seno...(2 votos)
Provavelmente você deve estar apertando o botão cosseno da sua calculadora antes de conferir se ela está regulada para graus.(2 votos)
este tipo de exercício se usa muito em calculo?(2 votos)
Sim, porém quando se estuda uma disciplina chamada de Análise Complexa ou Funções de Variáveis Complexas, o Cálculo Diferencial e Integral é muito aplicado.(2 votos)
- Meus estudos no Khan Academy tem sido muito produtivos. Gosto do tanto de exercícios e aplicações que a plataforma tem. É uma pena as discussões e comentários serem normalmente de anos atrás.(1 voto)