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Curso: Pré-cálculo > Unidade 3
Lição 8: Multiplicação e divisão de números complexos na forma polarEquações com números complexos: x³=1
Neste vídeo, calculamos todas as soluções complexas da equação x^3=1. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL – Olá, pessoal!
Prontos para mais um vídeo? Neste vídeo
a gente vai entender porque a forma exponencial
de um número complexo é tão útil. Digamos que a gente quer
resolver a equação: x elevado ao cubo
é igual a 1 e queremos encontrar
todas as raízes reais ou complexas
dessa equaçãozinha. Escrevendo de outra forma,
essa equação seria x³ menos 1 é igual a zero e queremos encontrar todas
suas raízes reais ou complexas. É claro que existem
outras técnicas que não envolvem
colocar um número complexo na sua forma exponencial, porém, essa técnica
que a gente vai ver neste vídeo pode resolver para
x¹³ menos 1 igual a zero, x²⁰ menos 1 igual a zero,
x¹⁸⁰ menos 1 igual a zero, além de a gente notar um padrão
para esse tipo de equação, principalmente se a gente estiver olhando na representação dessas raízes no plano complexo, no diagrama de Argand-Gauss. Então, para isso, vamos ver a representação
do diagrama de Argand-Gauss do número "z" igual a 1. 1 é um número complexo. Claro que ele é um número real, mas todo o número real também é um número complexo, afinal os reais são um subconjunto dos complexos. Esse é um número complexo
sem a parte imaginária. Vamos, então, desenhar aqui
no diagrama de Argand-Gauss. Aqui é meu eixo imaginário e aqui é meu eixo real. Vamos nomeá-los: "imaginário" e "real". Vamos colocar o número 1
em todos os quadrantes. Então aqui é 1, aqui também é 1, aqui é -1, e aqui também é -1. Sua representação no plano complexo
vai ser esse vetorzinho aqui. Ele não tem parte imaginária,
então a parte real igual a 1 e parte imaginário igual a zero. Será esse vetorzinho aqui. Então o vetor com a pontinha
no ponto (1,0), afinal podemos escrever esse número aqui
como se fosse 1 mais zero 𝓲. Agora vamos colocar esse número
em sua forma exponencial. Para isso, eu preciso do módulo do meu "z",
que é bem simples de encontrar. O módulo de 1 é 1. A magnitude desse vetor aqui é 1.
Veja o tamanho dele é 1. Não preciso fazer muita conta
para achar isso. E o argumento?
Qual será o argumento do meu "z"? Qual será o ângulo
que esse vetor faz com a parte positiva
do meu eixo real? Mas ele está na parte positiva
do eixo real. Então o ângulo
que a gente tem aqui é zero. O que a gente descobriu até agora
não é muito interessante, afinal a gente pode escrever
esse 1 como sendo 1 vez
"e" elevado a (zero vez 𝓲), o que é um tanto óbvio,
não é verdade? Porque zero vez 𝓲
é zero, qualquer número
elevado a zero é 1. 1 vez 1 é 1. Então vamos deixar isso
um pouquinho mais interessante. Afinal, o argumento
desse ângulo eu posso escrever de forma equivalente,
de um outro jeito diferente de zero, pois eu posso dar uma volta completa aqui no meu plano complexo e chegar no mesmo lugar. Então posso vir aqui, dar uma volta completa no meu plano, e chegar aqui novamente
no meu ponto que representa o número 1. Então o argumento do meu número 1
pode ser zero ou então posso escrever
que o argumento é 2π, ou então, ao invés de uma volta,
darei duas e falarei que o argumento
é, na verdade, 4π, ou então 6π, 8π ou qualquer múltiplo de 2π
que eu quiser, não é verdade? Assim, eu posso escrever
o meu número 1 como "e" elevado a 2π vezes 𝓲, eu não preciso escrever o número 1
aqui multiplicando. Ou então "e" elevado a
4π vezes 𝓲. Isso é bem bacana,
bem legal, porque eu posso escrever
essa minha equação aqui de várias maneiras. Posso falar que a equação
x³ igual a 1, ou então x³ igual a
"e" elevado a 2π 𝓲, ou até mesmo x³ é igual a
"e" elevado a 4π vezes 𝓲. Afinal, todos esses números aqui
representam o número 1. Vamos agora resolver essas equações
aqui para encontrar o valor de x. Vou elevar os dois lados
de cada uma delas a ⅓ e assim poderei encontrar
o valor do x. Elevando também aqui
a ⅓ os dois lados e aqui também vou elevar
os dois lados a ⅓. A nossa primeira equação vai ficar
x igual a 1 elevado a ⅓. Mas isso aqui é igual a 1. Nessa segunda equação,
temos que x é igual a... Agora basta eu multiplicar
os expoentes. Então vai ficar "e" elevado a
2π sobre 3 (vezes 𝓲) e na última equação
vai ficar x é igual a "e" elevado a
4π sobre 3 vezes 𝓲. Olhe só que interessante: temos aqui três raízes diferentes
para a minha equação. Vamos até colocar
que esse aqui é meu x₁, esse é o x₂ e esse é o meu x₃.
