Introdução às funções inversíveis

Funções inversas, no sentido geral, são funções que "revertem" umas as outras. Por exemplo, se $f$f leva $a$a para $b$b, então a inversa, $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript, deve levar $b$b para $a$a.

Considere a função finita $h$h definida pela tabela a seguir.

Podemos criar um diagrama de flechas para a função $h$h.

Agora, vamos reverter o mapeamento para encontrar a inversa, $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript.

Observe aqui que $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript mapeia a entrada de $2$2 para duas saídas diferentes: $1$1 e $3$3. Isso significa que $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript não é uma função.

Como a inversa de $h$h não é uma função, dizemos que $h$h não é inversível.

Em geral, uma função é inversível somente se cada entrada tem uma única saída. Isto é, cada saída está pareada com exatamente uma entrada. Dessa forma, quando o mapeamento for revertido, ela ainda será uma função!

Temos aqui um exemplo de uma função inversível $g$g. Observe que a inversa é de fato uma função.

Considere o gráfico da função $y=x^2$y, equals, x, squared.

Sabemos que uma função é inversível se cada entrada tem uma única saída. Ou, em outras palavras, se cada saída está pareada a exatamente uma entrada.

Mas esse não é o caso de $y=x^2$y, equals, x, squared.

Pegue a saída $4$4, por exemplo. Observe que, desenhando a reta $y=4$y, equals, 4, você pode ver que há duas entradas, $2$2 e $-2$minus, 2, associadas à saída de $4$4.

De fato, se você deslizar a reta horizontal para cima e para baixo, você vai ver que a maioria das saídas estão associadas a duas entradas! Então, a função $y=x^2$y, equals, x, squared não é uma função inversível.

Ao contrário, considere a função $y=x^3$y, equals, x, cubed.

Se pegarmos uma reta horizontal e a deslizarmos de cima para baixo no gráfico, ela sempre intercepta a função em apenas um ponto!

Isso significa que cada saída corresponde a exatamente uma entrada. Em outras palavras, cada entrada tem uma única saída. A função $y=x^3$y, equals, x, cubed é inversível.

O raciocínio acima descreve o que é chamado de teste da reta horizontal: em geral, uma função $f$f é inversível se ela passa no teste da reta horizontal.