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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 1
Lição 3: Funções inversíveis- Como determinar se uma função é inversível
- Introdução às funções inversíveis
- Determine se uma função é inversível
- Como restringir os domínios de funções para torná-las inversíveis
- Restrinja os domínios de funções para torná-las inversíveis
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Introdução às funções inversíveis
Nem todas as funções têm inversas. Aquelas que realmente são chamadas de "inversíveis." Saiba como podemos dizer se uma função é inversível ou não.
Funções inversas, no sentido geral, são funções que "revertem" umas as outras. Por exemplo, se f leva a para b, então a inversa, f, start superscript, minus, 1, end superscript, deve levar b para a.
Todas as funções têm uma função inversa?
Considere a função finita h definida pela tabela a seguir.
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|
h, left parenthesis, x, right parenthesis | 2 | 1 | 2 | 5 |
Podemos criar um diagrama de flechas para a função h.
Agora, vamos reverter o mapeamento para encontrar a inversa, h, start superscript, minus, 1, end superscript.
Observe aqui que h, start superscript, minus, 1, end superscript mapeia a entrada de 2 para duas saídas diferentes: 1 e 3. Isso significa que h, start superscript, minus, 1, end superscript não é uma função.
Como a inversa de h não é uma função, dizemos que h não é inversível.
Em geral, uma função é inversível somente se cada entrada tem uma única saída. Isto é, cada saída está pareada com exatamente uma entrada. Dessa forma, quando o mapeamento for revertido, ela ainda será uma função!
Temos aqui um exemplo de uma função inversível g. Observe que a inversa é de fato uma função.
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Desafio
Funções inversíveis e seus gráficos
Considere o gráfico da função y, equals, x, squared.
Sabemos que uma função é inversível se cada entrada tem uma única saída. Ou, em outras palavras, se cada saída está pareada a exatamente uma entrada.
Mas esse não é o caso de y, equals, x, squared.
Pegue a saída 4, por exemplo. Observe que, desenhando a reta y, equals, 4, você pode ver que há duas entradas, 2 e minus, 2, associadas à saída de 4.
De fato, se você deslizar a reta horizontal para cima e para baixo, você vai ver que a maioria das saídas estão associadas a duas entradas! Então, a função y, equals, x, squared não é uma função inversível.
Ao contrário, considere a função y, equals, x, cubed.
Se pegarmos uma reta horizontal e a deslizarmos de cima para baixo no gráfico, ela sempre intercepta a função em apenas um ponto!
Isso significa que cada saída corresponde a exatamente uma entrada. Em outras palavras, cada entrada tem uma única saída. A função y, equals, x, cubed é inversível.
O raciocínio acima descreve o que é chamado de teste da reta horizontal: em geral, uma função f é inversível se ela passa no teste da reta horizontal.
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- Então, se pensarmos bem, uma função quadrática nunca será uma função inversível simplesmente pelo fato de ela ter saídas iguais para entradas diferentes.
Estou correto? Existe mais alguma regra pra determinar isso?(5 votos)- Está correto em partes: a função quadrática definida em todo domínio nunca terá inversa por que não é injetora. Com algumas "manipulações", podemos definir a função quadrática só pra um intervalo específico e, nesse caso, podemos ter uma inversa.(8 votos)