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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 1
Lição 1: Funções compostas- Introdução à composição de funções
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Introdução à composição de funções
Saiba por que iríamos querer compor duas funções analisando um exemplo da agricultura.
Caio é um fazendeiro. Todo ano ele planta sementes que virarão milho. A função abaixo nos dá a quantidade de milho, C, em quilogramas (kg), que ele espera produzir se ele plantar milho em certa quantidade a de acres de terra.
Por exemplo, se Caio planta duas sementes, ele espera produzir C, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 7, point, 500, left parenthesis, 2, right parenthesis, minus, 1, point, 500, equals, 13, point, 500 start text, k, g, end text de milho.
O que Caio quer realmente saber é o quanto de dinheiro ele conseguirá vendendo este milho. Então, ele utiliza a seguinte função para estimar a quantidade de dinheiro, M, em reais, que ele ganhará vendendo c quilogramas de milho.
Então, se Caio produzir 13, point, 500, start text, space, k, g, end text de milho, ele pode estimar que vai ganhar M, left parenthesis, 13, point, 500, right parenthesis, equals, 0, comma, 9, left parenthesis, 13, point, 500, right parenthesis, minus, 50, equals, dollar sign, 12, point, 100.
Observe que Caio tem que usar duas funções separadas para converter acres plantados em ganhos esperados. A primeira função, C, transforma acres em milho, enquanto a segunda função, M, transforma milho em dinheiro.
Não seria ótimo se Caio pudesse escrever uma função que transformasse diretamente acres plantados em ganhos esperados?
Como criar uma nova função
De fato, podemos encontrar a função que leva diretamente de acres plantados para ganhos esperados! Para encontrar essa nova função, vamos pensar sobre a questão mais geral: quanto dinheiro Caio espera ganhar se ele plantar sementes de milho em a acres de terra?
Se Caio planta milho em a acres, ele espera produzir C, left parenthesis, a, right parenthesis quilogramas de milho. E, se ele produz C, left parenthesis, a, right parenthesis quilogramas de milho, ele espera ganhar M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis reais.
Então, para encontrar uma regra geral que converta a acres diretamente em ganhos esperados, podemos encontrar a expressão M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis.
Mas como fazemos isso? Observe que na expressão M, left parenthesis, start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis, a entrada da função M é start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54. Então, para encontrar essa expressão, podemos substituir start color #e07d10, c, end color #e07d10 por start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54 na função M.
Sendo assim, a função M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6, point, 750, a, minus, 1, point, 400 converte diretamente acres plantados em ganhos esperados. Vamos utilizar esta nova função para estimar a quantidade de dinheiro que Caio conseguirá plantando milho em dois acres.
Caio pode esperar lucrar dollar sign, 12, point, 100 plantando milho em dois acres, o que está consistente com nosso trabalho anterior!
Como definir funções compostas
Acabamos de descobrir o que é uma função composta. Ao invés de substituirmos acres plantados em uma função de milho e, em seguida, substituir a quantidade de milho produzido na função de ganhos, encontramos uma função que converte diretamente os acres plantados em ganhos esperados.
Fizemos isso substituindo C, left parenthesis, a, right parenthesis na função M, ou encontrando M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis. Vamos chamar essa nova função M, circle, C, que é lida como "M composta com C".
Agora sabemos que left parenthesis, M, circle, C, right parenthesis, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis. Isto é, na verdade, a definição formal de composição de função!
Visualização dos dois métodos
Temos aqui uma ajuda visual para interpretar a definição acima.
Ao utilizarmos ambas as funções C e M, a função C - a função do milho - converte dois em 13.500. Então, a função M - a função dos ganhos - converte os 13.500 em R, dollar sign12.100.
Ao utilizarmos a função composta, vemos que a função M, circle, C converte dois diretamente em R, dollar sign12.100.
As duas são equivalentes!
Agora vamos praticar com alguns problemas.
Problema 2
Benjamim é um produtor de batatas. A função P, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 25, point, 000, a, minus, 1, point, 000 nos dá a quantidade de batatas, P, em quilogramas, que ele espera produzir plantando batatas em a acres de terra. A função M, left parenthesis, p, right parenthesis, equals, 0, comma, 2, p, minus, 200 nos dá a quantidade de dinheiro, M, em reais, que Benjamim espera conseguir se ele produzir p quilogramas de batatas.
Problema 3
Quer participar da conversa?
- Ha uma incorrecao no inicio, quando diz que Caio planta duas sementes... ali seria dois acres, penso eu.(72 votos)
- De onde surgiu o 7.500? Ele plantou 2 sementes ou 2 acres?(7 votos)
- Na explicação de como juntar as duas funções em uma só está escrito:
Como C(a)= 7500a
Acredito que o certo é C(a)= 7500a - 1500(2 votos)- Tem uma barra lateral, é só rolar e o resto "-1500" aparece.(4 votos)
- Não entendi pq - 1500 na função C (a) e - 50 na função M (c). De onde saiu esses valores?(1 voto)