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Equações com números complexos: x³=1

Neste vídeo, calculamos todas as soluções complexas da equação x^3=1. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL – Olá, pessoal! Prontos para mais um vídeo? Neste vídeo a gente vai entender porque a forma exponencial de um número complexo é tão útil. Digamos que a gente quer resolver a equação: x elevado ao cubo é igual a 1 e queremos encontrar todas as raízes reais ou complexas dessa equaçãozinha. Escrevendo de outra forma, essa equação seria x³ menos 1 é igual a zero e queremos encontrar todas suas raízes reais ou complexas. É claro que existem outras técnicas que não envolvem colocar um número complexo na sua forma exponencial, porém, essa técnica que a gente vai ver neste vídeo pode resolver para x¹³ menos 1 igual a zero, x²⁰ menos 1 igual a zero, x¹⁸⁰ menos 1 igual a zero, além de a gente notar um padrão para esse tipo de equação, principalmente se a gente estiver olhando na representação dessas raízes no plano complexo, no diagrama de Argand-Gauss. Então, para isso, vamos ver a representação do diagrama de Argand-Gauss do número "z" igual a 1. 1 é um número complexo. Claro que ele é um número real, mas todo o número real também é um número complexo, afinal os reais são um subconjunto dos complexos. Esse é um número complexo sem a parte imaginária. Vamos, então, desenhar aqui no diagrama de Argand-Gauss. Aqui é meu eixo imaginário e aqui é meu eixo real. Vamos nomeá-los: "imaginário" e "real". Vamos colocar o número 1 em todos os quadrantes. Então aqui é 1, aqui também é 1, aqui é -1, e aqui também é -1. Sua representação no plano complexo vai ser esse vetorzinho aqui. Ele não tem parte imaginária, então a parte real igual a 1 e parte imaginário igual a zero. Será esse vetorzinho aqui. Então o vetor com a pontinha no ponto (1,0), afinal podemos escrever esse número aqui como se fosse 1 mais zero 𝓲. Agora vamos colocar esse número em sua forma exponencial. Para isso, eu preciso do módulo do meu "z", que é bem simples de encontrar. O módulo de 1 é 1. A magnitude desse vetor aqui é 1. Veja o tamanho dele é 1. Não preciso fazer muita conta para achar isso. E o argumento? Qual será o argumento do meu "z"? Qual será o ângulo que esse vetor faz com a parte positiva do meu eixo real? Mas ele está na parte positiva do eixo real. Então o ângulo que a gente tem aqui é zero. O que a gente descobriu até agora não é muito interessante, afinal a gente pode escrever esse 1 como sendo 1 vez "e" elevado a (zero vez 𝓲), o que é um tanto óbvio, não é verdade? Porque zero vez 𝓲 é zero, qualquer número elevado a zero é 1. 1 vez 1 é 1. Então vamos deixar isso um pouquinho mais interessante. Afinal, o argumento desse ângulo eu posso escrever de forma equivalente, de um outro jeito diferente de zero, pois eu posso dar uma volta completa aqui no meu plano complexo e chegar no mesmo lugar. Então posso vir aqui, dar uma volta completa no meu plano, e chegar aqui novamente no meu ponto que representa o número 1. Então o argumento do meu número 1 pode ser zero ou então posso escrever que o argumento é 2π, ou então, ao invés de uma volta, darei duas e falarei que o argumento é, na verdade, 4π, ou então 6π, 8π ou qualquer múltiplo de 2π que eu quiser, não é verdade? Assim, eu posso escrever o meu número 1 como "e" elevado a 2π vezes 𝓲, eu não preciso escrever o número 1 aqui multiplicando. Ou então "e" elevado a 4π vezes 𝓲. Isso é bem bacana, bem legal, porque eu posso escrever essa minha equação aqui de várias maneiras. Posso falar que a equação x³ igual a 1, ou então x³ igual a "e" elevado a 2π 𝓲, ou até mesmo x³ é igual a "e" elevado a 4π vezes 𝓲. Afinal, todos esses números aqui representam o número 1. Vamos agora resolver essas equações aqui para encontrar o valor de x. Vou elevar os dois lados de cada uma delas a ⅓ e assim poderei encontrar o valor do x. Elevando também aqui a ⅓ os dois lados e aqui também vou elevar os dois lados a ⅓. A nossa primeira equação vai ficar x igual a 1 elevado a ⅓. Mas isso aqui é igual a 1. Nessa segunda equação, temos que x é igual a... Agora basta eu multiplicar os expoentes. Então vai ficar "e" elevado a 2π sobre 3 (vezes 𝓲) e na última equação vai ficar x é igual a "e" elevado a 4π sobre 3 vezes 𝓲. Olhe só que interessante: temos aqui três raízes diferentes para a minha equação. Vamos até colocar que esse aqui é meu x₁, esse é o x₂ e esse é o meu x₃. 3 raízes diferentes. A primeira raiz é bem óbvia. De fato, 1 é raiz dessa equação. Se eu pegar 1 e elevá-lo ao cubo vai dar 1, vai ser verdade a minha expressão aqui. Agora vamos tentar ver essas duas aqui, o que isso vai significar para a gente. Primeiro, qual é o módulo desses números complexos? O módulo de x₂ é claramente 1. O cara que está acompanhando aqui, quem está multiplicando é 1. No x₃, também tenho um módulo valendo 1. E o argumento? O argumento do x₂ (vamos colocar aqui φ₂) é 2π sobre 3. E o argumento do meu x₃ (vamos colocar φ₃ aqui) é 4π sobre 3. Então, como eu desenharia meu x₂ aqui no meu plano complexo? O módulo continua sendo 1 e o ângulo é 2π sobre 3. Acho que consigo visualizar melhor se eu falar do ângulo em graus. 