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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 1
Lição 5: Como verificar se funções são inversas por meio da composiçãoComo verificar se funções são inversas por meio da composição
Aprenda a verificar se duas funções são inversas fazendo a composição delas. Por exemplo, f(x)=5x-7 e g(x)=x/5+7 são funções inversas?
Este artigo inclui um grande número de composições de função. Se você precisa de uma revisão sobre este assunto, recomendamos que você entre aqui antes de ler este artigo.
Funções inversas, no sentido mais geral, são funções que "revertem" umas as outras. Por exemplo, se uma função leva a para b, então a sua inversa deve levar b para a.
Vamos pegar as funções f e g como exemplo: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1.
Observe como f, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 2 e g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 5.
Vemos que, quando aplicamos f seguida por g, obtemos a entrada original de volta. Escrito na forma de uma composição, isto é g, left parenthesis, f, left parenthesis, 5, right parenthesis, right parenthesis, equals, 5.
Mas para que duas funções sejam inversas, temos que mostrar que isto acontece para todas as entradas possíveis independentemente da ordem em que f e g são aplicadas. Isso dá origem à regra de composição da função inversa.
Regra de composição da função inversa
Estas são as condições para que duas funções f e g sejam inversas:
- f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x para todos os valores de x no domínio de g
- g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x para todos os valores de x no domínio de f
Isso acontece porque, se f e g são inversas, compor f e g (em qualquer ordem) cria a função que, para toda entrada, retorna essa mesma entrada. Chamamos esta função de "função identidade".
Exemplo 1: as funções f e g são inversas
Vamos usar a regra de composição da função inversa para verificar se f e g acima são, de fato, funções inversas.
Lembre-se de que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1.
Vamos calcular f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis e g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis | g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis |
---|---|
Então, vemos que as funções f e g são inversas pois f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x e g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x.
Exemplo 2: as funções f e g não são inversas
Se f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis ou g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis não forem iguais a x, então f e g não poderão ser inversas.
Vamos testar isso para f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, minus, 7 e g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, divided by, 5, end fraction, plus, 7.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis | g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis |
---|---|
Então, as funções f e g não são inversas porque f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x e g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x.
(Observe que poderíamos ter concluído que f e g não eram inversas depois de mostrarmos que f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x, plus, 28.)
Teste seu conhecimento
Em geral, para verificarmos se f e g são funções inversas, podemos fazer sua composição. Se o resultado for x, as funções serão inversas. Caso contrário, elas não serão.
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- Na 2 questão o meu g(f(x)) deu 4x+30/4 porque eu não dividi o 10/4, ao fazer o cálculo. Por que isto estaria errado? eu sou obrigada a fazer a divisão mesmo que o resultado não seja um número inteiro?(2 votos)