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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 3
Lição 3: Conjugados complexos e divisão de números complexosIntrodução aos conjugados de números complexos
Neste vídeo, explicamos o que é o conjugado de um número complexo, e mostramos como o produto de um número complexo e seu conjugado é sempre um número real. Versão original criada por Sal Khan.
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- Há reflexão em relação ao eixo dos Imaginários? Qual seria seu nome?(4 votos)
Transcrição de vídeo
RKA4JL – Olá, pessoal!
Prontos para mais um vídeo? Neste vídeo, eu quero esclarecer
uma coisinha para vocês e já aproveitar para colocar
mais uma ferramenta no nosso arsenal
de números complexos. No primeiro vídeo, eu chamei
um número complexo de "z", que é igual a
(a mais b𝓲 ). E ao falar
do meu número complexo, eu falei que aqui
eu tinha minha parte real e aqui a gente tem,
claramente, um número imaginário. Vou escrever aqui,
"número imaginário". Mas pela força do hábito,
pelo costume e sem muito prejuízo, eu sempre chamo isso
de parte imaginária. Porém, se a gente for encarar isso
de maneira formal, a parte real seria a imagem
da função Re do meu z, Re(z). A parte real do “z”
é, de fato, "a". A parte imaginária
é a imagem dessa função aqui e a parte imaginária, então,
não vai ser (b vezes 𝓲). Vai ser, no fundo,
apenas um múltiplo do 𝓲. A parte imaginária
é só "b". Mas por hábito, até porque é mais fácil
para minha cabeça pensar assim, eu sempre falo,
por exemplo, se fosse 3 mais 2𝓲, eu chamaria 2𝓲
de parte imaginária. Então fique com isso
na cabeça: parte imaginária,
formalmente falando, é o multiplicador do 𝓲. Eu acho que o nome
"parte imaginária" para o "b" é um nome meio furado porque isso
não é o número imaginário. O número imaginário é
(b vezes 𝓲). O resultado da função aqui,
a parte imaginária, é um número real. O meu "b"
é o número real. Mas não fui eu quem formalizou.
A formalização é essa. Vamos para a parte
onde a gente aprende uma nova ferramenta
para nosso arsenal, certo? E o carinha que a gente
vai conhecer agora é chamado de conjugado
de um número complexo. Esse é meu número complexo "z",
(a mais b𝓲). O que vou chamar
de conjugado, vou pegar o z,
colocar um tracinho em cima e isso vai significar
que eu estou falando do conjugado. Em alguns livros, ao invés
do tracinho em cima, se escreve z* (lê-se “z asterisco” ou “z estrela", como alguns gostam de falar). E será para a gente
(a menos b𝓲). Vamos ver como é que fica
esse negócio no plano complexo? Vamos desenhar aqui, primeiro,
o meu eixo dos reais. Agora, o eixo
da parte imaginária. Vou colocar aqui o imaginário
e aqui a parte real. Digamos que aqui está
o meu "z". "z" está representado
por esse vetor, aqui onde está projetado
na parte real é "a", e aqui no eixo dos imaginários
a gente projeta "b". (a mais b𝓲). (a menos b𝓲), reparem que terá
a mesma parte real, mas na parte imaginária
vai ser -b. É esse mesmo tamanho,
só que aqui na parte debaixo. Então aqui é -b e aqui é meu “z barra", ou conjugado
de "z". Vocês repararam que
o conjugado de "z", na verdade, é a reflexão, em relação ao eixo x,
do meu "z"? É como se aqui tivesse
um espelho. Aqui você tem o "z" e aqui embaixo
o reflexo desse "z". Vamos fazer a soma? Pelo menos a soma
de uma forma visual aqui desses dois vetores
que representam? Lembra
como soma um vetor? Eu pego esse aqui
e translado para cá, de forma que o traseirinho deste
fique na cabecinha desse. Então vamos lá. Trago o vetor que representa
meu "z barra" aqui e desenho aqui,
formando um paralelogramo. Então esse pontinho aqui vai representar a soma de "z"
com "z conjugado". Vou traçar do traseirinho do primeiro até a pontinha do outro:
vai ser o meu vetor soma. Então este é meu vetor soma
de "z" mais "z barra", que claramente
vai ser 2 vezes "a". A gente pode fazer isso também
de forma algébrica para ficar mais claro. "z" é igual (a mais b𝓲) mais o conjugado de "z", então somar com o conjugado
é somar com (a menos b𝓲). Isso aqui dá zero. Então sobrou "a" mais "a"
que é igual a 2a. Só para escrever de uma maneira diferente,
só porque a gente pode, eu posso falar que se eu somar o "z"
com o conjugado dele vai ser sempre igual
a duas vezes a parte real de "z", não é verdade?
