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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 3
Lição 4: Identidades com números complexosNúmeros complexos e fatoração da soma de dois quadrados
Aprenda como expressões na forma x^2+y^2 podem ser fatoradas em fatores lineares. Isso não seria possível sem a ajuda dos números complexos! Versão original criada por Sal Khan.
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- como isso simplifica o calculo?(3 votos)
- Isso simplifica o calculo porque é muito mais fácil fatorar uma diferença de quadrados do que uma soma de quadrados, então o que você faz é transformar o problema de soma de quadrados em uma diferença. Isso é muitas vezes feito em matemática ou ate em outras disciplinas: se você não sabe resolver o problema, por que não tentar reformular a pergunta? Ou então resolver um problema parecido antes? Ou resolver um problema mais geral ou quem sabe mais especifico para compreender bem o que você poderia fazer naquele determinado problema. Você pode sempre resolver os problemas de várias maneiras diferentes e na maioria das vezes existe uma maneira mais fácil e rápida de resolver do que a forma que você resolveu.Como dizia Polya: "Um problema nunca está realmente terminado"(8 votos)
Transcrição de vídeo
RKA4JL – Olá, pessoal!
Prontos para mais um vídeo? Há um tempo atrás,
lá no curso de álgebra, a gente aprendeu
a fatorar coisas do tipo (x² menos y²). Inclusive chamamos isso
de diferença de quadrados. Vimos que essa expressão
poderia ser escrita como (x mais y) multiplicado por
(x menos y). Afinal, se eu multiplicar
esses caras aqui, eu vou chegar novamente em
(x² - y²), quer ver? Vamos fazer isso aqui,
só para brincar um pouco. Se eu fizer x vezes x,
eu tenho x². Se eu fizer x vezes -y,
eu tenho -xy y vezes x, +xy e y vezes -y é -y². Esses carinhas
eu acabo cancelando e o que me sobra é (x² menos y²),
não é verdade? E agora vamos
para o assunto principal desse vídeo, que vai ser tentar fatorar
uma soma de quadrados ou seja, quero tentar fatorar
essa expressão aqui: x² somado com y². Antes da gente aprender
o que era um número imaginário e o que era
um número complexo, não tinha como
eu fazer essa fatoração. Mas agora,
com os números complexos, a gente vai conseguir. Inclusive eu sugiro
que você pause o vídeo e tente fazer
antes de mim. Então vamos lá,
vamos começar. Bom pessoal, a estratégia
que eu vou usar aqui é tentar usar
a unidade imaginária para fazer
essa soma de quadrados virar uma diferença de quadrados, porque a diferença
eu sei como fazer para fatorar. Então, primeiramente posso escrever
esse x² mais y² como sendo
x² subtraído de -y², afinal, “menos” com “menos”
dá “mais”. Subtrair o oposto
é a mesma coisa que somar, só que escrever -y²
é a mesma coisa que fazer -1 vez y²,
ou seja, isso aqui é -1 vez y. E por definição, a gente tem
que -1 é igual a 𝓲². Essa é a nossa definição
de 𝓲². 𝓲² é igual a -1. Vamos reescrever
agora este valor usando essa igualdade
que a gente acabou de lembrar. Portanto, temos aqui
x² menos… Agora, ao invés de usar -1,
eu vou usar esse 𝓲². Então vai ficar
x² menos 𝓲² vezes y². Agora eu acho
que você percebeu aonde a gente vai
com essa história aqui. Mas eu quero deixar isso
bem explícito, bem mastigadinho
para você. Então a gente tem
que isso vai ser x² - (𝓲 vezes y)². Pronto, pessoal. Temos aqui
nossa diferença de quadrados. Usando o nosso número 𝓲,
a nossa unidade imaginária, consegui escrever
essa soma de quadrados como se fosse
uma diferença de quadrados. E diferença de quadrados
a gente consegue fatorar. Isso aqui vai ser,
então, x somado com 𝓲 vezes y e isso aqui vou multiplicar por
(x menos 𝓲 vezes y), E pronto. Fizemos aqui a nossa fatoração
de uma soma de quadrados. Podemos verificar
multiplicando esses termos aqui e vendo que vai chegar
em x² mais y², quer ver? Vamos fazer para nos divertir
um pouquinho. Vamos lá. Realizando o produto,
então, x vezes x, x². Agora x multiplicado por
-𝓲 vezes y vai dar -𝓲xy mais 𝓲 y multiplicado por x
vai dar +𝓲xy Para finalizar,
mais 𝓲y multiplicado por -𝓲y vai dar -𝓲²y². E do que resultou aqui
-𝓲xy com +𝓲xy, isso aqui dá zero.
A gente pode cancelar. Novamente, por definição,
𝓲² é -1, então esse carinha aqui
é -1. E menos -1
vai dar +1. Subtrair um negativo
é a mesma coisa que somar. Então, sobrou aqui
x² somado com y². Eu espero que com isso
você tenha tido um deslumbre de algumas das utilidades
da nossa unidade imaginária, do nosso 𝓲 . Afinal,
com a ajuda do 𝓲 a gente conseguiu fatorar
uma soma de quadrados. OK, pessoal. Espero
que vocês tenham gostado e até o próximo vídeo!