Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Revisão da forma polar de número complexo

Revise a forma polar de números complexos e use-a para multiplicar, dividir e calcular potências de números complexos.

O que é a forma polar?

r(cosθ+isenθ)
A forma polar enfatiza as características gráficas dos números complexos: módulo (a distância do número até a origem no plano complexo) e ângulo (o ângulo que o número forma com o eixo real positivo). Elas também são chamadas de valor absoluto e argumento.
Observe que, se expandirmos os parênteses na representação polar, obteremos a forma retangular do número:
Quer aprender mais sobre a forma polar de um número complexo? Confira este vídeo.
Quer aprender mais sobre as diferentes formas dos números complexos? Confira este artigo.
Quer aprender mais sobre como converter para formas retangulares e polares? Confira este artigo.

Conjunto de exercícios 1: multiplicação e divisão na forma polar

A forma polar é realmente útil para multiplicar e dividir números complexos:
z1=r1(cosθ1+isenθ1)z2=r2(cosθ2+isenθ2)z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)]z1z2=r1r2[cos(θ1θ2)+isen(θ1θ2)]
Quer aprender mais sobre multiplicação e divisão na forma polar? Confira este vídeo.
Problema 1.1
w1=5[cos(15)+isen(15)]
w2=3[cos(45)+isen(45)]
w1w2=

Sua resposta deve estar na forma polar. O ângulo deve ser dado em graus.

Quer resolver outros problemas como esse? Confira este exercício.

Conjunto de exercícios 2: potências de números complexos na forma polar

z1=r1(cosθ1+isenθ1)(z1)n=(r1)n[cos(nθ1)+isen(nθ1)]

Exemplo 1

Vamos calcular (1+3i)6. Primeiro, nós convertemos para a forma polar:
(1+3i)=2(cos60+isen60)
Agora usamos a regra acima:
=[2(cos60+isen60)]6=(2)6[cos(660)+isen(660)]=64(cos360+isen360)=64(1+i0)=64

Exemplo 2

Vamos encontrar as soluções para a equação z3=27. Primeiro, definimos r e θ como sendo o módulo e o ângulo de z. Então z3 é r3[cos(3θ)+isen(3θ)].
O número 27 pode ser escrito como 27[cos(k360)+isen(k360)].
Obtemos duas equações da equação principal z3=27:
r3=27
3θ=k360
A solução da primeira equação é r=3. A solução da segunda equação é θ=k120, que tem três soluções distintas: 0, 120, e 240. Estas correspondem às seguintes três soluções:
z1=3z2=32+332iz3=32332i
Problema 2.1
(2+2i)6=

Quer resolver outros problemas como esse? Confira este exercício.

Quer participar da conversa?

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.