Inclusive, posso falar que é duas vezes a parte real
do conjugado de "z", porque tanto o conjugado quanto "z"
têm a mesma parte real. Mas vou deixar
como "z" apenas. Dito isso, vamos dar uma utilidade prática
para o nosso conjugado, que tal? Digamos que eu tenha aqui
o número complexo (1 mais 2𝓲) e eu estou o dividindo
por (4 menos 5𝓲). Digamos que eu não gosto de ter
um "𝓲" no denominador, ou digamos que eu queira
representar esse número como um número complexo só
em vez de dois números complexos, ou eu queira saber uma maneira
de tentar simplificar essa expressão. Um dos modos de fazer isso é multiplicar o numerador
e o denominador pelo conjugado do debaixo,
pelo conjugado do denominador. Veja só:
vezes (4 mais 5𝓲) e aqui dividido
por (4 mais 5𝓲). Veja que, essencialmente,
usar o conjugado é trocar o sinal
da parte imaginária, não é? Reparem que, se eu multiplicar
em cima e embaixo pelo mesmo número, na verdade eu estarei
multiplicando por 1. Afinal, se eu cortar aqui dá 1. Eu não estou alterando
o valor do meu número. Então qual vai ser
a vantagem? A vantagem é que sempre que eu pego
um número e multiplico pelo conjugado, o resultado vai ser
um número real, um número
sem parte imaginária. Então vamos fazer esta continha
para ver como é que fica. Isso aqui
vai ser igual... Deixe-me arrumar um pouquinho
de espaço para a gente. Lembre-se que quando a gente fizer
esse produto é isso vezes isso e aqui embaixo também. Então vamos lá. 1 vez 4
e 1 vez 5𝓲 vai ficar
4 mais 5𝓲. Multiplicar por 1
não muda muita coisa. Agora eu vou fazer
2𝓲 vezes esses caras. 2𝓲 vezes 4
vai ser 8𝓲. 2𝓲 vezes 5𝓲
vai ser 10 vezes 𝓲². O 𝓲 ² vale -1,
então vai ficar -10. Vamos fazer, então, aqui
a parte debaixo. Então dividido... Olhe só, pessoal: isso é
uma diferença de quadrados já fatorada. Quando eu pego (a menos b)
vezes (a mais b), o resultado é (a² menos b²),
lembra? Então é o que
eu vou fazer aqui. Aqui vai ser o primeiro ao quadrado
menos o segundo ao quadrado. Continuando nossa continha, no numerador
vamos somar as partes reais. 4 somado com -10 dá -6. Aqui onde eu tenho
números imaginários: 5𝓲 mais 8𝓲,
então mais 13𝓲. Dividido... E olhe só,
no denominador vai ficar assim: Esse número aqui é 16 e 5𝓲² vai ficar 5², 25
e 𝓲² é -1, ou seja, -25 é esse valor aqui. Porém eu tenho aqui
um sinal de menos. “menos” com “menos”
dá “mais”, o que eu tenho, na verdade,
é 16 mais 25. E 16 mais 25 vai dar 41. Portanto, o que eu tenho aqui
é -6/41 na parte real somado com 13/41 multiplicando por 𝓲. Alcançamos, então,
nosso objetivo. Só para resumir para você. A grande utilidade
do nosso conjugado é a seguinte: se eu pegar um número complexo "z"
e multiplicar pelo conjugado dele, o resultado vai ser
um número real. Só um "parênteses" aqui: se eu fizer conjugado do conjugado
dá o próprio número. "z" vezes seu conjugado
vai ser um número real, veja só: z é (a mais b𝓲), que eu vou multiplicar
por (a menos b𝓲). Como isso é
uma diferença de quadrados, o resultado é
a² menos (b𝓲)². Ao elevar "b𝓲" ao quadrado,
fica b² vezes -1, portanto esse cara aqui
é (a² mais b²), que é um número real. E por curiosidade, a gente ainda pode
falar que isso aqui, na verdade, é o quadrado do módulo
do meu número complexo "z", ou então o quadrado da magnitude
do meu número complexo "z". OK, pessoal. Espero que
vocês tenham visto a utilidade do conjugado. Até o próximo vídeo!