3 raízes diferentes. A primeira raiz é bem óbvia. De fato, 1 é raiz
dessa equação. Se eu pegar 1 e elevá-lo ao cubo
vai dar 1, vai ser verdade a minha expressão aqui. Agora vamos tentar ver
essas duas aqui, o que isso vai significar
para a gente. Primeiro, qual é o módulo
desses números complexos? O módulo de x₂
é claramente 1. O cara que está acompanhando aqui,
quem está multiplicando é 1. No x₃, também tenho
um módulo valendo 1. E o argumento? O argumento do x₂
(vamos colocar aqui φ₂) é 2π sobre 3. E o argumento do meu x₃
(vamos colocar φ₃ aqui) é 4π sobre 3. Então, como eu desenharia meu x₂
aqui no meu plano complexo? O módulo continua sendo 1 e o ângulo
é 2π sobre 3. Acho que consigo visualizar melhor
se eu falar do ângulo em graus. 2π são 360 graus, dividido por 3
são 120 graus. Então meu número complexo
vai ser mais ou menos aqui. Esse carinha aqui
tem um ângulo de 120 graus, ou então 2π sobre 3 radianos. Para dar uma colorida, vou pintar esse carinha aqui
do mesmo verde para a gente saber melhor
com quem está trabalhando. Então esse primeiro
já está representado em verde. O segundo está representado
aqui em rosa e o terceiro
vamos representar agora. O meu x₃
é o ângulo 4π sobre 3, o argumento dele é 4π sobre 3.
Em graus dá... 4π é 720,
dividido por 3 dá 240. Esse cara aqui também tem
o mesmo módulo, só que o argumento
vai ser 240 graus. Então vai ser
toda essa volta aqui. 240 graus, ou então
4π sobre 3 radianos. Veja que as raízes
são uma rotação da outra. Eu rotacionei esse vetor,
depois rotacionei de novo. Olhe só que padrão interessante: é como se eu tivesse pegado a circunferência,
os 360 graus da circunferência, e dividido em três partes iguais. Veja: aqui eu tenho 120 graus,
que é 360 dividido por 3, depois eu ando mais 120 graus
e caio aqui, no 240, e depois quando eu ando
de novo 120 graus eu caio em 360, ou seja,
caio de novo no começo. Então temos aqui um padrão,
não é verdade? Porém você pode falar assim: "Está tudo muito bom,
tudo muito bonito, mas você me falou
que iríamos ter raízes complexas e eu não consigo visualizar direito
um número complexo dessa forma, eu sempre prefiro ver
na forma (a mais b 𝓲)." OK, não tem problema. Vamos transformá-lo na forma
(a mais b 𝓲). Veja só: o meu x₂,
pela identidade de Euler, eu posso dizer que é cosseno de (2π sobre 3)
mais 𝓲 seno de (2π sobre 3). Para calcular o cosseno
e o seno de (2π sobre 3), eu posso vir aqui
e dar uma olhada nesse triângulo. É um triângulo retângulo
de hipotenusa 1, e se aqui são 120 graus, eu posso dizer que este ângulo
é 60 graus, não é verdade? Então o meu seno vai ser
esse tamanho aqui, que pelas relações trigonométricas
a gente sabe que é √3 sobre 2, e o meu cosseno
vai ser esse tamanho aqui, que como está aqui para a esquerda
vai ser igual a -½ . Então o meu x₂ será
cosseno de (2π sobre 3), que a gente verificou que é -½
somado com... Seno de (2π sobre 3)
é √3 sobre 2 vezes, é claro, o meu número 𝓲,
não podemos esquecer. A gente pode fazer exatamente
a mesma coisa para x₃. Se o argumento do meu x₃ é 240 e a meia-volta é 180 graus, eu desci aqui exatamente 60 graus,
concorda comigo? Portanto, o cosseno
do meu 4π sobre 3 vai ser exatamente
o mesmo, vai ser -½. Então vou escrever que
meu x₃ será -½. Já o seno vai ter
o mesmo valor numérico, só que o sinal vai ser negativo porque ele está aqui para baixo, será esse tamanho aqui para baixo. Então, (-√3 sobre 2) vezes 𝓲. E pronto! Conseguimos encontrar
as três raízes complexas de x³ igual a 1. Veja que essa é uma delas, essa outra é uma
das três raízes complexas e por fim, é claro,
o nosso número 1. Se fosse x⁴, você também
poderia fazer isso. Eu pegaria essa circunferência
e dividiria em quatro partes iguais, ou seja, um pedaço de 90 graus
para cada parte. Então uma das raízes
seria 1, a outra 𝓲, a outra -1
e a última, -𝓲. A gente pode verificar
que é verdade porque 1⁴ é 1, 𝓲⁴ também é 1,
-1⁴ também é 1, e por último, -𝓲⁴ também vai resultar
em uma unidade. Eu poderia usar a mesma técnica
se fosse x⁸ igual a 1, x²⁰ igual a 1,
e assim por diante. Uma coisa que você
pode ter se perguntado foi por que eu parei no 4π? Eu não poderia também falar para 6π?
O que será que aconteceria? Eu pegaria o número
"e" elevado a 6π, e tudo mais, e vamos ver, então,
o que aconteceria. Imagine que estou
resolvendo a equação x³ é igual a
"e" elevado a (6π𝓲). Vamos ganhar um pouquinho mais
de espaço aqui. Elevando
os dois lados a ⅓, eu teria que x é igual a
"e" elevado a (2π𝓲). E olhe só: quando o argumento é 2π,
eu simplesmente volto para essa raiz aqui. E se eu fosse para 8π,
eu voltaria para essa raiz. Se eu fosse para 10π,
para essa aqui. Então, para mais do que o 4π
eu só teria resultados redundantes. Espero que você tenha gostado
e até o próximo vídeo!