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Revisão do módulo e ângulo de números complexos

Revise seus conhecimentos sobre as características dos números complexos: módulo e ângulo. Converta entre eles e a representação retangular de um número.
Valor absoluto de a, plus, b, i\mid, z, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Ângulo de a, plus, b, itheta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Forma retangular do valor absoluto r e ângulo thetar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, r, s, e, n, left parenthesis, theta, right parenthesis, dot, i

O que são o módulo e o ângulo de números complexos?

Estamos acostumados a escrever números complexos na sua forma retangular, que nos dá suas partes start color #11accd, start text, r, e, a, i, s, end text, end color #11accd e start color #1fab54, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, i, a, s, end text, end color #1fab54. Por exemplo, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i.
Podemos colocar os números no plano complexo de acordo com suas partes:
Considerando graficamente, há outra maneira de descrever números complexos únicos — seu start color #e07d10, start text, m, o, with, \', on top, d, u, l, o, end text, end color #e07d10 e start color #aa87ff, start text, a, with, \^, on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff:
start color #e07d10, start text, V, a, l, o, r, space, a, b, s, o, l, u, t, o, end text, end color #e07d10, ou start color #e07d10, start text, m, o, with, \', on top, d, u, l, o, end text, end color #e07d10, nos dá a distância do número até a origem no plano complexo, enquanto o start color #aa87ff, start text, a, with, \^, on top, n, g, u, l, o, end text, end color #aa87ff, ou start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, o, end text, end color #aa87ff, é o ângulo que o número forma com o eixo real positivo.
O módulo de um número complexo z é escrito da mesma forma que o módulo de um número real, vertical bar, z, vertical bar.
Quer aprender mais sobre módulo e ângulo de números complexos? Confira este vídeo.

Prática 1: cálculo de módulos

Para calcular o módulo de um número complexo, tiramos a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes (esse é um resultado direto do teorema de Pitágoras):
vertical bar, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, i, vertical bar, equals, square root of, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, end square root
Por exemplo, o módulo de start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i é square root of, start color #11accd, 3, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Problema 1.1
  • Atual
vertical bar, 3, plus, 7, i, vertical bar, equals

Dê uma resposta exata.

Quer resolver outros problemas como esse? Confira este exercício.

Prática 2: cálculo de ângulos

Para calcular o ângulo de um número complexo, tiramos a tangente inversa da razão entre suas partes:
theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, b, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction, right parenthesis
Isso resulta do uso de trigonometria no triângulo retângulo formado pelo número e o eixo real.

Exemplo 1: quadrante start text, I, end text

Vamos calcular o ângulo de start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i:
t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees

Exemplo 2: quadrante start text, I, I, end text

Vamos calcular o ângulo de start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i. Primeiro, observe que start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i está no quadrante start text, I, I, end text.
t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
minus, 53, degrees está no quadrante start text, I, V, end text, não no start text, I, I, end text. Nós devemos somar 180, degrees para obter o ângulo oposto:
minus, 53, degrees, plus, 180, degrees, equals, 127, degrees
Problema 2.1
  • Atual
z, equals, 1, plus, 4, i
theta, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Arredonde sua resposta, se necessário, para a primeira casa decimal. Expresse theta entre minus, 180, degrees e 180, degrees.

Quer tentar mais problemas como esse? Confira este exercício.

Prática 3: forma retangular a partir do módulo e ângulo

Para encontrar as partes reais e imaginárias de números complexos a partir do seu valor absoluto e ângulo, multiplicamos o valor absoluto pelo seno ou cosseno do ângulo:
start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #11accd, a, end color #11accd, end superscript, plus, start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, s, e, n, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #1fab54, b, end color #1fab54, end superscript, dot, i
Isso resulta do uso de trigonometria no triângulo retângulo formado pelo número e o eixo real.
Por exemplo, essa é a forma retangular do número complexo cujo módulo é start color #e07d10, 2, end color #e07d10 e ângulo é start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff:
start color #e07d10, 2, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, s, e, n, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, i, equals, start color #11accd, square root of, 3, end square root, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, i
Problema 3.1
  • Atual
vertical bar, z, start subscript, 1, end subscript, vertical bar, equals, 3 e theta, start subscript, 1, end subscript, equals, 20, degrees
z, start subscript, 1, end subscript, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
+
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
i
Arredonde suas respostas para a terceira casa decimal.

Quer tentar mais problemas como esse? Confira este exercício.

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