Formas polar e retangular de números complexos

RKA4JL - Olá, pessoal! Prontos para mais um vídeo? Vamos dizer que eu tenha o número complexo "z" e esse "z" é descrito em sua forma retangular por -3 mais 2 vezes 𝓲 . Primeiramente, vamos localizá-lo no plano complexo. Então, primeiro vamos desenhar aqui o meu eixo imaginário. Aqui é meu eixo imaginário. E agora, o eixo real, o eixo onde a gente vai colocar a parte real. A parte real do meu "z" é -3, portanto é três da esquerda no meu eixo real. Vamos marcar aqui um, dois, três unidades à esquerda é o -3. Já no eixo dos imaginários, a parte real é 2. Então eu subo dois aqui. Marcando aqui um, dois, afinal são duas vezes 𝓲 . Portanto, o meu "z" vai ser representado por este pontinho aqui. Vamos cruzar as coordenadas. "z" está aqui neste pontinho. Vamos marcar aqui "z". O que eu quero pensar nesse vídeo com vocês é se tem alguma outra maneira de descrever esse pontinho que representa o "z". Quer dizer, será que dar a parte real e a parte imaginária como coordenadas é a única maneira de chegar nesse ponto? Será que não tem jeito de eu dar uma direção, um ângulo e uma distância, um caminho para percorrer? Vamos, então, tentar ver essa outra descrição. Primeiro, vou ver a distância do meu ponto "g" até a origem desse plano complexo. Vou chamar essa distância de "r" para nos ajudar a identificar. Só que a distância sozinha não me dá informações suficientes porque essa distância poderia estar aqui, aqui, aqui, aqui, são vários os lugares que têm a mesma distância da origem. Portanto, eu preciso também de alguma outra informação, como, por exemplo, o ângulo θ (teta), que é formado aqui entre a parte positiva do eixo real e a linha que representa a distância "r" que a gente acabou de desenhar. Na verdade, se eu tiver essa inclinação, esse ângulo e essa distância, consigo descrever muito bem onde está o meu pontinho "z". E agora eu venho com um desafio para você: tente pausar o vídeo e descobrir uma relação entre essa distância "r", o meu ângulo θ em radianos, 2 e -3, ou seja, uma relação dessas coordenadas, da forma retangular do meu "z", com os ângulos θ e a distância "r". Para nos ajudar a pensar sobre isso, eu vou desenhar aquele nosso círculo unitário que a gente usa para definir funções trigonométricas, porque nós vamos usar algumas funções trigonométricas para chegar no nosso raciocínio. Desenhando o círculo unitário, aquele círculo de raio 1 onde a gente define as funções trigonométricas. E está aqui um círculo perfeito. Dito isso, que esse é o círculo unitário, o círculo de raio 1, quais seriam as coordenadas deste pontinho aqui, o pontinho que está na intersecção do círculo e desse segmento de reta que representa o meu "r"? Lembre-se que como a gente está no círculo unitário, por definição a coordenada no eixo horizontal, no eixo x é o cosseno de θ e a coordenada no eixo vertical, no eixo y, é o seno de θ. Então, esse ponto aqui teria como coordenada "x" o cosseno de θ e coordenada "y" o seno de θ. Vamos pôr um parênteses aqui também. Mas e este pontinho aqui, qual seria a coordenada dele se a gente o estivesse representando em função de cosseno de θ e seno de θ? Veja só: a distância desse pontinho até a origem dos espaços é de uma unidade, não é verdade? E a distância deste ponto até a origem é "r" vezes uma unidade, não é? "r" não é "r" vezes 1? Então, se essa distância é "r" vezes essa distância, eu tenho que multiplicar por "r" tanto a coordenada y quanto a coordenada x. Vamos dimensionar tudo por "r", vamos multiplicar tanto “x” quanto "y" por “r” para conseguirmos chegar tão distante quanto está o meu “z”. Portanto, este pontinho aqui, a coordenada desse cara vai ser "r" vezes cos(θ) e a coordenada deste carinha aqui vai ser "r" vezes esse pedaço, ou seja, r vezes sen(θ). Olha que bacana, pessoal. Agora, sabendo dessas relações, basta a gente tentar descobrir os valores do "r" e do θ e a gente vai ter outro jeito de descrever este pontinho "z". Vamos primeiramente descobrir o valor do nosso θ. Para isso, a gente tem que pensar em algumas funções trigonométricas. Uma função que envolve tanto o seno de θ quanto o cosseno de θ é a tangente do θ, lembra? tg(θ) é igual a sen(θ) dividido por cos(θ) E se eu multiplicar por "r" em cima e embaixo da minha fração, isso não vai alterar o valor da fração, não é verdade? Então vezes "r" aqui, e vezes "r" aqui. Mas sabemos que "r" vezes sen(θ) é igual a 2 e r vezes cos(θ) é igual a -3, então aqui vai ficar -2/3. Portanto, chegamos à conclusão que a tg(θ) é -2/3. Outra maneira de pensar nisso é que -2/3 é nada mais, nada menos que o coeficiente angular, que a inclinação da reta que contém essa linha aqui, porque, veja só: para que esse ponto chegue na origem, ele tem que fazer um