Quando se apresentam o valor absoluto de |z| = 3 e angulo = 20 graus, por exemplo está apresentado que *negrito* a=|z|cos20 e a resposta sendo como 2.819, porém, quando calculo o valor está diferente: a = 3 x 0,408 = 1,224. Onde estou errando? O mesmo está acontecendo com o seno...

Provavelmente você deve estar apertando o botão cosseno da sua calculadora antes de conferir se ela está regulada para graus.

este tipo de exercício se usa muito em calculo?

Sim, porém quando se estuda uma disciplina chamada de Análise Complexa ou Funções de Variáveis Complexas, o Cálculo Diferencial e Integral é muito aplicado.

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Curso: Pré-cálculo > Unidade 3

Lição 5: Módulo (valor absoluto) e argumento (ângulo) de números complexos

Revisão do módulo e ângulo de números complexos

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Revise seus conhecimentos sobre as características dos números complexos: módulo e ângulo. Converta entre eles e a representação retangular de um número.


Valor absoluto de $a + b i$ ‍		$∣ z ∣= \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ‍
Ângulo de $a + b i$ ‍		$θ = {tg}^{- 1} (\frac{b}{a})$ ‍
Forma retangular do valor absoluto $r$ ‍ e ângulo $θ$ ‍		$r \cos (θ) + r sen (θ) \cdot i$ ‍

O que são o módulo e o ângulo de números complexos?

Estamos acostumados a escrever números complexos na sua forma retangular, que nos dá suas partes

reais

imaginárias

. Por exemplo,

3 + 4 i

Podemos colocar os números no plano complexo de acordo com suas partes:

Considerando graficamente, há outra maneira de descrever números complexos únicos — seu

módulo

ângulo

Valor absoluto

, ou

módulo

, nos dá a distância do número até a origem no plano complexo, enquanto o

ângulo

, ou

argumento

, é o ângulo que o número forma com o eixo real positivo.

O módulo de um número complexo

z

é escrito da mesma forma que o módulo de um número real,

| z |

Quer aprender mais sobre módulo e ângulo de números complexos? Confira este vídeo.

Prática 1: cálculo de módulos

Para calcular o módulo de um número complexo, tiramos a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes (esse é um resultado direto do teorema de Pitágoras):

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Por exemplo, o módulo de

3 + 4 i

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

Problema 1.1

| 3 + 7 i | =

Dê uma resposta exata.

Quer resolver outros problemas como esse? Confira este exercício.

Prática 2: cálculo de ângulos

Para calcular o ângulo de um número complexo, tiramos a tangente inversa da razão entre suas partes:

θ = {tg}^{- 1} (\frac{b}{a})

Isso resulta do uso de trigonometria no triângulo retângulo formado pelo número e o eixo real.

Exemplo 1: quadrante $I$ ‍

Vamos calcular o ângulo de

3 + 4 i

{tg}^{- 1} (\frac{4}{3}) \approx 53^{\circ}

Exemplo 2: quadrante $II$ ‍

Vamos calcular o ângulo de

- 3 + 4 i

. Primeiro, observe que

- 3 + 4 i

está no quadrante

II

{tg}^{- 1} (\frac{4}{- 3}) \approx - 53^{\circ}

- 53^{\circ}

está no quadrante

IV

, não no

II

. Nós devemos somar

180^{\circ}

para obter o ângulo oposto:

- 53^{\circ} + 180^{\circ} = 127^{\circ}

Problema 2.1

z = 1 + 4 i

θ =

^{\circ}

Arredonde sua resposta, se necessário, para a primeira casa decimal. Expresse $θ$ ‍ entre $- 180^{\circ}$ ‍ e $180^{\circ}$ ‍.

Quer tentar mais problemas como esse? Confira este exercício.

Prática 3: forma retangular a partir do módulo e ângulo

Para encontrar as partes reais e imaginárias de números complexos a partir do seu valor absoluto e ângulo, multiplicamos o valor absoluto pelo seno ou cosseno do ângulo:

\overset{a}{\overset{⏞}{r \cos (θ)}} + \overset{b}{\overset{⏞}{r sen (θ)}} \cdot i

Isso resulta do uso de trigonometria no triângulo retângulo formado pelo número e o eixo real.

Por exemplo, essa é a forma retangular do número complexo cujo módulo é

2

e ângulo é

30^{\circ}

2 \cos (30^{\circ}) + 2 sen (30^{\circ}) i = \sqrt{3} + 1 i

Problema 3.1

| z_{1} | = 3

θ_{1} = 20^{\circ}

z_{1} =

i

Arredonde suas respostas para a terceira casa decimal.

Quer tentar mais problemas como esse? Confira este exercício.

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1500511
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “Quando se apresentam o va...” de 1500511
Quando se apresentam o valor absoluto de |z| = 3 e angulo = 20 graus, por exemplo está apresentado que negrito a=|z|cos20 e a resposta sendo como 2.819, porém, quando calculo o valor está diferente: a = 3 x 0,408 = 1,224. Onde estou errando? O mesmo está acontecendo com o seno...
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- everton.falanqui
  Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “Provavelmente você deve e...” de everton.falanqui
  Provavelmente você deve estar apertando o botão cosseno da sua calculadora antes de conferir se ela está regulada para graus.
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Arbex Baiesta
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “este tipo de exercício se...” de Arbex Baiesta
este tipo de exercício se usa muito em calculo?
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- Rennan Rodrigues
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Sim, porém quando se estu...” de Rennan Rodrigues
  Sim, porém quando se estuda uma disciplina chamada de Análise Complexa ou Funções de Variáveis Complexas, o Cálculo Diferencial e Integral é muito aplicado.
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Kenny
Publicado há há 10 meses. Link direto para a postagem “Meus estudos no Khan Acad...” de Kenny
Meus estudos no Khan Academy tem sido muito produtivos. Gosto do tanto de exercícios e aplicações que a plataforma tem. É uma pena as discussões e comentários serem normalmente de anos atrás.
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