O problema é que o sistema da Khan não aceita nossa digitação da forma polar: 15[cos(60°)+isen(60°)]

Ela só aceita se usarmos somente parênteses, sem colchete.

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Curso: Pré-cálculo > Unidade 3

Lição 8: Multiplicação e divisão de números complexos na forma polar

Revisão da forma polar de número complexo

Revise a forma polar de números complexos e use-a para multiplicar, dividir e calcular potências de números complexos.

O que é a forma polar?

r (\cos θ + i sen θ)

A forma polar enfatiza as características gráficas dos números complexos:

módulo

(a distância do número até a origem no plano complexo) e

ângulo

(o ângulo que o número forma com o eixo real positivo). Elas também são chamadas de

valor absoluto

argumento

Observe que, se expandirmos os parênteses na representação polar, obteremos a forma retangular do número:

Quer aprender mais sobre a forma polar de um número complexo? Confira este vídeo.
Quer aprender mais sobre as diferentes formas dos números complexos? Confira este artigo.
Quer aprender mais sobre como converter para formas retangulares e polares? Confira este artigo.

Conjunto de exercícios 1: multiplicação e divisão na forma polar

A forma polar é realmente útil para multiplicar e dividir números complexos:

\begin{aligned} z_{1} & = r_{1} (\cos θ_{1} + i sen θ_{1}) \\ z_{2} & = r_{2} (\cos θ_{2} + i sen θ_{2}) \\ ⇓ \\ z_{1} z_{2} & = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sen (θ_{1} + θ_{2})] \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} & = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i sen (θ_{1} - θ_{2})] \end{aligned}

Quer aprender mais sobre multiplicação e divisão na forma polar? Confira este vídeo.

Problema 1.1

w_{1} = 5 [\cos (15^{\circ}) + i sen (15^{\circ})]

w_{2} = 3 [\cos (45^{\circ}) + i sen (45^{\circ})]

w_{1} \cdot w_{2} =

Sua resposta deve estar na forma polar. O ângulo deve ser dado em graus.

Quer resolver outros problemas como esse? Confira este exercício.

Conjunto de exercícios 2: potências de números complexos na forma polar

\begin{aligned} z_{1} & = r_{1} (\cos θ_{1} + i sen θ_{1}) \\ ⇓ \\ (z_{1})^{n} & = (r_{1})^{n} [\cos (n \cdot θ_{1}) + i sen (n \cdot θ_{1})] \end{aligned}

Exemplo 1

Vamos calcular

(1 + \sqrt{3} i)^{6}

. Primeiro, nós convertemos para a forma polar:

(1 + \sqrt{3} i) = 2 (\cos 60^{\circ} + i sen 60^{\circ})

Agora usamos a regra acima:

\begin{aligned} [2 (\cos 60^{\circ} + i sen 60^{\circ})]^{6} \\ = (2)^{6} [\cos (6 \cdot 60^{\circ}) + i sen (6 \cdot 60^{\circ})] \\ = 64 (\cos 360^{\circ} + i sen 360^{\circ}) \\ = 64 (1 + i \cdot 0) \\ = 64 \end{aligned}

Exemplo 2

Vamos encontrar as soluções para a equação

z^{3} = 27

. Primeiro, definimos

r

θ

como sendo o módulo e o ângulo de

z

. Então

z^{3}

r^{3} [\cos (3 \cdot θ) + i sen (3 \cdot θ)]

O número

27

pode ser escrito como

27 [\cos (k \cdot 360^{\circ}) + i sen (k \cdot 360^{\circ})]

Obtemos duas equações da equação principal

z^{3} = 27

r^{3} = 27

3 \cdot θ = k \cdot 360^{\circ}

A solução da primeira equação é

r = 3

. A solução da segunda equação é

θ = k \cdot 120^{\circ}

, que tem três soluções distintas:

0^{\circ}

120^{\circ}

, e

240^{\circ}

. Estas correspondem às seguintes três soluções:

\begin{aligned} z_{1} & = 3 \\ z_{2} & = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} i \\ z_{3} & = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2} i \end{aligned}

Problema 2.1

(\sqrt{2} + \sqrt{2} i)^{6} =

Quer resolver outros problemas como esse? Confira este exercício.

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Pedro Fuziwara
Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “bugadão namoral, eu resol...” de Pedro Fuziwara
bugadão namoral, eu resolvo e fala que não está adequado, ai na resposta ta escrito a msm coisa, ai eu copio e colo a resposta e fala que tb não esta adequado. blz
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(2 votos)
Resposta
- professor.patrik.miranda
  Publicado há há 14 dias. Link direto para a postagem “Ele não aceita o símbolo ...” de professor.patrik.miranda
  Ele não aceita o símbolo °, basta escrevê-lo sem.
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Jair Martins
Publicado há há 2 anos. Link direto para a postagem “O problema é que o sistem...” de Jair Martins
O problema é que o sistema da Khan não aceita nossa digitação da forma polar: 15[cos(60°)+isen(60°)]
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Resposta
- Osmar Caio
  Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “Ela só aceita se usarmos ...” de Osmar Caio
  Ela só aceita se usarmos somente parênteses, sem colchete.
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