deslocamento de três unidades para a direita. Ele desloca três à direita e ainda tem que descer duas unidades. Então, ele vem dois para baixo. Portanto, a inclinação, o coeficiente angular da minha retinha é de -2/3. Temos, então, duas interpretações para essa tg(θ), mas o que eu quero mesmo, o que nos interessa, é descobrir o valor desse meu θ. Então, vamos lá. Para descobrir o valor do meu θ, basta eu aplicar a função arco tangente dos dois lados da minha equação. O que a gente consegue é que θ é o arco tangente do meu -2/3. Essa função, arco tangente, também é muito usada em inglês como sendo a tangente inversa ou tangente a -1, que em calculadora aparece muito assim: tan⁻¹. Vamos apagar esse negocinho aqui. Já que eu falei desse negócio de tangente inversa, vamos colocar na calculadora o arco tangente para saber qual é o meu ângulo θ. Aqui está minha calculadora. Só para ter certeza, vamos ver se está em radianos. Para colocar em radianos eu clico no 2. Estamos em radianos. Olhe o "r" minúsculo aqui. Então o arco tangente, ou tangente inversa de -2/3, vai ser igual a -0,5880... Vamos dar uma arredondadinha. Então -0,59. Nosso ângulo θ é, aproximadamente, -0,59 radianos. Como θ é negativo, significa que, ao invés de ter girado no sentido anti-horário, eu girei no sentido horário. Ângulo negativo significa girar no sentido horário. Então, a inclinação que ele nos deu foi dessa parte aqui, certo? Mas o meu θ tem que ser nesse sentido. Para achar a inclinação no sentido que a gente quer, no sentido anti-horário, o que a gente tem que fazer é girar essa inclinação aqui por todo esse percurso. Esse percurso de meia-volta, esse percurso de π radianos. Concluindo, para chegar no θ com a orientação que a gente deseja, que é a orientação no sentido anti-horário, eu vou pegar esse valor que a calculadora nos deu, -0,59, e vou somar π, que é justamente somar meia-volta. Em radianos, isso é somar π. Esse vai ser o valor do nosso θ. Vamos colocar aqui o sinal de "aproximadamente". Afinal, isso aqui está arredondado. De volta à nossa calculadora, vou pegar o valor que foi me dado, então "ans", somado com o π. Vamos somar π aqui na minha calculadora. Isso vai me dar 2,553. Então, aproximadamente. Agora, será que 2,55 radianos faz sentido? Não podemos ficar confiando em tudo que essas calculadoras nos dá. Vamos ver se faz sentido mesmo. 90 graus aqui é π sobre 2 radianos. π é, mais ou menos, 3,14 e dividido por 2 dá 1,57. Então isso aqui é um pouco mais que 1½ radiano. E 180 graus, meia-volta, é π radianos, que é aproximadamente 3,14159... e por aí vai. Portanto, olhe só: 2,55 está entre 1½ e 3,14. Então realmente faz sentido que nosso ângulo seja de 2,55 radianos. Vamos continuar. θ encontrado, então nos falta encontrar a medida do "r", não é? Mas aqui a gente pode construir um triângulo retângulo. A gente sabe que a medida desse ladinho aqui é 2, afinal esse ladinho aqui vale 2, não é? Já esse outro cateto aqui, esse outro lado tem medida 3. Essa coordenada é -3, mas a medida desse lado é 3. Portanto, r², usando o teorema de Pitágoras, vai ser 2² somado com 3². Então temos que o nosso "r" vai ser a raiz quadrada de 4 mais 9, ou seja, a raiz quadrada de 13. Pronto. Temos "r" e temos θ, agora a gente consegue escrever "z" em função de "r" e θ. Então, mãos à obra. O meu "z" é igual a -3, só que esse -3 a gente pode escrever como r cos(θ). Como sabemos que "r" é √13, então fica √13 vezes cosseno do meu θ, que é aproximadamente 2,55 mais 2𝓲. Só que esse 2 a gente pode escrever como r sen(θ). Então, ao invés de 2𝓲, vou escrever r, que é √13, vezes seno de 2,55, que é aproximadamente o meu θ. Como 2 está sendo multiplicado por 𝓲, aqui a gente coloca "vezes 𝓲" também, não é verdade? E para deixar bem claro qual é o tamanho dessa distância aqui, qual é meu modo, vou colocar esse √13 em evidência. Então vai ficar √13 multiplicado por cos(2,55), que é meu θ. Na verdade, é uma aproximação de θ, então para deixar isso evidente vou escrever que isso é "aproximadamente" z somado com esse pedacinho aqui. Vou colocar o 𝓲 na frente. 𝓲 vezes seno do meu 2,55 radianos. Pronto! Então, agora, meu "z" está escrito no que a gente chama de forma trigonométrica ou polar. A forma polar é a que diz qual é a inclinação do meu número complexo, ou seja, esse ângulo aqui é o quanto que eu tenho que inclinar a partir da parte positiva do meu eixo x. Então tenho que inclinar 2,55 radianos e aqui tenho o quão distante eu vou nessa direção. Vou √13 unidades de distância nessa direção e consigo chegar no meu pontinho "z". Só para resumir: isso aqui é o que a gente chama de coordenada retangular e essa aqui embaixo é a que a gente chama de coordenada polar. OK, pessoal. Espero que você tenha entendido e até o próximo vídeo!