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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 3
Lição 2: Distância e ponto médio de números complexosDistância e ponto médio de números complexos.
Neste vídeo, calculamos a distância entre (2+3i) e (-5-i), e então encontramos o ponto médio entre eles no plano complexo. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL – Olá, pessoal! Prontos
para mais um vídeo? Olha só, temos aqui
dois números complexos: o número complexo "z",
que é 2 mais 3𝓲, e o número complexo "w",
que é igual a -5 menos 𝓲. E o que eu vou fazer
neste vídeo é colocar esses números
no plano complexo e tentar descobrir qual é a distância
entre eles nesse plano. E depois, vamos ver se existe
ou qual é o número que está exatamente
na metade desta distância. Um outro meio
de interpretar isso é: qual será o ponto médio
desses dois números complexos? Então, uma sugestão
para você: pause o vídeo um pouquinho e tente resolver esse problema antes de ver como que eu vou fazer, antes de ver
minha solução. Como eu disse que farei tudo isso no plano complexo,
vamos começar desenhando-o, então. Primeiro,
o eixo dos imaginários e agora aqui,
perpendicularmente, o eixo dos reais, eixo da parte real. Vamos graduar
nosso eixo. Para caber esse cara
aqui no eixo real, vamos lá, um, dois, três,
quatro, cinco para a direita e um, dois, três, quatro,
cinco para a esquerda. Aqui na parte imaginária,
vamos colocar mais um, dois, três, quatro,
está bom e um, dois, três, quatro
aqui para baixo também. Vamos representar esses números
no plano complexo. Temos aqui o "z",
que é 2 mais 3 vezes 𝓲. Então, na parte real
temos 2, e na parte imaginária,
como é 3 vezes 𝓲, eu subo três
aqui na parte imaginária. O número "z" fica, então,
mais ou menos aqui. Aqui é o meu número "z". E para colocar o "w",
que é -5 menos 𝓲, eu vou cinco para a esquerda
no eixo dos reais, um, dois, três, quatro, cinco,
então aqui é -5. E como é -1𝓲,
então -1𝓲 aqui. Portanto, aqui está
o nosso ponto "w". A primeira coisa
que eu propus para vocês foi que a gente descobrisse
a distância entre esses dois pontos. E para descobrir essa distância
temos que, basicamente, medir o tamanho
desse segmento aqui. Então vamos medir
o tamanho do segmento, que é, basicamente,
usar o teorema de Pitágoras. Você pode falar
que a gente pode usar aquela fórmula que a gente vê
em geometria analítica de distância
entre dois pontos, mas aquela fórmula
é nada mais, nada menos, que o teorema de Pitágoras
aplicado, quer ver? Vamos pensar um pouquinho
sobre o assunto. A primeira coisa
que vou analisar aqui é quanto foi percorrido
no eixo real. Do "w" até "z" a gente vem
daqui do -5 até 2. A gente percorre essa distância aqui do "w" até "z". E essa distância é de
sete unidades, não é verdade? Daqui até aqui
foram cinco unidades e para chegar até aqui,
mais duas. Então, sete unidades,
certo? Esse segmento roxinho aqui
tem sete unidades. Podemos pensar também
da seguinte maneira: 2 menos -5 é igual a 7,
não é verdade? Então esse tamanho aqui é 7. E quanto será a distância percorrida
aqui no eixo imaginário? Eu vou do -1 até 3. Então aqui é uma unidade e com mais três,
quatro no eixo imaginário. Esse tamanho vai ser o quanto eu percorro
e tem quatro unidades. Pensando
daquela mesma forma, eu posso fazer 3 menos -1
é igual a 4. Olha só, pessoal: temos aqui
nosso triângulo retângulo. E como é um triângulo retângulo,
basta eu usar o teorema de Pitágoras. Como eu quero descobrir
esse comprimento, eu quero descobrir a hipotenusa.
Chamemos de "x". Por Pitágoras, então, x² é igual a 7² somado com 4²,
não é verdade? Ou podemos dizer
que a minha hipotenusa, o meu x é igual
à raiz quadrada do quê? Desse 7²,
que é 49, somado com 4²,
que é igual a 16. Então nossa distância,
nosso x vai ser √65. Encontramos! A distância entre "w" e "z"
é igual √65. Vamos ver se dá
para a gente fatorar para simplificar essa raiz. 65, se eu fatorar,
é 13 vezes 5, então não me ajuda muito. Vamos deixar
dessa maneira. Nosso x é igual √65, que é o número
um pouquinho maior que 8. Agora, vamos
para próxima pergunta: qual será
o número complexo que está na metade
desta distância, que está exatamente na metade
da distância entre "w" e "z"? Ou seja, qual é o ponto médio
de "w" e "z"? Para achar esse cara, que vou
chamar de ponto médio, não é tão difícil. É só pegar a metade do caminho
aqui no eixo real e a metade do caminho
aqui no eixo imaginário. Vamos chamar esse ponto
de "M". A parte real do nosso M
vai ser a média dessas partes reais. E o que é
fazer a média? É somar
e dividir por 2. Então isso aqui vai dar 2
somado com -5 e isso eu divido por 2 mais... a média
na parte imaginária, que vai ser igual a 3
somado com -1 e isso eu vou
dividir por 2. Claro que a parte imaginária
é multiplicada por 𝓲. Resolvendo aqui
as continhas, 2 somado com -5 dá -3,
dividido por 2 é -3/2. 3 somado com -1 é 2, então isso aqui
vai ficar 2 dividido por 2, que é 1. Portanto, mais 1 vez 𝓲,
ou seja, mais 𝓲. -3/2 mais 𝓲
é o nosso ponto médio. E se a gente o colocar aqui
no nosso plano complexo, você verá que faz muito sentido, quer ver? -3/2 é mais ou menos aqui, e 1 na parte imaginária é aqui. Quando eu junto essas coordenadas,
dá esse pontinho. É claro que meu desenho
não é tão perfeito assim, mas dá para perceber
que esse ponto M é justamente o ponto médio
de "w" e "z". OK, pessoal. Até o próximo vídeo!