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Pré-cálculo

Curso: Pré-cálculo > Unidade 1

Lição 5: Como verificar se funções são inversas por meio da composição
Matemática
Pré-cálculo
Funções compostas e inversas
Como verificar se funções são inversas por meio da composição
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Como verificar se funções são inversas por meio da composição

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Aprenda a verificar se duas funções são inversas fazendo a composição delas. Por exemplo, f(x)=5x-7 e g(x)=x/5+7 são funções inversas?
Este artigo inclui um grande número de composições de função. Se você precisa de uma revisão sobre este assunto, recomendamos que você entre aqui antes de ler este artigo.
Funções inversas, no sentido mais geral, são funções que "revertem" umas as outras. Por exemplo, se uma função leva a para b, então a sua inversa deve levar b para a.
Vamos pegar as funções f e g como exemplo: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1.
Observe como f, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 2 e g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 5.
Vemos que, quando aplicamos f seguida por g, obtemos a entrada original de volta. Escrito na forma de uma composição, isto é g, left parenthesis, f, left parenthesis, 5, right parenthesis, right parenthesis, equals, 5.
Mas para que duas funções sejam inversas, temos que mostrar que isto acontece para todas as entradas possíveis independentemente da ordem em que f e g são aplicadas. Isso dá origem à regra de composição da função inversa.

Regra de composição da função inversa

Estas são as condições para que duas funções f e g sejam inversas:
  • f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x para todos os valores de x no domínio de g
  • g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x para todos os valores de x no domínio de f
Isso acontece porque, se f e g são inversas, compor f e g (em qualquer ordem) cria a função que, para toda entrada, retorna essa mesma entrada. Chamamos esta função de "função identidade".

Exemplo 1: as funções f e g são inversas

Vamos usar a regra de composição da função inversa para verificar se f e g acima são, de fato, funções inversas.
Lembre-se de que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1.
Vamos calcular f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis e g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesisg, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
f(g(x))=g(x)+13=3x−1+13=3x3=x\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=\dfrac{\greenD{g(x)}+1}{3}\\\\&=\dfrac{\greenD{3x-1}+1}{3}\\\\&=\dfrac{3x}{3}\\\\&=x\\\end{aligned}g(f(x))=3(f(x))−1=3(x+13)−1=x+1−1=x\qquad\qquad \begin{aligned}g(\purpleC{f(x)})&=3\left(\purpleC{f(x)}\right)-1\\\\&=3\left(\purpleC{\dfrac{x+1}{3}}\right)-1\\\\&=x+1-1\\\\&=x\\\end{aligned}
Então, vemos que as funções f e g são inversas pois f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x e g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x.

Exemplo 2: as funções f e g não são inversas

Se f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis ou g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis não forem iguais a x, então f e g não poderão ser inversas.
Vamos testar isso para f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, minus, 7 e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, divided by, 5, end fraction, plus, 7.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesisg, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
f(g(x))=5(g(x))−7=5(x5+7)−7=x+35−7=x+28\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=5(\greenD{g(x)})-7\\\\&=5\left(\greenD{\dfrac{x}{5}+7}\right)-7\\\\&=x+35-7\\\\&=x+28\end{aligned}\qquad g(f(x))=f(x)5+7=5x−75+7=x−75+7=x+285\qquad\begin{aligned} g(\purpleC{f(x)})&=\dfrac{\purpleC{f(x)}}{5}+7\\\\&=\dfrac{\purpleC{5x-7}}{5}+7\\\\&=x-\dfrac75+7\\\\&=x+\dfrac{28}{5}\\\end{aligned}
Então, as funções f e g não são inversas porque f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x e g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x.
(Observe que poderíamos ter concluído que f e g não eram inversas depois de mostrarmos que f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x, plus, 28.)

Teste seu conhecimento

Em geral, para verificarmos se f e g são funções inversas, podemos fazer sua composição. Se o resultado for x, as funções serão inversas. Caso contrário, elas não serão.

1) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 7 e h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 7, divided by, 2, end fraction

Escreva expressões simplificadas para f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis e h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis em função de x.
f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
As funções f e h são inversas?
Escolha 1 resposta:

2) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, plus, 10 e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, minus, 10

Escreva expressões simplificadas para f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis e g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis em função de x.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
As funções f e g são inversas?
Escolha 1 resposta:

3) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, x, minus, 8 e h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, plus, 8, right parenthesis

Escreva expressões simplificadas para f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis e h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis em função de x.
f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
As funções f e h são inversas?
Escolha 1 resposta:

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  • Avatar blobby green style do usuário luiza.melo
    Publicado há há 2 meses. Link direto para a postagem “Na 2 questão o meu g(f(x)...” de luiza.melo
    Na 2 questão o meu g(f(x)) deu 4x+30/4 porque eu não dividi o 10/4, ao fazer o cálculo. Por que isto estaria errado? eu sou obrigada a fazer a divisão mesmo que o resultado não seja um número inteiro?
    (2 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
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