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Transcrição de vídeo

olá pessoal prontos para mais um vídeo e o que eu quero fazer neste vídeo é ter certeza que a gente está bem acostumado a representar visualizar e escrever as várias anotações para um número complexo o número com plexo vamos pegar aqui o meu número z z vai ser geralmente o nome mais comum de um número complexo e chamaremos de a + b i o meu número é chamado de complexo justamente porque ele tem uma parte real só isso aqui a minha parte real e também ele tem uma parte imaginária e imaginária inclusive existe uma função não é que a gente coloca nela o número complexo ea imagem dessa função que ela vai nos resultar é a parte real essa função r e dizer vai resultar na parte real de um número complexo então a imagem dessa função aqui vai ser no caso a e também temos uma função onde a gente coloca o número complexo ea imagem dessa função ou seja que ela resulta vai ser o cara que está multiplicando e à parte imaginária então b para quem quer b e não besim então para reforçar aqui b mesmo sendo um número real é o resultado da função parte imaginária do meu número complexo z é o cara que multiplica a unidade imaginária vamos a próxima parte uma ótima maneira de representar os números reais é e para o diagrama de argan vamos lá vamos fazer aqui o diagrama de argan que é muito parecido com o plano cartesiano né só que ao invés de ter x e y e x e xi e y eu tenho aqui o eixo da parte real certo e aqui o eixo da parte imaginária do meu número prefeito pessoal ok mas como é que a gente vai representar um número complexo neste diagrama esse é o seguinte a parte real é é a então vou marcar o aac o na parte a parte mas na área b então a gente marca aqui no egito cenários o bê que o meu número complexo melzer vai ser um vetor de posição com coordenadas a e b então ele vai estar mais ou menos aqui o ponto que representa usê e ele vai ser o vetor que sai do 0 0 e chega até o ponto de coordenada saber certo então esse aqui é o vetor zinho que representa o meu número complexos e z então está muito bem representado nesse pontinho aqui há mais bem mas você pode pensar e essa não é a única maneira de descrever esse pontinho eu poderia muito bem se eu tiver acostumado com coordenada popular representar o ponto falando do ângulo que ele faz aqui com o eixo dos reais vão chamar esse ângulo de fi e da distância da magnitude dessa distância que que ele está em relação ao ponto zero zero vamos chamar isso de r então se eu der o ângulo e uma distância eu consigo muito bem representar esse mesmo pontinho dando alguns nomes aos bois aqui eu posso chamar esse ângulo de argumento tá sempre que você ouve falar de argumento de um número complexo é esse ângulo aqui entre o eixo dos reais e o vetor que representa o número completo e essa distância que representou r vai ser o que a gente chama de módulo ou até magnitude ou então valor absoluto o meu número complexos e vamos ver como é que a gente calcula esses valores aqui vamos calcular primeiro o r o nosso r que é o módulo do nosso número complexo ea gente pode ver de forma clara como que isso é calcular só esse tamanho aqui ó é b na verdade não é uma distância b esse carinha que essa distância sem avaliar e aqui a gente tem um triângulo retângulo na verdade não basta usar o teorema de pitágoras se eu tenho um cateto com um tamanho b e outro cateto com o tamanho a basta eu sou mal quadrado dos dois e tirar raiz né esse é o teorema de pitágoras então é ficar aqui pra gente que o rq é o nosso módulo é igual a raiz quadrada de a quadrado mas b ao quadrado e se eu fizer calcular o valor do argumento valor do meu ângulo fi vamos tentar pensar nisso aqui eu tenho esse bebê eu tenho se á então vamos pensar que relação trigonométrica é usa do cateto que está o posto e o cateto que está adjacente ao meu orgulho não lembra vamos tentar ver aquela mini mônica famosa só acatou a só cá tô tão sendo o posto hipotenusa cosseno adjacente hipotenusa tangente o posto e adjacente então relação que vai ter o posto e adjacente para mim vai ser tangente até rima tão à tangente do meu argumento é igual a cateto o posto por catorze recente então ecb sobre a bom mas aqui a gente tem o valor da tangente do argumento não o argumento para descobrir o argumento a gente tem que ver o arco cuja tangente vai receber sobre a relação inversa né da tangente ao arco tangente beleza pessoal então dado o número complexo descobrirmos como calcular o seu módulo sua magnitude e também como calcular o seu argumento e se a gente tivesse feito o contrário tivesse dado o módulo e o ângulo de quisesse descobrir qual seria o número complexo que a gente estava falando então vamos colocar que foram dados o módulo e o ângulo fi isso é que foi me dado essa distância e foi me dado esse ângulo basta tentar usar essas fórmulas trigonométricas aqui para descobrir é esse tamanho a esse tamanho b por exemplo se eu usar o cosseno do meu ângulo fi o cosseno de fifa vai ser cateto adjacente pela hipotenusa então a sobre r sobre r multiplicando r dos dois lados da equação eu tenho que r vezes cosseno de fi vai ser igual a e de forma muito parecida a gente faz para descobrir o bê igual descobrimos que a r vezes cosseno fique como b é cateto oposto do meu filho vou usar oceanos e no df