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Pré-cálculo

Curso: Pré-cálculo > Unidade 1

Lição 1: Funções compostas
Matemática
Pré-cálculo
Funções compostas e inversas
Funções compostas
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Funções compostas

Google Sala de Aula
Exemplos com passo a passo, explicações e problemas práticos para aprender a encontrar e calcular funções compostas.
Dadas duas funções, podemos combiná-las de maneira que as saídas de uma função se tornem as entradas da outra. Isso define uma função composta. Vamos ver o que isso significa!

Calculando funções compostas

Exemplo

Se f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2, então quanto é f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis?

Solução

Uma forma de calcular f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis é fazer os cálculos de "dentro para fora". Em outras palavras, vamos calcular g, left parenthesis, 3, right parenthesis primeiro e então substituir esse resultado em f para encontrar nossa resposta.
Vamos calcular g, left parenthesis, 3, right parenthesis.
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   Insira x=3.=29\begin{aligned}g(x)&=x^3+2\\\\ g(3)&=({3})^3 +2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Insira }x={3.}}}\\\\ &={29}\end{aligned}
Como g, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 29, então f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis.
Agora, vamos calcular f, left parenthesis, 29, right parenthesis.
f(x)=3x−1f(29)=3(29)−1               Insira x=29.=86\begin{aligned}f(x)&=3x-1\\\\ f( {{29}})&=3({29}) - 1~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Insira }x= {29.}}}\\\\ &={86}\\\\ \end{aligned}
Temos que f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis, equals, 86.

Encontrando a função composta

No exemplo acima, a função g levou de 3 para 29, e então a função f levou de 29 para 86. Vamos encontrar a função que leva 3 diretamente para 86.
Para isso, precisamos compor as duas funções e encontrar f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

Exemplo

Quanto é f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis?
Como referência, lembre-se de que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2.

Solução

Se analisarmos a expressão f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, veremos que start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c é a entrada da função f. Então, vamos substituir start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c sempre que virmos start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 na função f.
f(x)=3x−1f(g(x))=3(g(x))−1\begin{aligned}f(\blueE x)&=3\blueE x-1\\\\ f(\maroonD{g(x)}) &= 3(\maroonD{g(x)})-1 \\ \end{aligned}
Como g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2, podemos substituir x, cubed, plus, 2 por g, left parenthesis, x, right parenthesis.
f(g(x))=3(g(x))−1=3(x3+2)−1=3x3+6−1=3x3+5\begin{aligned}{f(g(x))}&=3(g(x))-1 \\\\ &=3({x^3+2})-1 \\\\ &=3x^3+6-1\\\\ &=3x^3+5 \end{aligned}
Essa nova função deve levar 3 diretamente para 86. Vamos verificar.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86\begin{aligned} f( g(x))&= 3x^3+5\\ \\ f( g( 3))&= 3( 3)^3+5 \\\\ &= {86} \end{aligned}
Excelente!

Vamos praticar

Problema 1

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2
Calcule g, left parenthesis, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, right parenthesis.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2

m, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 2
n, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
Encontre m, left parenthesis, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

Funções compostas: uma definição formal

No exemplo acima, encontramos e calculamos uma função composta.
Em geral, para indicar a função f composta com a função g, podemos escrever f, circle, g, que é lido como "f composta com g". Essa composição é definida pela seguinte regra:
left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
O diagrama abaixo mostra a relação entre left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis e f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Agora, vamos ver outro exemplo com essa nova definição em mente.

Exemplo

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x
Encontre left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis e left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis.

Solução

Podemos encontrar left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis como visto a seguir:
(h∘g)(x)=h(g(x))Defina.=(g(x))2−2(g(x))Insira g(x) para x na funça˜o h.=(x+4)2−2(x+4)Substitua g(x) por x+4.=x2+8x+16−2x−8Distribua.=x2+6x+8Combine termos semelhantes.\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=h(g(x))&\small{\gray{\text{Defina.}}}\\\\ &=(g(x))^2-2(g(x))&\small{\gray{\text{Insira } g(x) \text{ para } x\text{ na função }h.}}\\\\ &=({x+4})^2 -2({x+4})&\small{\gray{\text{Substitua } g(x) \text{ por } x + 4.}}\\\\ &=x^2+8x+16-2x-8&\small{\gray{\text{Distribua.}}}\\\\ &=x^2+6x+8&\small{\gray{\text{Combine termos semelhantes.}}}\end{aligned}
Como agora temos a função h, circle, g, podemos simplesmente substituir minus, 2 por x para encontrar left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis.
(h∘g)(x)=x2+6x+8(h∘g)(−2)=(−2)2+6(−2)+8=4−12+8=0\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=x^2+6x+8\\\\ (h\circ g)(-2)&=(-2)^2+6(-2)+8\\\\ &=4-12+8\\\\ &=0\\\\ \end{aligned}
Claro, também poderíamos ter encontrado left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis calculando h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis. Isso é mostrado abaixo:
(h∘g)(−2)=h(g(−2))=h(2)        Como g(−2)=−2+4=2=0             Como h(2)=22−2(2)=0\begin{aligned}(h\circ g)(-2)&=h(g(-2))\\\\ &=h(2)~~~~~~~~\small{\gray{\text{Como }g(-2)=-2+4=2}}\\\\ &=0~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Como }h(2)=2^2-2(2)=0}}\\\\ \end{aligned}
O diagrama abaixo mostra como left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis se relaciona com h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis.
Aqui, podemos ver que a função g leva de minus, 2 para 2 e que a função h leva de 2 para 0, embora a função h, circle, g leve minus, 2 diretamente para 0.

Agora, vamos praticar com alguns problemas

Problema 3

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 5
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, minus, 2, x
Calcule left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Nos problemas 4 e 5, sejam f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 2 e g, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, squared, plus, 5.

Problema 4

Encontre left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Problema 5

Encontre left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Desafio

Os gráficos das equações y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis e y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis são mostrados na malha abaixo.
Qual das seguintes opções melhor aproxima-se ao valor de left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, 8, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:

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