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Revisão das formas dos números complexos

Revise as diferentes maneiras com que podemos representar números complexos: formas retangular, polar, e exponencial.

Quais são as diferentes formas dos números complexos?

Retangulara+bi
Polarr(cos(θ)+isen(θ))
Exponencialreiθ

Forma retangular

a+bi
A forma retangular de um número complexo é a soma de dois termos: a parte real e a parte imaginária multiplicada por i.
Sendo assim, ela é muito útil na soma e subtração de números complexos.
Também podemos plotar um número complexo dado na forma retangular no plano complexo. As partes real e imaginária determinam as coordenadas real e imaginária do número.
Quer saber mais sobre a forma retangular de um número complexo? Confira este vídeo sobre o plano complexo, e este vídeo sobre a soma e subtração de números complexos.

Forma polar

r(cos(θ)+isen(θ))
A forma polar enfatiza as características gráficas dos números complexos: valor absoluto (a distância do número até a origem no plano complexo) e ângulo (o ângulo que o número forma com o eixo real positivo). Elas também são chamadas de módulo e argumento.
Observe que, se expandirmos os parênteses na representação polar, obteremos a forma retangular do número:
r(cos(θ)+isen(θ))=rcos(θ)a+rsen(θ)bi
Esta forma é muito útil para multiplicar e dividir números complexos, por causa de seu comportamento especial: o produto de dois números com valores absolutos r1 e r2 e ângulos θ1 e θ2 terá um valor absoluto igual a r1r2 e um ângulo igual a θ1+θ2.
Quer saber mais sobre a forma polar de um número complexo? Confira este vídeo.

Forma exponencial

reiθ
A forma exponencial usa os mesmos recursos da forma polar, valor absoluto e ângulo. Ela só os exibe de uma maneira diferente, mais compacta. Por exemplo, agora a propriedade multiplicativa pode ser escrita assim:
(r1eiθ1)(r2eiθ2)=r1r2ei(θ1+θ2)
Esta forma vem da fórmula de Euler da função exponencial ez para qualquer número complexo z. O raciocínio por trás disso é bastante avançado, mas seu significado é simples: para todo número real x, definimos eix como cos(x)+isen(x).
Usando essa definição, obtemos a equivalência das formas exponencial e polar:
reiθ=r(cos(θ)+isen(θ))

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