vai ser dividido por r multiplicando os dois lados por r eu tenho que r vezes sem no fi só pode ser igual ao meu bebê vamos aí ver vou pegar um pouquinho mais de espaço aqui pra baixo pra gente nós usei então pode ser escrito aqui como sendo o primeiro a parte real à parte ao a que vale r vezes cosseno dif somado com a parte imaginária que é o bic r 100 no dfi multiplicado é claro uri ok se é igual a a + b então podemos descrever como é ricos e no fi mas rc no fim vezes e a + b e isso aqui pode tornar algo muito muito interessante se você já conhece já viu falar na fórmula de olha vamos colocar isso aqui em evidência e tentar escrever isso de uma forma um pouco diferente isso vai ficar em r vezes então aqui dentro do parente escocês e no fi mas vou escrever e aqui na frente tá só por comodidade e vezes sendo fi iraque coloquei r evidência ficou r multiplica cosseno firma existe no fim mas o que essa parte aqui o que nessa parte significa se você já viu meus vídeos sobre a expansão a fórmula de taylor no nos vídeos sobre cálculo você deve lembrar que essa aqui é a fórmula de olha é uma fórmula 1 resultado que até hoje não me deixa arrepiado então portanto pela fórmula de olha esse carinho aqui ó esse carinho aqui esse carinho aqui vai ser igual a e elevado aí vezes o ângulo fi irradiamos tá esse ângulo fiuk vai estar em rádio am a gente consegue mostrar isso usando a expansão de ter para a elevada x e pela expansão de ter do concelho de fafe o cosseno de x e também do oceano de x toque então esse pedacinho aqui é elevado aí vezes fi confiem radian anos portanto music pode ser inscrito também como rq multiplica e elevado aí ver esses fim onde r é a magnitude é o módulo do meu número e fiel argumento olha só que legal então descobrimos que a gente tem agora duas maneiras de escrever o meu número complexo seja da forma a + b ii ou então podemos escrever da forma exponencial que é o módulo x elevado aí veio o argumento dele e essa maneira de escrever aqui ó a gente vai mostrar durante o curso que é muito útil principalmente a gente estiver procurando raízes de números pra você entender melhor vamos pegar e fazer um exemplo numérico digamos que eu tenho aqui um número z1 que vai ser igual a raiz de 3 sobre dois somado com o meio e e vamos tentar escrever esse números e um na forma exponencial pra isso eu preciso descobrir qual que é o seu módulo e qual é o seu argumento vamos calcular o módulo dizer um e como a gente viu aqui neste vídeo é só pegar o quadrado da parte ao então três quartos somado com o quadrado da parte imaginária então um quarto é meio elevada ao quadrado um quarto round 3 sobre dois é da quadra três quartos e eu tiro a raiz desses caras raiz quadrada bom ficou então como raiz quadrada de quatro quartos que é a raiz de um então o módulo né magnitude do meu z1 é um unidade vamos ver com que fica no plano complexo colocando aqui o eixo dos imaginários né o eixo da parte imaginária e o eixo da parte real o eixo da parte real vamos representar que o z usei a partir dele é de 3 sobre dois é de 3 é mais ou menos um ponto 7 metamorphosis disso é algo um pouco menor que 1 tão digamos que é um e aqui mais ou menos vai ser meu raiz de 3 sobre dois já o aparte mas na área vale meio essa aqui é o aqui é metade então aqui vale o meu seu então está representado por este pontinho aqui o este vetor aqui vetor de magnitude um de módulo beleza então descobrimos o módulo pra minha proposta e falta achar o valor do meu ângulo é do meu argumento fi quando será que valesse fi para descobrir o valor de fio a gente pode pegar alguns caminhos todos envolvendo um pouquinho de trigonometria pra começar a gente tem que que esse carinho e esse catetinho tem valor e meio esse outro catetinho aqui ó em valor raio de 3 sobre dois então a gente conclui que a tangente do meu argumento fim vai ser cateto o posto por cateto adjacente então meio / raiz de 3 sobre dois bombons eu não quero a tangente do ângulo que era tangente o argumento eu quero o ângulo basta eu tirar o arco tangente dos dois lados então fica aqui o meu filho é o arco tangente deste carinho aqui para melhorar um pouquinho vou x 2 em cima e embaixo da minha fração fica então um sobre a rede 3g só então calcular qual arco tem tangente 11 sobre r 3 sua calculadora pode fazer isso sem problema nenhum ou então a gente pode pegar por exemplo seno né senão é cateto oposto / hipotenusa oceno do meu filho vai ser meio dividido por um ou seja meio ea gente pode também colocar uma calculadora e pensar qual é o ângulo que tem sendo valendo meio bom aqui no primeiro quadrante só pode ser de 30 graus no lembrou coloca na calculadora não tem problema mas então a gente viu que esse fiac vale 30 graus porém aquela representação exponencial aqui só aceita se o nosso argumento tiverem radian anos não é então 30 graus em radian anos é igual ap sobre seis radian anos na virilha então vamos lá vamos escrever esse número zinho de outra forma vamos escrever ele na forma exponencial então museum vai ser igual a o meu r 1.000 r que é o módulo os seja um vezes vezes e elevado ao argumento vezes e tão elevado ap sobre seis vezes e aqui pessoal temos uma outra forma de escrever o meu número complexo na forma exponencial escreveu número complexos é um ok espero ter ajudado e até o próximo vídeo