Como determinar se uma função é inversível

RKA - "f" é uma função finita, cujo domínio são as letras de "a" a "e". A tabela abaixo, dá a imagem para cada elemento do domínio de "f". Bem, no exemplo aqui, se o "x" for "a", a função assume o valor -6, a imagem do "a" é -6. Se a entrada for "b" a saída é 3. Se no domínio tivermos "c" a imagem é -6. Se o domínio for "d" a imagem é 2. E se for "e" no domínio, a entrada for "e", a saída é -6. Construa o diagrama de setas para "f", arrastando os extremos dos segmentos abaixo, para relacionar corretamente cada elemento do domínio com a sua imagem. E depois, determine se a função "f" tem inversa. Este conjunto rosa representa o domínio da nossa função "f" e o verde é o conjunto imagem. E o que vamos fazer é relacionar cada elemento do domínio com o correspondente na imagem, de acordo com a tabela, por exemplo, o elemento "a" no domínio se relaciona com o -6 da imagem. "b" se relaciona com 3, o "c" se relaciona com -6 também, veja que interessante mais de um valor do domínio com a mesma imagem, e isso não é nenhum problema para que "f" seja uma função, mas pode complicar um pouco na hora de procurarmos a função inversa. O "d" se relaciona com 2 e, finalmente, "e" se relaciona com -6. Esta uma visualização de como os elementos do domínio se relacionam com os elementos do conjunto imagem. Agora temos que nos fazer uma pergunta, esta função é invertível, ou seja, ela tem inversa? Para que tenhamos uma função inversa, temos que achar uma função que relaciona cada um dos elementos do que era o conjunto imagem, com os mesmos correspondentes do conjunto domínio, fazendo "o caminho contrário" da função "f". E tem que ser uma função. Se eu colocar 3 nessa hipotética função inversa, eu obteria "b". Se você colocasse 2 nessa função inversa, você obteria "d", mas se eu colocar -6 como entrada na função inversa, eu teria que encontrar vários elementos correspondentes, o "a", o "c" e o "e" no outro conjunto. E, se a inversa tem que ser uma função, então aqui nós não vamos conseguir obtê-la, porque se eu tenho um elemento do que vai ser o nosso domínio, neste caso o -6, que se relaciona com mais de um elemento da imagem, nós não temos uma função. Ou seja, mais de uma saída para a mesma entrada, impede que tenhamos uma função. Portanto, esta nossa função não é invertível. Vamos a um outro exemplo, temos aqui o mesmo enunciado, apenas mudando os valores que se relacionam. Vamos construir o diagrama de setas aqui, o "a" se relaciona com o -36. A função leva "b" ao 9. "c" vai para o -4. "d" com 49 e, finalmente, o "e" se relaciona com o 25. E agora esta função é invertível, ela tem inversa? Para que tenha inversa, nós precisamos que uma nova função leve cada elemento do conjunto imagem, para o que antes era o conjunto domínio. Aqui, se nós colocarmos 49 como entrada na função inversa, vamos obter a saída "d", se colocar 25, vamos obter "e", 9 "b", se a entrada for -4, obteremos "c", e se a entrada for -36, obtemos como saída "a". Então, aqui, nós podemos facilmente ter uma função inversa, então esta função sim, é invertível, ela tem inversa. Outra forma de observar aqui, é que temos uma relação um a um, cada membro do domínio tem apenas um correspondente na imagem e vice-versa. Não temos mais do que um membro do domínio relacionando-se com a mesma imagem. E é isso. Até o próximo vídeo.