2π são 360 graus, dividido por 3 são 120 graus. Então meu número complexo vai ser mais ou menos aqui. Esse carinha aqui tem um ângulo de 120 graus, ou então 2π sobre 3 radianos. Para dar uma colorida, vou pintar esse carinha aqui do mesmo verde para a gente saber melhor com quem está trabalhando. Então esse primeiro já está representado em verde. O segundo está representado aqui em rosa e o terceiro vamos representar agora. O meu x₃ é o ângulo 4π sobre 3, o argumento dele é 4π sobre 3. Em graus dá... 4π é 720, dividido por 3 dá 240. Esse cara aqui também tem o mesmo módulo, só que o argumento vai ser 240 graus. Então vai ser toda essa volta aqui. 240 graus, ou então 4π sobre 3 radianos. Veja que as raízes são uma rotação da outra. Eu rotacionei esse vetor, depois rotacionei de novo. Olhe só que padrão interessante: é como se eu tivesse pegado a circunferência, os 360 graus da circunferência, e dividido em três partes iguais. Veja: aqui eu tenho 120 graus, que é 360 dividido por 3, depois eu ando mais 120 graus e caio aqui, no 240, e depois quando eu ando de novo 120 graus eu caio em 360, ou seja, caio de novo no começo. Então temos aqui um padrão, não é verdade? Porém você pode falar assim: "Está tudo muito bom, tudo muito bonito, mas você me falou que iríamos ter raízes complexas e eu não consigo visualizar direito um número complexo dessa forma, eu sempre prefiro ver na forma (a mais b 𝓲)." OK, não tem problema. Vamos transformá-lo na forma (a mais b 𝓲). Veja só: o meu x₂, pela identidade de Euler, eu posso dizer que é cosseno de (2π sobre 3) mais 𝓲 seno de (2π sobre 3). Para calcular o cosseno e o seno de (2π sobre 3), eu posso vir aqui e dar uma olhada nesse triângulo. É um triângulo retângulo de hipotenusa 1, e se aqui são 120 graus, eu posso dizer que este ângulo é 60 graus, não é verdade? Então o meu seno vai ser esse tamanho aqui, que pelas relações trigonométricas a gente sabe que é √3 sobre 2, e o meu cosseno vai ser esse tamanho aqui, que como está aqui para a esquerda vai ser igual a -½ . Então o meu x₂ será cosseno de (2π sobre 3), que a gente verificou que é -½ somado com... Seno de (2π sobre 3) é √3 sobre 2 vezes, é claro, o meu número 𝓲, não podemos esquecer. A gente pode fazer exatamente a mesma coisa para x₃. Se o argumento do meu x₃ é 240 e a meia-volta é 180 graus, eu desci aqui exatamente 60 graus, concorda comigo? Portanto, o cosseno do meu 4π sobre 3 vai ser exatamente o mesmo, vai ser -½. Então vou escrever que meu x₃ será -½. Já o seno vai ter o mesmo valor numérico, só que o sinal vai ser negativo porque ele está aqui para baixo, será esse tamanho aqui para baixo. Então, (-√3 sobre 2) vezes 𝓲. E pronto! Conseguimos encontrar as três raízes complexas de x³ igual a 1. Veja que essa é uma delas, essa outra é uma das três raízes complexas e por fim, é claro, o nosso número 1. Se fosse x⁴, você também poderia fazer isso. Eu pegaria essa circunferência e dividiria em quatro partes iguais, ou seja, um pedaço de 90 graus para cada parte. Então uma das raízes seria 1, a outra 𝓲, a outra -1 e a última, -𝓲. A gente pode verificar que é verdade porque 1⁴ é 1, 𝓲⁴ também é 1, -1⁴ também é 1, e por último, -𝓲⁴ também vai resultar em uma unidade. Eu poderia usar a mesma técnica se fosse x⁸ igual a 1, x²⁰ igual a 1, e assim por diante. Uma coisa que você pode ter se perguntado foi por que eu parei no 4π? Eu não poderia também falar para 6π? O que será que aconteceria? Eu pegaria o número "e" elevado a 6π, e tudo mais, e vamos ver, então, o que aconteceria. Imagine que estou resolvendo a equação x³ é igual a "e" elevado a (6π𝓲). Vamos ganhar um pouquinho mais de espaço aqui. Elevando os dois lados a ⅓, eu teria que x é igual a "e" elevado a (2π𝓲). E olhe só: quando o argumento é 2π, eu simplesmente volto para essa raiz aqui. E se eu fosse para 8π, eu voltaria para essa raiz. Se eu fosse para 10π, para essa aqui. Então, para mais do que o 4π eu só teria resultados redundantes. Espero que você tenha gostado e até o próximo vídeo!